Метод скінчених елементів

Лекція 13

5. МЕТОД СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

5.10. Дискретно-континуальний метод розрахунку прогонових будов мостів

Мета лекції. Розглянути один із ефективних варіантів МСЕ в якому поділ на елементи виконується тільки по одній з координатних осей. По другій осі елемент має такий розмір як і реальна конструкція.Ключові слова: дискретно-континуальний метод, метод смуг, диференційне рівняння згину плити, плоский напружений стан, вузлова лінія.

5.10.1. Загальна характеристика

Дискретно-континуальний метод (ДКМ) або метод смуг є варіантом МСЕ в якому дискретизація виконується відносно тільки однієї осі. По другій – розв’язок є аналітичним, неперервним.

Механічну ідею методу покажемо на прикладі прогонової будови (рис.5.7) яка складається з двох балок довжиною L та плити проїзної частини шириною В. За принципами ДКМ представимо плиту прогонової будови системою елементів (поз.1) шириною  b = В/n і довжиною, яка співпадає із прольотом L (тут n – кількість елементів плити)..

Рис. 5.7. Модель методу смуг

Балки прогонової будови моделюються плоскими елементами (поз.2) висота і довжина яких є такими, як і у реальної конструкції. Елементи моделі об’єднуються між собою вузловими лініями (поз.3).

Невідомі ступені свободи є розподіленими вздовж вузлових ліній. (Характер розподілу ступенів свободи і їх числові значення залежать від виду краєвої задачі.) Те що елементи об’єднані по вузловим лініям, а ступені свободи розподілені вздовж них дає можливість отримати аналітичний континуальний розв’язок відносно однієї із координат, відносно другої, модель як і в МСЕ є дискретною.

Модель є ефективною для конструкцій витягнутих вздовж однієї із координат, має декілька привабливих рис порівняно з класичною формою МСЕ:

  •  значно менша кількість невідомих що дає малий порядок системи лінійних рівнянь методу і можливість реалізації на комп’ютерах малої потужності;
  •  можливість аналітичного обчислення невідомих в довільних точках вздовж вузлових ліній;
  •  немає порушень сумісності деформацій вздовж вузлових ліній;
  •  модель дає досить прості алгоритми програм для розрахунку балкових прогонових будов, таких, як наприклад коробчастого перерізу.

Метод було розроблено О.В.Александровим у 1963 р для розрахунку складчастих систем. Пізніше, в 1968 р. А.К.Ченг використав ідею дискретно-континуального розв’язку і отримав в МСЕ специфічні скінченні елементи, які він назвав «смугами», а сам метод – методом скінченних смуг.

5.10.2. Скінченний елемент ДКМ в стані згину

Елемент виділяється двома вузловими лініями i та j (рис. 5.8а.). Розміри елемента: товщина t , ширина b, довжина L. Довжина елемента співпадає з довжиною конструкції. Ширину b вибирають відповідно вимогам точності розв’язку.

Елемент має постійні характеристики, різні в двох ортогональних напрямках.

Рис.5.8. Скінченний елемент ДКМ, що знаходиться в стані згину

Задача ставиться в переміщеннях. За ступені свободи обрані чотири переміщення. На кожній вузловій лінії прикладаються два переміщення: нормальне до площини пластини w і кутове  (рис. 5.8б.). Вектор ступенів і одного елемента має 4 компоненти:

, (5.48)

Йому відповідає вектор вузлових сил:

    (5.49)

Кожна ступінь свободи подається у вигляді розкладання в ряд по фундаментальним функціям

  ; m = 1, 3, 5, r,    (5.50)

де:  - апроксимуючі функції, що залежать від x, поліноми Ерміта 3-го ступеня;

- фундаментальні функції, що залежать від y;

r - кількість утримуваних членів розкладання.

Функцію  вибирають використовуючи аналогію між вигином балки на пружній основі і вигином елемента, підтримуваного з двох сторін сусідніми елементами. Диференціальне рівняння вигину балки на пружній основі має вид:

,    (5.51)

де  - параметр який визначається з характеристичного рівняння.

Загальний інтеграл однорідного диференціального рівняння (5.51) має вигляд:

, (5.51)

де  - довільні постійні, які визначаються відповідно до граничних умов на кінцях інтервалу.

Для випадку граничних умов вільного обпирання довільні постійні  - дорівнюють нулю, і, таким чином, функція  здобуває більш просту форму:

      (5.52)

Матрицю жорсткості елемента одержують  за звичайною процедурою методу скінчених елементів мінімізацією відповідного функціонала.

Прийнято пружного функціонала, що відповідає крайовій задачі згину ортотропних пластин

     (5.53)

Відповідний пружній функціонал крайової задачі

П(w)=

- ,        (5.54)

де циліндричні жорсткості мають значення:

;  ;

;   (5.55)

Координатна функція відповідно (5.50) і (5.52) має вид ,         (5.56)

Вносячи координатну  функцію у вираз пружного функціонала і диференціюючи по ступенях  свободи , , , , одержуємо матрицю жорсткості елемента в стані згину, її розмір 4 х 4.

Загальна форма коефіцієнтів матриці жорсткості (після диференціювання по ступенях свободи) така

kij = +

+     (5.57)

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Файл

Лекц 13.doc

Лекц 13.doc
Размер: 140.5 Кб

.

Пожаловаться на материал

Дискретно-континуальний метод розрахунку прогонових будов мостів. Дискретно-континуальний метод (ДКМ) або метод смуг є варіантом МСЕ в якому дискретизація виконується відносно тільки однієї осі.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Договор управления многоквартирным домом

Образец. Форма заполнения. Пример договора. В соответствии с решением общего собрания собственников помещений данного многоквартирного дома об утверждении условий настоящего договора управления многоквартирным домом заключили настоящий договор об управлении многоквартирным домом.

Основы фотосъёмки

Определение фотографического пейзажа. Характерные виды освещения при пейзажной фотосъёмке. Высота точки съёмки. Классификация пейзажа. Ракурс. Стили в пейзаже. Обеспечение фотографа-пейзажиста. Роль освещения при фотографировании

Создание трансгенных продуктов

В последние годы все большее влияние на здоровье населения планеты оказывает качество и структура питания. Принцип создания трансгенных растений и животных Основные объекты генной инженерии

Проблема жировой эмболии. Оказания медицинской помощи при политравме

Курсовой проект. Цель: провести анализ статистических данных по политравме и рассмотреть алгоритм оказания медицинской помощи на догоспитальном этапе с целью предупреждения риска развития жировой эмболии у пострадавших с политравмой.

Острый мастит. Железодефицитные анемии

Острый мастит — воспаление молочных желез. Этиология и патогенез. Патологоанатомическая картина. Клиническая картина и диагностика. Лечение. Железодефицитные анемии.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok