Универсальные понятия и термины математической наукой

В развитии математики, как и всякой другой науки, идет постоянный процесс совершенствования и логического обоснования понятий. Понятия постепенно приобретают соответствующую им общность, определенность смысла и освобождаются от дефектов логического порядка, которые могут состоять в их самопротиворечивости или в несогласии с принципами теории.

Важнейшей особенностью математического понятия, которая отличает его от понятия эмпирического, является то, что в своей эволюции оно неизбежно достигает предела совершенства, который можно назвать стадией полной логической корректности. Анализ методологии и реальной истории математики позволяет утверждать, что развитие математической теории, будучи направленным на решение конкретных задач, неизбежно приводит к необходимой корректировке любого значимого для нее понятия и, в конечном итоге, к полному освобождению его от содержащихся в нем логических дефектов. Мы будем говорить о принципиальной завершенности математического понятия, подразумевая под этим то обстоятельство, что математическая практика неизбежно и в конечное время доводит каждое математическое понятие до стадии полной логической корректности.

Под логической корректностью понятия надо понимать здесь две вещи, а именно, отсутствие самопротиворечивости, т. е. противоречащих требований в самом его определении, и отсутствие несогласованности заложенных в нем требований с аксиомами теории. Мы не предполагаем здесь завершенности понятия в каком-либо ином смысле, к примеру, в смысле общности. Общее понятие площади не может быть дано в понятиях элементарной геометрии и в этом смысле это понятие не достигает здесь завершенности, хотя применительно к площадям простых фигур, оно используется с полной определенностью. Мы не связываем также с корректностью понятия никаких требований типа конструктивности или предикативности, ибо и неконструктивные, и непредикативные определения, в принципе, могут обладать полной корректностью в указанном смысле.

Наш общий тезис сводится к тому, что естественный процесс совершенствования математической теории в конечное время приводит к устранению всех противоречий, связанных с ее значимыми понятиями. Этот тезис аналогичен тезису о завершенности доказательства и о завершенности системы аксиом и вскрывает, таким образом, один из аспектов внутренней стабилизации математического знания.

Общая методология науки всегда указывала на системный характер теоретических понятий. «Отдельное понятие, — писал Э. Кассирер, — никогда не может быть измерено и проверено само по себе; подтверждение оно получает всегда лишь как член целого теоретического комплекса»8. Применительно к математическому знанию мы можем существенно усилить это утверждение. Мы должны настаивать здесь на полном обосновании понятия через его принадлежность к системе.

Мы можем подойти к обоснованию этого положения на основе намеченной выше схемы формирования завершенной аксиоматики. Каждое определение, вновь введенное в математическую теорию, представляет собой утверждение о существовании и является, в действительности, добавлением новой аксиомы к уже существующему множеству аксиом.

Вводя новое определение, если его законность не доказана с точки зрения аксиоматики, мы стоим перед лицом оправдания некоторой расширенной аксиоматики, т. е. оправдания новой аксиомы как непротиворечивой. Мы выяснили, что такое оправдание совершается в течение исторически ограниченного отрезка времени: определение либо отбрасывается как несоответствующее теории, либо входит в теорию в качестве органического элемента ее структуры. Практическая (функциональная) ассимиляция понятия, включение его в значимые утверждения теории может пониматься и как полное обоснование его корректности в смысле невозможности связанных с ним противоречий. Как и в случае с доказательством, мы имеем все основания считать, что каждое понятие на протяжении некоторого неопределенного, но конечного времени приобретает полную корректность в рамках своей теории.

Завершенность математического понятия может быть обоснована также исходя из его конечной определимости. Математическое понятие, доказавшее свою эффективность, имеет неустранимое, логически оправданное содержание и не может иметь бесконечного количества дефектов. Но это значит, что необходимо конечное число познавательных контекстов, конечное число задач, решаемых с использованием этого понятия, для того, чтобы выявить эти дефекты и подойти к его адекватному определению в рамках данной теории.

Назовем общим (глобальным) обоснованием понятия его введение в теорию на основе признанных аксиом. Будем называть понятие локально обоснованным, если оно принято только на основе своей эффективности. Достаточно ясно, что в развитии математической теории локальное обоснование предшествует глобальному и само по себе может быть достаточным в смысле строгости. Понятия арифметики, евклидовой геометрии, теории вероятностей и т. п., разумеется, были строгими и до аксиоматизации этих теорий. Мы имеем основания утверждать, что возможно абсолютное логическое обоснование понятия исключительно на основе его использования. Такого рода локальное и абсолютное обоснование реализуется через взаимодействие данного понятия со смежными понятиями в процессе решения конкретных задач и не зависит от уровня логической систематизации теории в целом.

В качестве примера, иллюстрирующего движение понятия к полной корректности своих внутренних определений, можно рассмотреть развитие понятия дисЬференциала в XVIII веке. Первоначальное его понимание, как уже сказано выше (это относится как к трактовке Лейбница, так и к трактовке Ньютона), было мало приемлемым с точки зрения строгости. Не было, во-первых, однозначного решения вопроса о том, следует ли понимать эту величину большей нуля или равной нулю. Лейбниц склонялся к первому пониманию, в то время как Эйлер и некоторые другие математики развивали представление о дифференциале как о величине, равной нулю. Длительное время дифференциал отождествлялся с приращением функции, что привносило неясность и заведомую нестрогость в операции с этой величиной. Не было адекватного определения предела и непрерывности, что закрывало путь к полному теоретическому обоснованию понятия дифференциала и алгоритмов дифференциального исчисления вообще.

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Профессиональный язык позволяет сформировать профессиональные компетенции у будущего специалиста, войти в предметную область специальности, ориентироваться в специальных текстах на русском языке, строить монологические высказывания профессионального содержания

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Эта тема принадлежит разделу:

Профессиональный язык учителя математики

Профессиональный язык позволяет сформировать профессиональные компетенции у будущего специалиста, войти в предметную область специальности, ориентироваться в специальных текстах на русском языке, строить монологические высказывания профессионального содержания

К данному материалу относятся разделы:

Нормы литературного языка

Правильность речи

Профессиональный язык учителя математики

Речевое мастерство

Характеристика содержания предметной области математика

Выступление как разновидность ораторской речи

Универсальные понятия и термины математической наукой

Термины и понятия по теме введение в математический анализ

Языковые особенности устной речи обращение приветствие

Этика речевого общения и этикетные формулы речи

Языковые особенности письменной речи

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Связь профиссионального математического русского языка с дисциплинами специальности

Факультативные занятия по математике

Правила выступление к научным докладам

Теория вероятности и математическая статистика

События. Виды событий

Требование к оформлению и ведению документаций учителя математики

Составление монологическиой речи

Составление диалога

Правила ведения деловых телефонных переговоров

Похожие материалы:

Право и религия

Религия — мировоззрение и мироощущение, а также соответствующее поведение, основанное на вере в существование бога или богов, сверхъестественного. По предположению ученых, религия возникла 40-50 тыс. лет назад на высокой ступени развития первобытного общества.

Договор подряда с физическим лицом. Образец

Коммунальное культурно-спортивное унитарное предприятие, именуемое в дальнейшем \"Заказчик\", с одной стороны, и физическое лицо гражданин, именуемая в дальнейшем \"Исполнитель\", с другой стороны

Гражданское право

Предмет российского гражданского права. Гражданский кодекс Российской Федерации (ГК РФ). Гражданско-правовые нормативные акты, действие закона. Правоспособность юридического лица. Хозяйственные общества. Имущество. Сделки, сроки, исковая давность, представительство в гражданском праве. Венская конвенция. Осуществление гражданских прав. Право собственности, гражданско-правовые договора, понятие договора купли-продажи. Договоры и его виды.

Экономическая оценка инвестиций. Задачи с решениями

Определить будущую стоимость денежных средств на момент года. Определить текущую стоимость денежных средств. Определить сумму будущей и текущей стоимости денежных потоков. Экономическая оценка инвестиций основывается на расчете четырех показателей.

Методичні вказівки для виконання контрольних робіт з дисципліни “Теорія інформації і кодування”

Кількісна оцінка інформації, умовна ентропія і ентропія об\'єднання, обчислення інформаційних втрат при передачі, повідомлень по каналах зв\'язку з шумами, визначення надмірності повідомлень, оптимальне кодування, виявлення і виправлення помилок в повідомленнях, поняття про ідею корекції помилок, лінійні групові коди, тривіальні систематичні коди. код хеммінга, циклічні коди, побудова і декодування конкретних циклічних код, ущільнення інформації, варіанти контрольної роботи