Задачи с решением

1

1. Задание 1 № 337268. Найдите значение выражения

Решение.

Запишем произведение в виде десятичных дробей:

 

Ответ: 0,5604.

Ответ: 0,5604

337268

0,5604

2. Задание 2 № 314161. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу Какая это точка?

 

 

1) точка A

2) точка B

3) точка C

4) точка D

Решение.

Возведём в квадрат числа 5, 6, 7:

 

 

Число 45 лежит между числами 36 и 49 и находится ближе к числу 49, поэтому соответствует точке D.

 

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

314161

4

Источник: Банк заданий ФИПИ

3. Задание 3 № 314368. Значение какого из данных выражений является наибольшим?

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Возведём каждое число в квадрат и сравним квадраты этих чисел:

 

           

 

Поскольку имеем:

 

 

Наибольшим является выражение под номером 1.

Ответ: 1

314368

1

Источник: Банк заданий ФИПИ

4. Задание 4 № 338480. Решите уравнение

Решение.

Последовательно получаем:

 

 

Ответ: −1.

Ответ: -1

338480

-1

5. Задание 5 № 193098. На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите номер этого рисунка.

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Гипербола изображена на рисунке 1.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

193098

1

6. Задание 6 № 341191. Геометрическая прогрессия задана условием Найдите сумму первых её 4 членов.

Решение.

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

 

 

Первый член данной прогрессии равен Сумма первых членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

 

Необходимо найти имеем:

 

Ответ: 153,75.

Ответ: 153,75

341191

153,75

Источник: Банк заданий ФИПИ

7. Задание 7 № 311472. Упростите выражение    и найдите его значение при  .

Решение.

Упростим выражение:

 

 

Найдем значение выражения при

 

Ответ: 1,9.

Ответ: 1,9

311472

1,9

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1(2 вар)

8. Задание 8 № 319931. При каких значениях a выражение 9a + 4 принимает положительные значения?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Для ответа на вопрос задачи нужно решить уравнение Решим данное уравнение:

 

 

Правильный ответ указан под номером: 4.

Ответ: 4

319931

4

9. Задание 9 № 340156. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Углы и равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых и Поскольку — биссектриса угла Сумма смежных углов параллелограмма равна поэтому угол равен Таким образом, острый угол параллелограмма равен

 

Ответ: 30.

Ответ: 30

340156

30

10. Задание 10 № 311523. Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

Решение.

Треугольник BOD — прямоугольный, сумма его острых углов равна 90°. Поэтому ∠ABD = ∠OBD = 90° − 25° = 65°. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу, поэтому эти углы равны. Таким образом, ∠ACD = 65°.

 

Ответ: 65.

Ответ: 65

311523

65

Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №2(2вар)

11. Задание 11 № 169912. Радиус круга равен 3, а длина ограничивающей его окружности равна 6π. Найдите площадь круга. В ответ запишите площадь, деленную на π.

Решение.

Площадь круга равна имеем:

 

 

Ответ: 9.

 

----------

В открытом банке ответ с числом .

Ответ: 9

169912

9

12. Задание 12 № 341046. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

По рисунку определяем расстояние от точки А до середины отрезка ВС, оно равно четырём клеткам, или 4 см.

Ответ: 4.

Ответ: 4

341046

4

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 30.09.2014 вариант МА90104.

13. Задание 13 № 316286. Укажите номера верных утверждений.

 

1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.

2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Через любую точку проходит ровно одна прямая.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°» — неверно, сумма смежных углов равна 180°.

2) «Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

3) «Через любую точку проходит ровно одна прямая» — неверно через ону точку проходит бесконечное множество прямых.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

316286

2

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90107.

14. Задание 14 № 311901. В таблице приведены нормативы по прыжкам в длину с места для 11 класса.

 

Мальчики

Мальчики

Мальчики

Девочки

Девочки

Девочки

Отметка

«3»

«4»

«5»

«3»

«4»

«5»

Дальность (в см)

200

220

230

155

170

185

 

Какую отметку получит мальчик, прыгнувший на 215 см?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) неудовлетворительно

2) «3»

3) «4»

4) «5»

Решение.

Мальчик прыгнул выше 200 см, но ниже 220 см, поэтому он выполнил норматив на оценку «3».

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

311901

2

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90201.

15. Задание 15 № 322141. На рисунке показано, как изменялась температура на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Сколько часов в первой половине дня температура превышала 25 °C?

Решение.

Из графика видно, что в первой половине дня, то есть до 12:00, температура превышала 25 °C в течение трёх часов.

 

Ответ: 3.

 

Примечание.

Портал «Сдам ГИА» не уверен, что вторая половина дня длится с 12:00 до 24:00.

Ответ: 3

322141

3

16. Задание 16 № 340871. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Ваня, равен 65 кг. Вес Вани составляет 130 % от среднего веса. Сколько килограммов весит Ваня?

Решение.

Найдем вес Вани: кг.

 

Ответ: 84,5.

Ответ: 84,5

340871

84,5

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90202.

17. Задание 17 № 96. От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м.

Решение.

Пусть длина искомой стороны равна Проведём отрезок, параллельный горизонтальной прямой, как показано на рисунке, тогда — катет получившегося прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:

 

 

Следовательно, длина искомой стороны равна 9.

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

96

9

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

18. Задание 18 № 325316. Участников конференции разместили в гостинице в одноместных номерах, расположенных на этажах со второго по пятый. Количество номеров на этажах представлено на круговой диаграмме.

Какое из утверждений относительно расселения участников конференции неверно, если в гостинице разместились 80 участников конференции?

 

1) Более 20 участников конференции разместились на втором этаже.

2) На 2, 4 и 5 этажах разместились меньше половины участников конференции.

3) На этажах выше третьего разместились не более четверти всех участников конференции.

4) На втором и третьем этаже разместились не менее 75% всех участников конференции.

Решение.

Проанализируем каждое утверждение, используя данные, представленные на диаграмме.

1) Сектор, соответствующий номерам на втором этаже, занимает менее четверти круга. Поскольку всего участников конференции 80 человек, менее участников размещено на втором этаже. Первое утверждение неверно.

2) Сектор, соответствующий номерам на втором, четвёртом, пятом этажах, занимает менее половины круга, поэтому менее половины участников конференции размещено на этих этажах. Второе утверждение верно.

3) Сектор, соответствующий номерам на четвёртом и пятом этажах, занимает менее четверти круга, поэтому менее четверти участников конференции размещено на этих этажах. Третье утверждение верно.

4) Сектор, соответствующий номерам на втором и третьем этажах, занимает более круга, поэтому более то есть более 75%, участников конференции размещено на этих этажах. Четвёртое утверждение верно.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

325316

1

19. Задание 19 № 325497.

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет меньше четырёх очков" удовлетворяет три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет меньше четрёх очков равна Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, меньшее 4, либо событие Б — выпало число не меньше 4. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4 равна

 

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

325497

0,75

20. Задание 20 № 318530. Закон Кулона можно записать в виде где — сила взаимодействия зарядов (в ньютонах), и — величины зарядов (в кулонах), — коэффициент пропорциональности (в Н·м2/Кл2 ), а — расстояние между зарядами (в метрах). Пользуясь формулой, найдите величину заряда (в кулонах), если Н·м2/Кл2, Кл, м, а Н.

Решение.

Выразим заряд из закона Кулона:

 

 

Подставляя, получаем:

 

 

 

Ответ: 0,004.

Ответ: 0,004

318530

0,004

21. Задание 21 № 338633. Решите систему неравенств

Решение.

Решим первое неравенство системы:

 

 

Выражение всегда больше нуля поэтому данное неравенство эквивалентно неравенству

Решим второе неравенство:

 

 

Пересекая решения обоих неравенств, получим, что решение системы отрезок

 

Ответ:

22. Задание 22 № 340903. Три бригады вместе изготовили 114 синхронизаторов передач. Известно, что вторая бригада изготовила синхронизаторов в 3 раза больше, чем первая, и на 16 синхронизаторов меньше, чем третья. На сколько синхронизаторов передач больше изготовила третья бригада, чем первая.

Решение.

Пусть первая бригада изготовила x синхронизаторов. Тогда вторая бригада изготовила 3x синхронизаторов, а третья 3x +16 синхронизаторов. Из уравнения 7x +16 =114 находим, что первая бригада изготовила 14 синхронизаторов, а третья 58 синхронизаторов. Таким образом, третья бригада изготовила на 44 синхронизатора больше, чем первая.

 

Ответ: 44.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90203.

23. Задание 23 № 101. Постройте график функции   и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком три общие точки.

Решение.

График функции изображён на рисунке.

Прямая будет иметь с графиком три общие точки при 

 

Ответ: (0;5).

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

24. Задание 24 № 311716. Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы, проведённой к стороне , если угол равен 26°, угол равен 154°, .

Решение.

Обозначим точкой середину стороны . Продлим на свою длину за точку до точки . Четырёхугольник — параллелограмм, потому что и . Значит,  = 154°, поэтому четырёхугольник — вписанный. Тогда .

Ответ: 9.

Источник: Пробные варианты. Московская область — 2013, вариант 4.

25. Задание 25 № 103. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Решение.

Так как по условию BD=BE, то треугольник BDE является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда Треугольники BEC и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB=BC и треугольник ABC - равнобедренный.

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

26. Задание 26 № 311705. На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

Решение

1. Задание 1 № 337268. Найдите значение выражения

Решение.

Запишем произведение в виде десятичных дробей:

 

Ответ: 0,5604.

Ответ: 0,5604

337268

0,5604

2. Задание 2 № 314161. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу Какая это точка?

 

 

1) точка A

2) точка B

3) точка C

4) точка D

Решение.

Возведём в квадрат числа 5, 6, 7:

 

 

Число 45 лежит между числами 36 и 49 и находится ближе к числу 49, поэтому соответствует точке D.

 

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

314161

4

Источник: Банк заданий ФИПИ

3. Задание 3 № 314368. Значение какого из данных выражений является наибольшим?

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Возведём каждое число в квадрат и сравним квадраты этих чисел:

 

           

 

Поскольку имеем:

 

 

Наибольшим является выражение под номером 1.

Ответ: 1

314368

1

Источник: Банк заданий ФИПИ

4. Задание 4 № 338480. Решите уравнение

Решение.

Последовательно получаем:

 

 

Ответ: −1.

Ответ: -1

338480

-1

5. Задание 5 № 193098. На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите номер этого рисунка.

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Гипербола изображена на рисунке 1.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1

193098

1

6. Задание 6 № 341191. Геометрическая прогрессия задана условием Найдите сумму первых её 4 членов.

Решение.

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

 

 

Первый член данной прогрессии равен Сумма первых членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

 

Необходимо найти имеем:

 

Ответ: 153,75.

Ответ: 153,75

341191

153,75

Источник: Банк заданий ФИПИ

7. Задание 7 № 311472. Упростите выражение    и найдите его значение при  .

Решение.

Упростим выражение:

 

 

Найдем значение выражения при

 

Ответ: 1,9.

Ответ: 1,9

311472

1,9

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1(2 вар)

8. Задание 8 № 319931. При каких значениях a выражение 9a + 4 принимает положительные значения?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Для ответа на вопрос задачи нужно решить уравнение Решим данное уравнение:

 

 

Правильный ответ указан под номером: 4.

Ответ: 4

319931

4

9. Задание 9 № 340156. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Углы и равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых и Поскольку — биссектриса угла Сумма смежных углов параллелограмма равна поэтому угол равен Таким образом, острый угол параллелограмма равен

 

Ответ: 30.

Ответ: 30

340156

30

10. Задание 10 № 311523. Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

Решение.

Треугольник BOD — прямоугольный, сумма его острых углов равна 90°. Поэтому ∠ABD = ∠OBD = 90° − 25° = 65°. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу, поэтому эти углы равны. Таким образом, ∠ACD = 65°.

 

Ответ: 65.

Ответ: 65

311523

65

Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №2(2вар)

11. Задание 11 № 169912. Радиус круга равен 3, а длина ограничивающей его окружности равна 6π. Найдите площадь круга. В ответ запишите площадь, деленную на π.

Решение.

Площадь круга равна имеем:

 

 

Ответ: 9.

 

----------

В открытом банке ответ с числом .

Ответ: 9

169912

9

12. Задание 12 № 341046. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

По рисунку определяем расстояние от точки А до середины отрезка ВС, оно равно четырём клеткам, или 4 см.

Ответ: 4.

Ответ: 4

341046

4

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 30.09.2014 вариант МА90104.

13. Задание 13 № 316286. Укажите номера верных утверждений.

 

1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.

2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Через любую точку проходит ровно одна прямая.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°» — неверно, сумма смежных углов равна 180°.

2) «Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

3) «Через любую точку проходит ровно одна прямая» — неверно через ону точку проходит бесконечное множество прямых.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

316286

2

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90107.

14. Задание 14 № 311901. В таблице приведены нормативы по прыжкам в длину с места для 11 класса.

 

Мальчики

Мальчики

Мальчики

Девочки

Девочки

Девочки

Отметка

«3»

«4»

«5»

«3»

«4»

«5»

Дальность (в см)

200

220

230

155

170

185

 

Какую отметку получит мальчик, прыгнувший на 215 см?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) неудовлетворительно

2) «3»

3) «4»

4) «5»

Решение.

Мальчик прыгнул выше 200 см, но ниже 220 см, поэтому он выполнил норматив на оценку «3».

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

311901

2

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90201.

15. Задание 15 № 322141. На рисунке показано, как изменялась температура на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Сколько часов в первой половине дня температура превышала 25 °C?

Решение.

Из графика видно, что в первой половине дня, то есть до 12:00, температура превышала 25 °C в течение трёх часов.

 

Ответ: 3.

 

Примечание.

Портал «Сдам ГИА» не уверен, что вторая половина дня длится с 12:00 до 24:00.

Ответ: 3

322141

3

16. Задание 16 № 340871. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Ваня, равен 65 кг. Вес Вани составляет 130 % от среднего веса. Сколько килограммов весит Ваня?

Решение.

Найдем вес Вани: кг.

 

Ответ: 84,5.

Ответ: 84,5

340871

84,5

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90202.

17. Задание 17 № 96. От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м.

Решение.

Пусть длина искомой стороны равна Проведём отрезок, параллельный горизонтальной прямой, как показано на рисунке, тогда — катет получившегося прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:

 

 

Следовательно, длина искомой стороны равна 9.

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

96

9

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

18. Задание 18 № 325316. Участников конференции разместили в гостинице в одноместных номерах, расположенных на этажах со второго по пятый. Количество номеров на этажах представлено на круговой диаграмме.

Какое из утверждений относительно расселения участников конференции неверно, если в гостинице разместились 80 участников конференции?

 

1) Более 20 участников конференции разместились на втором этаже.

2) На 2, 4 и 5 этажах разместились меньше половины участников конференции.

3) На этажах выше третьего разместились не более четверти всех участников конференции.

4) На втором и третьем этаже разместились не менее 75% всех участников конференции.

Решение.

Проанализируем каждое утверждение, используя данные, представленные на диаграмме.

1) Сектор, соответствующий номерам на втором этаже, занимает менее четверти круга. Поскольку всего участников конференции 80 человек, менее участников размещено на втором этаже. Первое утверждение неверно.

2) Сектор, соответствующий номерам на втором, четвёртом, пятом этажах, занимает менее половины круга, поэтому менее половины участников конференции размещено на этих этажах. Второе утверждение верно.

3) Сектор, соответствующий номерам на четвёртом и пятом этажах, занимает менее четверти круга, поэтому менее четверти участников конференции размещено на этих этажах. Третье утверждение верно.

4) Сектор, соответствующий номерам на втором и третьем этажах, занимает более круга, поэтому более то есть более 75%, участников конференции размещено на этих этажах. Четвёртое утверждение верно.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

325316

1

19. Задание 19 № 325497.

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.

Решение.

При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию "выпадет меньше четырёх очков" удовлетворяет три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет меньше четрёх очков равна Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, меньшее 4, либо событие Б — выпало число не меньше 4. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4 равна

 

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

325497

0,75

20. Задание 20 № 318530. Закон Кулона можно записать в виде где — сила взаимодействия зарядов (в ньютонах), и — величины зарядов (в кулонах), — коэффициент пропорциональности (в Н·м2/Кл2 ), а — расстояние между зарядами (в метрах). Пользуясь формулой, найдите величину заряда (в кулонах), если Н·м2/Кл2, Кл, м, а Н.

Решение.

Выразим заряд из закона Кулона:

 

 

Подставляя, получаем:

 

 

 

Ответ: 0,004.

Ответ: 0,004

318530

0,004

21. Задание 21 № 338633. Решите систему неравенств

Решение.

Решим первое неравенство системы:

 

 

Выражение всегда больше нуля поэтому данное неравенство эквивалентно неравенству

Решим второе неравенство:

 

 

Пересекая решения обоих неравенств, получим, что решение системы отрезок

 

Ответ:

22. Задание 22 № 340903. Три бригады вместе изготовили 114 синхронизаторов передач. Известно, что вторая бригада изготовила синхронизаторов в 3 раза больше, чем первая, и на 16 синхронизаторов меньше, чем третья. На сколько синхронизаторов передач больше изготовила третья бригада, чем первая.

Решение.

Пусть первая бригада изготовила x синхронизаторов. Тогда вторая бригада изготовила 3x синхронизаторов, а третья 3x +16 синхронизаторов. Из уравнения 7x +16 =114 находим, что первая бригада изготовила 14 синхронизаторов, а третья 58 синхронизаторов. Таким образом, третья бригада изготовила на 44 синхронизатора больше, чем первая.

 

Ответ: 44.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90203.

23. Задание 23 № 101. Постройте график функции   и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком три общие точки.

Решение.

График функции изображён на рисунке.

Прямая будет иметь с графиком три общие точки при 

 

Ответ: (0;5).

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

24. Задание 24 № 311716. Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы, проведённой к стороне , если угол равен 26°, угол равен 154°, .

Решение.

Обозначим точкой середину стороны . Продлим на свою длину за точку до точки . Четырёхугольник — параллелограмм, потому что и . Значит,  = 154°, поэтому четырёхугольник — вписанный. Тогда .

Ответ: 9.

Источник: Пробные варианты. Московская область — 2013, вариант 4.

25. Задание 25 № 103. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Решение.

Так как по условию BD=BE, то треугольник BDE является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда Треугольники BEC и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB=BC и треугольник ABC - равнобедренный.

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

26. Задание 26 № 311705. На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

Решение.

Пусть вершины и ромба лежат на окружности радиуса 3, а вершины и лежат на окружности радиуса 4. Примем сторону ромба за , а величину угла за .

Тогда по теореме синусов для треугольника

.

 

Аналогично по теореме синусов для треугольника :

.

 

Значит, и . Получаем уравнение

.

 

Откуда . Следовательно, сторона ромба равна 4,8.

Ответ: 4,8.

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Описание к данному материалу отсутствует

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok