Вязкое затухание звуковых волн в сильных центробежных полях

Арендный блок

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

высшего профессионального образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

ФАКУЛЬТЕТ ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНОЙ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

КАФЕДРА МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К ДИПЛОМНОМУ ПРОЕКТУ

НА ТЕМУ: «ВЯЗКОЕ ЗАТУХАНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В СИЛЬНЫХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ПОЛЯХ»

Студент – дипломник Василевич Владимир Витальевич

(подпись)

Руководитель дипломного

проекта доктор ф.м.н,

профессорБоговалов Сергей Владимирович

(подпись, оценка)

Рецензент дипломного

проектаТроян Виктор Иванович

(подпись, оценка)

Консультант Кислов Владимир Александрович

(подпись)

Заведующий кафедрой

доктор ф.м.н, профессорБорман Владимир Дмитриевич

(подпись)

МОСКВА 2015 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

TOC \o "1-3" \h \z \u АННОТАЦИЯ PAGEREF _Toc419810745 \h 3

ВВЕДЕНИЕ PAGEREF _Toc419810746 \h 4

ГЛАВА 1 Литературный обзор PAGEREF _Toc419810747 \h 7

1.1.Поведение газа в центробежном поле сил PAGEREF _Toc419810748 \h 7

1.2.Волны в сильном центробежном поле PAGEREF _Toc419810749 \h 9

1.3.Затухание звуковых волн PAGEREF _Toc419810750 \h 19

ГЛАВА 2 Методика расчета PAGEREF _Toc419810751 \h 22

2.1.Постановка задачи PAGEREF _Toc419810752 \h 22

2.2.Теоретический анализ PAGEREF _Toc419810753 \h 24

2.3.Описание программы PAGEREF _Toc419810754 \h 27

2.4.Верификация PAGEREF _Toc419810755 \h 30

2.5.Расчёт PAGEREF _Toc419810756 \h 37

ЗАКЛЮЧЕНИЕ PAGEREF _Toc419810757 \h 41

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ PAGEREF _Toc419810758 \h 42

АННОТАЦИЯ

Данная работа посвящена исследованию вязкого затухания звуковых волн, поляризованных вдоль оси вращения в сильных центробежных полях порядка 106g. Такие поля обычно образуются в камере газовой центрифуги. Под воздействием таких полей звуковые волны распадаются на три семейства волн: верхнее, нижнее и звуковое.

Каждое семейство отличается скоростью, поляризацией и распределением энергии. Энергия волн первых двух семейств локализуется вблизи оси вращения, в разреженной области газа. Для этих волн не применимы уравнения гидродинамики.

Энергия волн звукового семейства отличается от двух других тем, что сосредоточена вблизи стенки ротора. Здесь плотность газа достаточно высокая, чтобы применять уравнения гидродинамики. Отличает звуковое семейство так же и то, что его волны поляризованы строго вдоль оси вращения и распространяются со скоростью звука.

В данной работе исследуются волны звукового семейства. Для волн этого семейства разработан метод, с помощью которого, на основе анализа ширины резонансных кривых, можно рассчитать их коэффициент затухания. В методе учитываются молекулярная вязкость, теплопроводность и сила трения о стенку ротора. Проведена верификация этого метода для гексафторида урана UF6 без воздействия центробежного поля, которая дала полное соответствие полученного результата с теоретическими предсказаниями. С помощью разработанного метода для гексафторида урана UF6 в центробежном поле порядка 106g были получены зависимости длины затухания волны от ее волнового числа.

ВВЕДЕНИЕ

В мире действует 388 энергетических ядерных реакторов общей мощностью 333 ГВт [5], российская компания «ТВЭЛ» поставляет топливо для 73 из них. Это составляет 17 % мирового рынка.

В настоящее время разрабатываются международные проекты ядерных реакторов нового поколения, например, ГТ-МГР, которые обещают повысить безопасность и увеличить КПД АЭС.

Россия приступила к строительству первой в мире плавающей АЭС, окончание которого намечено на 2016 год. Такие АЭС позволят решить проблему нехватки энергии в отдалённых прибрежных районах страны [7].

США и Япония ведут разработки мини-АЭС, с мощностью порядка 10-20 МВт для целей тепло- и электроснабжения отдельных производств, жилых комплексов, а в перспективе — и индивидуальных домов. С уменьшением мощности установки растёт предполагаемый масштаб производства. Малогабаритные реакторы, такие как  HYPERLINK "https://ru.wikipedia.org/wiki/Hyperion_%D0%90%D0%AD%D0%A1" \o "Hyperion АЭС" Hyperion АЭС, создаются с использованием безопасных технологий, многократно уменьшающих возможность утечки ядерного вещества [8].

Рост количества АЭС потребует увеличения производства низкообогащенного урана. Так как газодиффузионная технология является дорогой, и по оценкам WNA ее доля в общем обогащении упадет до нуля к 2017 году, основная нагрузка ляжет на центробежный метод разделения.

Вот почему вопросы касающиеся исследования процессов, происходящих в газовой центрифуге, являются очень актуальными. Их актуальность растет с каждым годом.

Так как газ внутри центрифуги вращается с очень большой скоростью, экспериментальное изучение этих процессов является сложной задачей. Наиболее эффективный метод исследования – численное моделирование процессов в газовых центрифугах. Радиальный эффект создаётся за счёт разности масс изотопов, а аксиальный — за счёт разности температур на стенках. Но пара отборников, расположенных рядом с торцевыми крышками в газовой камере, во-первых, обеспечивают дополнительную осевую циркуляцию за счёт механического тормоза газа, а во-вторых, создают сильные ударные волны [18], которые быстро затухают, создавая в большей части ротора волны малой амплитуды.

Эти волны исследуются в данной работе. Дело в том, что они могут влиять на распределение потоков в газовой камере за счет передачи энергии и импульса от волн к газу благодаря молекулярной вязкости. Таким образом звуковые волны, генерируемые отборником, могут обеспечить дополнительный механизм генерации осевой циркуляции в газовой центрифуге, который может существенно отличаться от основного.

Целью дипломной работы является исследования механизма вязкого затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на примере газовой центрифуги. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

Разработать численный метод расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых,

Провести тестирование метода на задаче затухания волн в цилиндре без вращения,

Получить аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения,

Для произвольной скорости вращения ротора провести численный расчет декремента затухания в центробежном поле, порядка 106g и сравнить это затухание с аналитическими предсказаниями.

Научная новизна исследования характеризуется тем, что в дипломной работе рассчитывается коэффициент затухания звуковых волн, учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на стенках, что делается впервые. До данной работы, как правило, рассматривался бездиссипативный газ.

Практическая значимость дипломной работы заключается в разработке численного метода расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых, который позволит более детально моделировать процессы в центрифуге и понять как сильно могут влиять звуковые волны на потоки в газовой центрифуге.

ГЛАВА 1 Литературный обзор

Динамика газа в центробежном поле сил

Рассмотрим поведение газа внутри вращающегося вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью Ω цилиндра радиуса а[14]. Будем полагать, что температура газа в роторе Т=const и выходящие потоки газа из него равны нулю.

Для однокомпонентного газа условием термодинамического равновесия системы, находящейся в неоднородном поле сил u(r) должно быть дополнено условием на химический потенциал µ:

µ + u(r) = const, (1.1)

где µ = µ(p, T) – химический потенциал газа при u = 0.

Отметим, что при u=0 и T=const это условие сводится к условию постоянства в равновесии давления в объеме газа.

В случае вращающегося в цилиндре газа поле центробежных сил

u(r)=-MΩ2r22 ,

и соотношение (1.1) принимает следующий вид:

µ(p, T))-MΩ2r22=const,(1.2)

где M – молярная масса газа.

Для дифференциала химического потенциала имеет место следующее термодинамическое соотношение:

dµ = −sdT + V dp, (1.3)

где s и V – энтропия и объем, отнесенные к одному молю.

При температуре газа в цилиндре T=const из (1.2) и (1.3) следует:

V dp = MΩ2rdr,(1.4)

или

RT dppdr=MΩ2r.(1.5)

Равенство (1.4, 1.5) означает, что сила, равная градиенту давления в радиальном направлении, уравновешивается центробежной силой, действующей на единичный объем массой ρ =Mp/RT. Используя уравнение состояния идеального газа p =ρ RT/M, получим:

dpp=MΩ2RTrdr,(1.6)

Интегрирование (1.6) дает распределение давления газа по радиусу во вращающемся цилиндре при условии постоянства температуры газа T:

p(r) = p(0) exp (MΩ2r22RT) = p(0) exp Ar2a2.(1.7)

Рис.1. Зависимость давления гексафторида урана UF6 от радиальной координаты во вращающемся с постоянной угловой скоростью

Ω=1700∙2π с-1 цилиндре радиуса a = 0,065 м

Здесь p(0) – давление газа на оси цилиндра, R – универсальная газовая постоянная, A = MΩ2a22RT. Константа А характеризует отношение кинетической энергии вращения газа к его тепловой энергии.

Физический смысл уравнения (1.2) и распределения (1.7) можно пояснить следующим образом. Молекулы газа под воздействием центробежной силы движутся по радиусу от оси к стенке ротора. Но хаотичное тепловое движение молекул стремится восстановить в объеме ротора равномерную плотность газа. Вследствие этого при постоянной температуре и в отсутствие других движений газа внутри ротора устанавливается термодинамическое распределение Больцмана в поле центробежных сил. Давление (и плотность газа) возрастает по радиусу от минимального значения на оси до максимального возле стенки ротора согласно известной барометрической формуле. Таким образом, условие (1.2) на химический потенциал в пространственно-неоднородном поле центробежных сил приводит к сильной экспоненциальной зависимости давления от радиальной координаты.

Волны в сильном центробежном поле

Роторы газовых центрифуг вращаются с линейной скоростью несколько сотен метров в секунду [17]. Центробежное ускорение может достигать порядка 106g на радиусе ротора в несколько сантиметров, что создает радиальный разделительный эффект в газовой центрифуге. Тем не менее, эффективное разделение изотопов в промышленных центрифугах достигается не только за счет центробежного поля. Результирующую роль играет осевая циркуляция, умножающая радиальный эффект разделения. Вследствие механического торможения газа, одной из причин возникновения циркуляции газа являются отборники, предназначенные для удаления обогащенной и обедненной газовой смеси.

Пара отборников, расположенная около торцевых крышек центрифуги, приводит к образованию сильных ударных волн (Рис.2), распространяющихся вдоль оси центрифуги. Они могут отражаться от торцевых крышек формируя волны, бегущие в обоих направлениях вдоль оси вращения.

Амплитуда ударных волн затухает довольно быстро. В большей части ротора мы имеем дело с волнами небольшой амплитуды, что позволяет рассмотреть их в первую очередь в линейном приближении.

Рис.2. Схема газовой центрифуги с отборниками. Сплошная линия – ударная волна, образованная отборником; пунктирная линия – волна, отраженная от верхней торцевой крышки.

Даже рассматривая волны в линейном приближении возникает ряд сложностей. Во-первых, сильное центробежное ускорение порядка 106 g резко изменяет характеристики линейных волн, во-вторых, сильный радиальный градиент плотности, меняющийся на шесть порядков при изменении радиуса на нескольких сантиметров, дает коэффициент поглощения, изменяющийся на шесть порядков. В таких условиях применение уравнений Навье-Стокса возможно только в узкой области с размером 1-2 см, хотя, как известно, типичный радиус центрифуги 6-8 см. При меньшем радиусе газ становится настолько разреженным, что длина пробега его молекул превышает радиус ротора. В этой области гидродинамические уравнения не работают. Из-за этих причин невозможно оценить даже длину распространения волн.

Предложено следующее решение данной проблемы [18]. Использовать упрощенную модель газа, предполагая, что гидродинамические уравнения справедливы везде. Кроме того, рассматриваем случай бездиссипативного газа, что означает пренебрежение молекулярной вязкостью и теплопроводностью.

Рассмотрим идеальный газ, имеющий молярную массу M и вращающийся с угловой скоростью ω. Система уравнений, определяющая поведение газа во вращающейся системе, запишется следующим образом [18]:

∂D∂t+∂(rDvr)r∂r+∂(Dvφ)r∂φ+∂(Dvz)∂z=0, (1.8)

D∂vr∂t+Dvr∂vr∂r+ω∂vr∂φ+vφ∂vrr∂φ+vz∂vr∂z-ω2r-2ωvφ-vr2∂r=

=-∂P∂r , (1.9)

D∂vφ∂t+Dvr∂vφ∂r+ω∂vφ∂φ+vφ∂vφr∂φ+vz∂vφ∂z+2ωvr-2ωvφ+vφvrr=-∂Pr∂φ, (1.10)

D∂vz∂t+Dvr∂vz∂r+ω∂vz∂φ+vφ∂vzr∂φ+vz∂vz∂z=-∂P∂z, (1.11)

Dcp∂τ∂t+Dcpvr∂τ∂r+ω∂τ∂φ+vφ∂τr∂φ+vz∂τ∂z=∂P∂t+vr∂P∂r+ω∂P∂φ+ vφ∂Pr∂φ+vz∂P∂z, (1.12)

где cp – теплоемкость при постоянном давлении, P - давление, D - плотность, τ – температура и vr, vφ, vz –радиальная, угловая и осевая компоненты скорости.

Параметры газа могут быть представлены суммой параметров твердотельного вращения и неких отклонений:

vr=vr, vz=vz, vφ=vφ, P=p0+p, D=ρ0+ρ, τ=T0+T , (1.13)

где p0, ρ0, T0 – давление, плотность и температура твердотельного вращения, соответственно, vr, vφ, vz, p, ρ, T – отклонения радиальной, угловой, осевой компонент скорости, давления, плотности и температуры от значений твердотельного вращения, соответственно.

Зависимости от радиуса давления и плотности при твердотельном вращении имеют вид:

p0r=pwexp(Mω22RT0r2-a2), (1.14)

ρ0r=ρwexp(Mω22RT0r2-a2), (1.15)

где, a – радиус ротора, а pw и ρw – давление и плотность газа на стенке, соответственно.

Плотность идеального газа равна:

ρ=MpRT (1.16)

Для отклонения плотности газа от твердотельного вращения имеем:

ρ=MpRT0-ρ0TT0, (1.17)

Предполагая, что волны осесимметричны и делая ряд преобразований с уравнениями (1.8)-(1.17) [18], получаем:

AB-ω4r2iΩcpT0Φ=ω4xc2cpT0Φ-2ω2MxRT0∂Z∂x+4x∂2Z∂x2, (1.18)

где A=ik2Ω-iΩc2,

B=-iΩ-4ω2iΩ,

Φ=ρ0Vr,

x=r2.

Для удобства введем Z=Yeω2Mx4RT0. После подстановки получим:

Y''+14A'+B'xY=0 (1.19)

Где A'=-M2ω44R2T02+k2ω4cpT0Ω2

B'=-k2-Ω2c2Ω2-4ω2Ω2

Уравнение (1.19) удобно рассматривать как уравнение Шредингера для частицы в потенциале вида:

Ux=-14A'+B'xпри x<a, Ux=∞, при x≥a

Граничные условия будут находиться из условия равенства нулю радиальной компоненты скорости на стенке и на оси:

Y0=0, Ya2=0

Анализ уравнений (1.18), (1.19) показывает, что в газовой центрифуге образуются волны трех семейств (рис.2), два семейства, названные верхним и нижним, при условии А≠0, и одно, названное звуковым, для условия А=0. Рассмотрим сначала первые два семейства. При условии А≠0 решение уравнения (1.19) будет выглядеть как [19]:

Y=WMB'4A'0.5,A'x

Где WM- функция Уиттекера, удовлетворяющая условию:

WMx=0=0.

Граничное условие x=a2 дает нам дисперсионные соотношения для Ωk, и все возмущения выражаются через Y следующим образом:

Vr=Yeω2Mr24RT0rρ0

Vϕ=2ωYeω2Mr24RT0iΩrρ0

Vz=kpΩρ0 (1.20)

p=1Aω2Yeω2Mr24RT0cpT0-∂(Yeω2Mr24RT0)r∂r

T=-iΩp+ρ0ω2rVr-iρ0cpΩ

Функция Ωk изображена на Рис.3. Линии для условий A'=0 и B'=0 также показаны на Рис.3. Условие B'=0 дает две линии: Ω=2ω и Ω=kc, последнее – закон дисперсии обычных звуковых волн. Условие A'=0 дает линию Ω=2γ-1γck, которая находится ниже линии Ω=kc для любого реального газа с показателем адиабаты λ<2. В данном случае в качестве рабочего газа используется UF6 с показателем адиабаты λ=1,67. Параметры рабочего газа указаны в Таблице 1.

Таблица 1. Основные параметры газовой центрифуги Игуасу

Параметр

Значение

M

352 г/моль

a

0,065 м

2π×1700 с-1

T0

300 K

ρw

80 мм рт. ст.

cp

385 Дж·K/кг

c

86 м/с

Рис.3. Закон дисперсии для первых четырёх радиальных мод волн верхнего и нижнего семейства (линии 1-4). Линия 5 – закон дисперсии обычных звуковых волн Ω=kс, линия 6 показывает условие A'=0.

Волны образуемые при выполнении условия А≠0 делятся на две семьи, верхнюю с Ω>ck и нижнюю, для которой Ω<ck. Рис. 3 показывает только первые 4 радиальные моды волн в зависимости от волнового вектора k, направленного вдоль оси вращения. Согласно рисунку линии верхнего семейства стремятся к линии 5 при росте k. При k→∞ их фазовые скорости стремятся к скорости звука, а при k→0 выполняется условие Ω→Ω*.

Если Mω2a22≫kT0, то мы имеем выражение для Ω*:

Ω*=1.2335∙2ω

Для верхнего семейства волн потенциал U(x) имеет вид представленный на Рис.4 кривыми I,IV. Данный вид потенциала характерен для этого семейства при любом k, так как Ω>ck, Ω>2ω и A'<0. Видно, что классическая область в которой выполняется условие Ux≤0 расположена вблизи оси вращения. Волны в этой области могут двигаться с энергией равной нулю, а недалеко от стенки ротора волны экспоненциально затухают. Это означает, что возмущения всех переменных будут сосредоточены рядом с осью вращения.

Дисперсия нижнего семейства кривых сложнее. Изменения потенциальной энергии происходят из-за смены знака A'и B'. Всего получается три зоны.

В первой зоне I - A'<0, a B'>0. Как показывают расчеты[18], потенциал возмущения сконцентрирован на оси.

В зоне II, хотя A' и меняет знак, и потенциал принимает вид, изображенный на Рис.3, но потенциал также будет сконцентрирован вдоль оси[18].

В зоне III A'>0 и B'>0 и потенциал имеет вид представленный на рис.3. Классическая область для волн будет располагаться вблизи стенки ротора, хотя эта область приближается к оси с ростом k, что подтверждает рис.4.

Существует одно важное свойство, объединяющее волны верхнего и нижнего семейств. Плотность энергии этих волн достигает максимума в областях, в которых плотность газа мала по сравнению с плотностью газа на стенке ротора. Даже в случае нижнего семейства максимум плотности энергии располагается на расстоянии около 1 см от стенки ротора[18]. А это значит, что эти решения не совсем точны. На них будет влиять два фактора. Во-первых, молекулярная вязкость в этих областях будет доминировать над динамикой газа, изменяя решение. Во-вторых, гидродинамические уравнения не будут справедливы в областях, расположенных близко к оси. Следует применять кинетические методы.

Рис. 4. Зависимость U от r для волн верхней и нижней семей. Числа около кривых соответствуют зонам, где реализуется потенциал.

Рассмотрим более интересный, для нас, случай, когда выполнено условие А=0. Этот случай требует отдельного рассмотрения, так как это решение было потеряно в ходе вычислений. Назовем это семейство – звуковым. Волны данного семейства распространяются со скоростью звука и являются строго продольными. Давление в этих волнах[18]:

p=pwexpω2r2-a22c2

где pw - давление на стенке ротора. Vz связано с возмущением давления по формуле (1.20). Это следует из этого уравнения:

Vz=cγpwpwexp1-γω2r2-a22c2

Рис.5 Радиальное распределение в звуковом семействе волн: (а) скорость,

(b) плотность кинетической энергии.

Как видно из Рис.5, основная часть кинетической энергии сосредоточена около стенки ротора. Это свойство кардинально отличает данное семейство волн от тех, которые обсуждались ранее, позволяя использовать гидродинамические уравнения для его описания.

Для физики газовых потоков наибольший интерес представляют именно звуковое семейство волн. Так как энергия верхнего и нижнего семейств располагается близко к оси, где процессы вязкости и теплопроводности превалируют над остальными. А значит волны этих семейств будут быстро затухать. К тому же в данной работе волны рассматриваются в гидродинамическом приближении, а волны верхнего и нижнего семейств целесообразно описывать в кинетическом приближении.

Затухание звуковых волн

Одной из главных причин затухания звуковых волн в газе, является наличие вязкости и теплопроводности, приводящее к диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т.е. его интенсивность постепенно уменьшается. Выведем формулу, использующуюся в данной работе для расчета коэффициента затухания звука, учитывающую диссипацию энергии за счет молекулярной вязкости и теплопроводности.

Для вычисления диссипируемой в единицу времени энергии Емех воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энергия представляет максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия. Максимальная работа совершается, если переход происходит без изменения энтропии, и равна соответственно:

Емех = Е0 ̶ Е(S),

Где Е0 есть начальное значение энергии тела в исходном состоянии, а Е(S) – энергия тела в состоянии равновесия с той же энтропией S, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем:

Eмех= ̶ E (S) -∂Е ∂S S.

Производная от энергии по энтропии есть температура. Поэтому

∂Е ∂S – температура, которую имело бы тело, если бы оно находилось в состоянии термодинамического равновесия (с заданным значением энтропии). Обозначая эту температуру как Т0 имеем, следовательно:

Емех = Т0 S.

Воспользуемся для S выражением:

∂∂tρs dV=x(∇T)2T2dV+η2T∂vi∂xk+∂vk∂xi-23δik∂vl∂xl2dV+ζT(div v)2dV (1.21)

включающим в себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью, так и вязкостью. Поскольку температура Т мало меняется вдоль жидкости и мало отличается от Т0, то можно вынести ее из-под знака интеграла и писать Т вместо Т0:

Eмех=- κT∇T2dV- η2∂vl∂xk+∂vk∂xl-23 δik∂vl∂xk 2dV- ζdiv v2dV.

Эта формула представляет собой обобщение формулы

Eкин=-η2∂vi∂xk+∂vk∂xi2dV

на случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности.

Пусть ось х совпадает с направлением распространения звуковой волны. Тогда

vx=v0coskx-ϖt, vy=vz=0

Два последних члена в (1.21) дают

- (43η+ζ)∂vx∂x2dV=-k243η+ζv02sin2kx-ϖtdV.

Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин; усреднение дает:

-k243η+ζv02sin2kx-ϖtdV=-k2 43+ζ12v02V0,

где V0 – объем газа.

Далее, вычислим первый член в (1.21). Отклонение Т′ температуры в звуковой волне от своего равновесного значения связано со скоростью формулой

T'=cβTcpv

так что градиент температуры равен

∂T∂x=βcTcp∂v∂x=-βcTcpv0sinkx-ϖt .

Для среднего по времени значения от первого члена в (1.21) получаем:

-xc2Tβ22cp2v02k2V0.

С помощью известных термодинамических формул

cp-cv=Tβ2∂p∂ϱT=Tβ2cvcp∂p∂ϱs=Tβ2c2cvcp

можно переписать выражение в виде

-x21cv-1cp k2v02V0.

Собирая полученные выражения, находим среднее значение диссипации энергии в виде

Eмех=-k2v02V0243η+ζ+k1cv-1cp(1.22)

Полная же энергия звуковой волны равна

E=ρv022V0.(1.23)

Для звука имеем дело с задачей, в которой интенсивность звуковой волны падает с увеличением пройденного расстояния x. Очевидно, что это уменьшение будет происходить по закону e-2γ x, а для амплитуды как – e-γ x, где коэффициент поглощения γ определяется посредством

γ=Eмех2cE.

Подставляем сюда (1.22) и (1.23), находим, таким образом, следующее выражение для коэффициента поглощения звука[10]:

γ=ω22ρc343η+ζ+κ1cv-1cp≡aω2,(1.24)

которое используется для расчёта объёмного эффекта затухания звуковых волн при верификации.

ГЛАВА 2 Методика расчета

Постановка задачи

Задача состоит в разработке численного метода расчета коэффициента затухания волн звукового семейства, распространяющихся в центрифуге, на основе анализа резонансных кривых и исследовать зависимости длины затухания звуковой волны от её волнового вектора, а также от радиуса ротора.

Для этого рассмотрим цилиндрическую трубу (ротор), заполненную гексафторидом урана UF6. Газ обладает теплопроводностью и молекулярной вязкостью. Ротор вращается с угловой скоростью Ω. Его длина L намного больше, чем радиус r (L>> r), что позволяет считать ротор бесконечным (Рис.6.). Предполагаем, что температура T на внешней стенке постоянна и равна 300 K. Внутри ротора находится источник звуковых волн. Он генерирует звуковые волны c волновым вектором k, который направлен вдоль оси вращения.

Рис.6. Ротор

Фундамент исследования составила работа [14] в которой предложен метод верификации, основанный на полуаналитическом решении задачи о циркуляции газа в роторе бесконечной длины. Поставленная задача решается с гармоническим возмущением малой амплитуды во вращающемся газе. В работе также показано, как решение системы уравнений в частных производных сводится к решению системы однородных дифференциальных уравнений, которые могут быть решены почти с любой точностью на персональном компьютере.

Запишем основную систему дифференциальных уравнений во вращающейся цилиндрической системе координат, описывающих движение в роторе [10]:

∂ρ∂t+∂(rρvr)r∂r+∂(ρvϕ)r∂ϕ+∂(ρvz)∂z=0, (2.1)

ρ∂vr∂t+ρvr∂vr∂r+Ω∂vr∂ϕ+vϕ∂vrr∂ϕ+vϕ∂vr∂z-Ω2r-2Ωvϕ-vϕ2r=-∂p∂r+μ∆-1r2vr+∂3∂rdiv(v), (2.2)

ρ∂vϕ∂t+ρvr∂vϕ∂r+Ω∂vϕ∂ϕ+vϕ∂vϕr∂ϕ+vz∂vϕ∂z-2Ωvr+vϕvrr=-∂pr∂ϕ+μ∆-1r2vϕ+fϕ, (2.3)

ρ∂vz∂t+ρvr∂vz∂r+Ω∂vz∂ϕ+vϕ∂vzr∂ϕ+vz∂vz∂z=-∂pr∂ϕ+μ∆vz+∂divv3∂z (2.4)

ρ cp∂T∂t+ρ cpvr∂T∂r+Ω∂T∂ϕ+vϕ∂Tr∂ϕ+vz∂T∂z=∂p∂ϕ+vr∂p∂r+Ω∂p∂ϕ+vϕ∂pr∂ϕ+vz∂p∂z+λ∆T+μ∂vz∂r+∂vr∂z2+∂vϕ∂z+∂vzr∂ϕ2+∂vrr∂ϕ+∂vϕ∂r+vϕr2+124∂vr3∂r-2∂vϕ3r∂ϕ-2vr3r-2∂vz3∂z2+124∂vϕ3∂ϕ+4vr3r-2∂vr3∂r-2∂vz3∂z2+124∂vz3∂z-2∂vz3∂r-2∂vϕ3r∂ϕ-2vr3r2+q. (2.5)

Плотность ρ0 и давление p0, подчиняются следующим распределениям:

p0=pwexpMΩ22RT0r2-rвнеш2, (2.6)

ρ0=ρwexpMΩ22RT0r2-rвнеш2, (2.7)

где pw и ρw – давление и плотность на стенке ротора, соответственно,

образуется система уравнений, которая численно решается с помощью Maple при граничных условиях скользящей стенки:

vr=0

3581400-33210500∂vϕ∂r=vϕr (2.8)

∂vz∂r=0

и граничных условиях трения на стенке:

vr=vϕ=vz=0. (2.9)

Сравнение результатов, полученных с помощью данной полуаналитической модели и результатов численного моделирования, полученных в среде ANSYS CFX, показывает, что результаты эквивалентны[14].

Теоретический анализ

Получим аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения в центробежном поле сил. Для этого запишем систему уравнений для аксиальной компоненты скорости в цилиндрической системе координатах:

∂ρ∂t+ρ0∂vz∂z=0,

2733675-43116500ρ0∂vt∂t=-∂p∂z+4μ3∂2vz∂z2+ξ,

ρ0сp∂T∂t=∂p∂t.

Пользуясь тем, что параметры газа могут быть представлены суммой параметров твердотельного вращения и неких отклонений (1.13), а так же уравнением состояния газа (1.16), запишем соотношение ρ=MpRT0-ρ0TT0.

Подставляя его в первое уравнение системы и решая систему относительно vz, получим уравнение:

ρ0∂2vz∂t2-4μ3∂3vz∂t∂2z-c2ρ0∂2vz∂z2-ξ=0.

Перепишем это уравнение, предполагая что vz=Fe-ikz,

а ξ=-U0ωccos(ωct)e-ikz:

ρ0∂2F∂t2+4μk23∂F∂t+c2k2ρ0F-U0ωccos⁡(ωct)=0. (2.10)

Решение уравнения (2.10) будет состоять из общего однородного и частного неоднородного:

F=Foo+Fчн.

Решая общее однородное уравнение

ρ0∂2F∂t2+4μk23∂F∂t+c2k2ρ0F=Uωccos(ωct)=0,

получим:

Foo=e-2μk23ρ0c1coskc2-4μ2k29ρ0+c2sinkc2-4μ2k29ρ0.

Решая частное неоднородное уравнение

Uωccos(ωct)=Φ0ωcRe e-iωct

получим:

Fчн=Φ0ωcρ0c2k2-ωc2-4μk2iωc3ρ0=Φ0ωcc2k2-ωc2+4μk2iωc3ρ0ρ0c2k2-ωc22+16μ2k4ωc29ρ02 .

Их сумма запишется как:

F=Φ0ωcρ0c2k2-ωc22+16μ2k4ωc29ρ02cosωct+φ,

Усредняя, получаем:

F=Φ0ωcρ0c2k2-ωc22+16μ2k4ωc29ρ02.

Так как энергия пропорциональна квадрату скорости, окончательно получим:

E=A0ωc2c2k2-ωc22+16μ2k4ωc29ρ02,

где А0- нормировочная постоянная.

Так как вторая вязкость не внесёт значительного вклада, а теплопроводность на этом этапе не учитывается, перепишем формулу (1.24) без второй вязкости и теплопроводности:

γ=2ωc2η3ρc3

Запишем коэффициент поглощения звуковых волн в единицу времени:

γ'=2ωc2η3ρc2

Принимая во внимание то, что k=ω/c и перейдя к единым обозначениям получим выражение для распределения энергии:

E=aωc2ωc рез2-ωc22+bωc2

где ωc рез2=c2k2, b=4γ'2, а a – нормировочная постоянная,

которое принимает вид резонансной кривой.

Теперь перейдем к выводу коэффициента затухания звука в центробежном поле сил. Для этого запишем общий вид коэффициента затухания звука в трубе без вращения [10]:

γ'=Eмех2E0,

где E0=ρ0v022dV.

Для коэффициента затухания звука во вращающейся системе:

γb'=Eмех2Eb,

где Eb=ρbv022dV, ρb = ρ0 exp-A(rвнеш2-r2).

Домножив числитель и знаменатель выражения для коэффициента затухания звука во вращающейся системе на E0, получим:

γb'=Eмех2E0E0Eb,

Откуда сразу имеем: γb'=γ'E0Eb. После подстановки Eb и E0, и преобразований, получаем следующее выражение для коэффициента затухания звуковых волн в центробежном поле сил:

γb'=γ'Ar2. (2.11)

Коэффициент γb' имеет размерность [1/c] и характеризует затухание звуковой волны, бегущей вдоль оси вращающейся центрифуги, в единицу времени. Энергия такой волны будет убывать с течением времени по закону

E=const∙e-2γt, а амплитуда А=const∙e-γt.

Описание программы

Структура программы довольно проста. Первым делом производится расчет давления и плотности газа в роторе с помощью распределений (2.6) и (2.7), после чего решается система однородных дифференциальных уравнений (2.1)-(2.5), которая после линеаризации [14] принимает вид:

-ρ0Eg-2ρ0ΩK-MΩ2BrRT0+ρ0LΩ2rT0+B'=μ4∂3∂r∂rC∂r-k2C-kF'3,

ρ0Kg+2ρ0ΩU=μV''+V'r-k2V-Vr2+ξ,

-ρ0Vg+2ρ0ΩC=μK''+K'r-k2K-Kr2,

ρ0Fg+kA=μW'r+W''-4k2W3+kU3r+kU'3,

ρ0Wg+kB=μF'r+F''-4k2F3+kC3r+kC'3,

ρ0cpLg-Bg=ρ0Ω2rU+λT'r+T''-k2T+θ,

-ρ0cpTg+Ag=ρ0Ω2rC+λL'r+L''-k2L.

с граничными условиями (2.8) или (2.9).

Далее по формуле:

E=ρv22dV,

где v2=vr2+vz2+vφ2

считается суммарная энергия волны.

По полученным значениям строится график зависимости энергии волны от ее частоты. Рис. 7.

Рис.7. Пример расчетного графика зависимости энергии волны от её частоты

Предполагая вид кривой, полученный в прошлой главе:

E=aωc2ωc рез2-ωc22+bωc2,

где a и b – искомые параметры,

проводится аппроксимация полученных значений к данному виду, и наконец зная численное значение b, находится значение коэффициента затухания из формулы b=4γ'2.

Все вышеизложенные вычисления проводятся с заранее заданными шагом по частоте и параметрами, приведенными в таблице2.1.

Таблица 2.1. Расчетные параметры центрифуги

Параметр

Значение

M

 352 грамм∙ моль-1

 rвнеш

 0,065 м

 rвнут

 0,0001 м

 2π ∙ 1700 с-1

 T0

 300 K

 P

 10665 Па

 K

 2π ∙ 10 - 2π ∙ 200 м-1

 cp

 385 Дж ∙кг-1 ∙ К-1

 μ

 1,83 ∙ 10-5 Па ∙с

 J

 2π ∙ 868 – 2π ∙ 17376 с-1

 Λ

 0,0061 Вт∙м-1 ∙К-1

R

8,314462 м2 ∙кг ∙с-2 ∙К-1 ∙Моль-1

G

1,067

где M – молярная масса гексофторида урана (UF6), rвнеш –внешняя граница расчетов, rвнут – внутренняя граница расчетов, Ω – круговая частота вращения ротора, T0 – температура на внешней границе, p – давление на внешней границе, k – волновое число задаваемых возмущений,  cp – удельная теплоемкость гексофторида урана UF6 при постоянном давлении, μ –динамическая вязкость гексофторида урана UF6,  j – частота задаваемых возмущений,  λ – теплопроводность гексофторида урана UF6, R – универсальная газовая постоянная, g – показатель адиабаты.

 

Верификация

Верификацию данной программы начнём с рассмотрения покоящегося цилиндра без трения на стенках заполненного вязким газом. Для этого положим скорость вращения и теплопроводность равную нулю и используем граничные условия свободного скольжения на стенках.

Построив теоретический график зависимости энергии волны от ее частоты, и сравнив его с полученным численно (Рис.8), легко увидеть, что на данном этапе метод даёт правильный результат.

Рис.8. Графики зависимости энергии волны от её частоты в вязком теплопроводящем газе. wexp – расчетные значения, vel2(ws) – теоретическая кривая, FIT – кривая, полученная интерполяцией расчетных значений

Ниже представлены теоретическая и аппроксимированная функции для данного случая, соответственно:

vel2ws≔88289.65441 ws2(-1.ws2+3.019743877∙106)2+0.001649322098 ws2

FIT≔88860.7696883784 ws2(-1.ws2+3.019743877∙106)2+0.00165999898122520 ws2

Среднеквадратичное отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,76%.

Далее рассмотрим покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом, и сравним результаты с теоретическими (Рис.9).

Рис.9. Графики зависимости энергии волны от её частоты в вязком теплопроводящем газе. wexp – расчетные значения, vel2(ws) – теоретическая кривая, FIT – кривая, полученная интерполяцией расчетных значений

Далее представлены теоретическая и аппроксимируемая резонансные кривые для данного случая, соответственно:

vel2ws≔88348.14908 ws2(-1.ws2+3.019743877∙106)2+0.001793498560 ws2

FIT≔88860.9789333783 ws2(-1.ws2+3.019743877∙106)2+0.00180391700648553 ws2

Среднеквадратичное отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,78%.

Как видно из Рис.8 и Рис.9 теоретическая и рассчитанная резонансные кривые совпадают, это говорит о правильности расчетов. Получим теперь численно зависимости коэффициента затухания звуковых волн в газе для двух случаев, имеющих теоретическое решение.

Первый случай - это покоящийся цилиндр, заполненный вязким теплопроводящим газом. Трение о стенку ротора для рассматриваемого случая не учитываем. Ранее для этого случая была получена формула (1.24):

считаем, что член со второй вязкостью ζ не внесёт существенной поправки:

γ=ϖ22ρc343η+κ1cv-1cp, (2.12)

Для наглядности преобразуем (2.9) в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

λtheor1=2ρck243η+κ1cv-1cp-1 (2.13)

На Рис.10 представлены теоретический и расчетный графики зависимости длины затухания волны от ее волнового числа в вязком теплопроводящем газе.

Рис.10. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом вязкости и теплопроводности в логарифмическом масштабе. λexp1 – экспериментальный график, λtheor1 – теоретический график

Видно, что зависимость имеет степенной характер. Более того среднеквадратичное отклонение расчетной зависимости от теоретической оказывается даже меньше, чем для резонансной кривой и составляет 0,52%.

Рассмотрим второй случай - покоящийся цилиндр с трением на стенках заполненный идеальным газом. Теоретическая зависимость коэффициента поглощения от частоты возмущения имеет вид [10]:

γ=ω2ρRcη+cpcv-1κ

также преобразуем её в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

λtheor2=2ρRkcη+cpcv-1κ-1 (2.14)

На Рис.11 представлены теоретический и расчетный графики для рассматриваемого случая.

Рис.11. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом трения на внешней стенке в логарифмическом масштабе. λexp2 – экспериментальный график, λtheor2 – теоретический график

Эти графики также совпадают. А среднеквадратичное отклонение для этого случая составляет 0,56%.

Предполагаем, что общий коэффициент затухания звука учитывает вязкость, теплопроводность и трение на стенке ротора. Формула (2.13) учитывает поглощение за счёт вязкости и теплопроводности, а формула (2.14) учитывает поглощение за счёт трения о стенку. Найдем общий коэффициент

затухания звука по формуле:

λΣ=λtheor1λtheor2λtheor1+λtheor2 (2.15)

Произведем расчет, учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на стенке ротора. И сравним результат с теоретическим результатом, полученным по формуле (2.15).

На Рис.12 видно, что теоретическая и расчетная зависимости имеют одинаковый вид.

Рис.12. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. λexp- экспериментальный график учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке, λ1- теоретический график учитывающий вязкость и теплопроводность, λ2- теоретический график учитывающий трение на внешней стенке, λΣ - теоретическая зависимость рассчитанная по формуле (2.15)

Как теоретическая, так и расчетная зависимости при малых волновых числах k асимптотически стремятся к зависимости, учитывающей трение о стенку, а при больших волновых числах k учитывающую вязкость. Отсюда можно сделать вывод, что при малых волновых числах k основную роль в затухании играет процесс трения на стенках, но при их росте всё большую роль играет вязкость газа и его теплопроводность.

Расчёт

Теперь рассчитаем случай максимально приближенный к реальной центрифуге: вращающийся цилиндр со всеми диссипативными взаимодействиями (трением на внешней стенке, вязкостью и теплопроводностью).

Для этого случая теоретических зависимостей нет, поэтому нам придётся полагаться на расчет и полученный ранее коэффициент затухания звука в центробежном поле сил.

Зная зависимость коэффициента затухания звука от его частоты (1.24) и рассчитанный выше поправочный коэффициент на скорость вращения ротора (2.8), несложно получить зависимость длины затухания волны от её волнового числа для рассматриваемого случая:

λ1' =2ρck2Ar243η+k1cv-1cp-1, (2.16)

с которой расчёт полностью согласуется.

Формула (2.14) не учитывает трения на стенках цилиндра. На данный момент не существует теоретических моделей, учитывающих трение на стенках цилиндра для звуковых волн в сильном центробежном поле. Поэтому для этого случая построен численный график зависимости длины затухания звуковой волны от ее волнового числа.

Производя вычисления по формуле:

λсумм'=λ1'λ2'λ1'+λ2' (2.17)

где λ2' - расчетная зависимость глубины проникновения волны от ее волнового числа с учетом силы трения,

получаем зависимость глубины проникновения волны от ее волнового числа, учитывающую молекулярную вязкость, теплопроводность и трение на стенке ротора. Все зависимости приведены на Рис.13.

Рис.13. Графики зависимости глубины проникновения волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. λexp' глубины проникновения учитывающая вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке рассчитанная экспериментально, λ1'- теоретическая глубины проникновения учитывающая вязкость и теплопроводность, рассчитанная по формуле (2.16), λ2'- теоретическая глубины проникновения учитывающая трение на внешней стенке, λсумм' теоретическая зависимость, рассчитанная по формуле (2.17)

С помощью Рис.12 и Рис.13 можно сделать вывод о характере затухания звуковой волны в центробежном поле. При малых волновых числах k основную роль в затухании играет процесс трения на стенках, и так же, как и без поля, с ростом увеличивается роль объемных процессов диссипации. Зависимости имеют идентичный вид, однако смещенный по оси примерно на два порядка. Это говорит о том, что центробежное поле сил заметно влияет на затухание звуковых волн.

Также проведён расчет зависимости длины пробега звуковой волны в вязком теплопроводящем газе от радиуса ротора для двух случаев: с трением и без. Результаты расчета представлены на Рис.14.

Рис.14. Графики зависимости длины затухания волны от радиуса ротора в вязком теплопроводящем газе для двух случаев: λexp3- с трением, λexp4- без трения

Из Рис.14 видно, что, рассматривая случай без трения о стенку, длина затухания волны растет прямо пропорционально радиусу ротора. Это понятно если провести аналогию с током, текущим по проводу: чем больше площадь сечения провода, тем больше его проводимость. Но если рассматривать случай с трением о стенку ротора, то зависимость имеет вид ассиметричного колокола. С пиком в области 2 см. Этот пик можно объяснить следующим образом. Сила трения о стенку ротора увеличивается пропорционально радиусу ротора. При значениях радиуса близких к нулю влияние силы трения незаметно. Начиная со значения радиуса равного примерно 0,5 см сила трения начинает воздействовать на волну, тем самым заставляя ее затухать. А так как сила увеличивается прямо пропорционально радиусу, то в какой-то момент возникает пик.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования были получены следующие результаты:

Разработан численный метод расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых, который не требует больших вычислительных мощностей.

Проведено тестирование метода на задаче затухания волн в роторе без вращения. Тестовый расчет показал полное согласие с имеющейся, на сегодняшний день, теоретической моделью

Получено аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения. Это выражение было подтверждено численным расчетом, проведенным с помощью данного метода

Проведен численный расчет декремента затухания в центробежном поле, пропорциональном 106g, который показал соответствие аналитическим предсказаниям.

Помимо основных задач была рассмотрена зависимость длины затухания волны от радиуса ротора в вязком теплопроводящем газе и сделаны выводы о влиянии силы трения на процесс затухания.

Следует отметить, что данные результаты были получены только для звукового семейства волн, возникающего в сильных центробежных полях. Верхнее и нижнее семейства волн требуют дальнейшего изучения, но уже в рамках кинетической модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Proudman J., On the motion of solids in liquids possessing vorticity, Proc. Roy. Soc., 1916

Taylor G. I., Experiments with rotating fluids, Proc. Cambridge Phif. Soc., 1921

Taylor G. I., Experiments on the motion of solid bodies in rotating fluids, Proc. Roy. Soc., 1923

Kelvin Lord, Vibrations of a columnar vortex. Phil. Mag., 1880

Вjernes V. and Sоlberg H., Zellulare Tragheitswellen und Turbulence, Avhandl Norsk Vid. Akad. Nat., 1929

Greenspan P. Harvey, The Theory of Rotating Fluids, Cambridge At the University Press, 1968

Miles J. W., The Cauchy Poissin problem for a rotating liquid, J. Fluid Mech., 1963

Fultz D., A note on overstability and the elastoid-inertia oscillations of Kelvin, Solberg and Bjerkness, J. Meteorol., 1959

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Гидродинамика, Теоретическая физика: т.VI (3-е изд., перераб.), М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986

Лайтхилл Дж., Волны в жидкостях, Пер. с англ., M.: Мир, 1981

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Статистическая физика, ч.1, Теоретическая физика: т.V, М: Физматлит, 2003

V. D. Borisevich, V. D. Borman, G. A. Sulaberidze, et al., Physical Foundations of Isotope Separation in the Gas Centrifuge, Mosk. Energ. Inst., 2011

S.V.Bogovalov, V.D.Borisevich, V.D.Borman, V.A.Kislov, I.V.Tronin, V.N.Tronin, Verification of Software Codes for Simulation of Unsteady Flows in a Gas Centrifuge, Received November 22, 2012

Bogovalov S.V., Borisevich V.D., Borman V.D., Kislov V.A., Tronin I.V., Tronin V.N., Verification of numerical codes for modeling of the flow and isotope separation in gas centrifuges, Computers & Fluids, 2013

Борисевич В.Д., Борман В.Д., Сулаберидзе Г.А., Тихомиров А.В., Токманцев В.И., Физические основы разделения изотопов в газовой центрифуге, М.:МИФИ, 2005

Geoffrey Rothwell, Market Power in Uranium Enrichment, Science and Global Security, 2009

Harvey P. Greenspan, The Theory of Rotating Fluids, Cambridge At the University Press, 1968

S.V. Bogovalov, V.A. Kislov, I.V. Tronin, Waves in strong centrifugal fields: dissipationless

Abramowitz M., Stegun I. A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, 1964

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Скачать

Diplom_23052015.docx

Diplom_23052015.docx
Размер: 1.4 Мб

Бесплатно Скачать

Пожаловаться на материал

Дипломный проект. Данная работа посвящена исследованию вязкого затухания звуковых волн, поляризованных вдоль оси вращения в сильных центробежных полях

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Социология. Социологическая мысль в России

Социология — это наука об общих закономерностях становления, функционирования и развития общества в целом, а также социальных общностей и социальных отношений. Социологическая мысль в России развивается как часть общемировой социологической науки.

Институциональная экономика

Характерные черты неоинституциональной экономики. Новая институциональная экономика. Теория общественного выбора: норма как результат рационального выбора. Экономика соглашений: норма как предпосылка рационального поведения.

Влияние компьютера на здоровье человека. Реферат

Влияние компьютера на здоровье человека: влияние электромагнитного излучения; компьютер и зрение; заболевания, связанные с мышцами и суставами; стресс, бессонница, нервные расстройства; заболевания органов дыхания. Меры предосторожности и профилактика заболеваний при работе с компьютером.

Управління працею. Моніторинг соціально-трудової сфери як інструмент регулювання й удосконалення соціально-трудових відносин

Процеси становлення в нашій державі соціально орієнтованої ринкової економіки спричинюють зростання складності та багатогранності соціально-економічних процесів, зумовлюють підвищення відповідальності за управлінські рішення, які приймаються на всіх рівнях. Це передбачає володіння об'єктивною, точною та релевантною інформацією. Основні напрями моніторингу соціально-трудової сфери

Структура политической системы. Онтологические свойства политики. Определении понятия политика

Суть субстанционального и социологического подходов в определении понятия политика. Телеологический подход в определении понятия политика. Пример анализа онтологических свойств политики России.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok