Матричне формулювання матриці жорсткості елемента

5. МЕТОД СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

5.3. Матричне формулювання матриці жорсткості елемента

Мета лекції. Показати матричні залежності для одержання матриць жорсткості елемента та всієї конструкції. Тут також демонструється вся процедура обчислення компонентів напружено-деформованого стану.Ключові слова: принцип можливих переміщень; апроксимуюча функція; матриця жорсткості елемента; глобальна матриця жорсткості; глобальний вектор вузлових сил; координатна функція; матриця перетворення координат; матриця повороту осей; вектор еквівалентних вузлових сил

Залежності (5.8) дають можливість отримати аналітичні вирази компонентів матриці жорсткості елемента. Однак, нерідкі випадки, коли кількість членів у виразах (5.8) обчислюється сотнями. Для одержання компонентів такої матриці жорсткості зручніше скористатися матричними залежностями. Тому далі показується як  отримати матрицю жорсткості, використовуючи загальний підхід.

Основні співвідношення механіки твердого деформованого тіла в матричній формі представляються в такий спосіб.

Зв'язок між напругами і деформаціями встановлюється узагальненим законом Гука:

     (5.25)

де: s - вектор напруг;

e - вектор відносних деформацій;

D – матриця пружних констант.

Зв'язок між вектором деформації і вектором переміщень задається лінійним кінематичним рівнянням:

     (5.26)

де: B – матриця операцій диференціювання

Для одержання виразів матриці жорсткості скористаємося найбільш загальним законом механіки – принципом можливих переміщень:

;     (5.27)

де:  – приріст роботи внутрішніх сил на можливих малих переміщеннях du;

–  приріст роботи зовнішніх сил на можливих нескінченно малих переміщеннях du.

;     ;  (5.28)

Приймемо функцію u у вигляді:     u = Фq і du = Фdq,         (5.29)

де:  Ф - матриця апроксимуючих функцій;

q – вектор ступенів свободи (див. наприклад ф.5.11).

З урахуванням співвідношень (5.25) і (5.26) приріст робіт приймає вид:

внутрішніх сил:              (5.30)

зовнішніх сил:               (5.31)

У силу довільності можливих переміщень рівність  записується у виді:

         (5.32)

Залежність (5.32) – є рівнянням рівноваги елемента. Запишемо його у формі:

,       (5.33)

де:  k – матриця жорсткості:  ;         (5.34)

  - матриця результат виконання операцій диференціювання В над апроксимуючими функціями Ф;

 Q – вектор вузлових сил:  Q           (5.35)

5.4. Вибір координатної функції

Питання про вибір координатної функції – центральний у МСЕ, тому що функціями Фі (див.ф.5.20 – 5.21) визначається збіжність методу, його точність і можливість розв'язання систем рівняння методу (див.ф.5.14)

Найбільш загальна форма представлення переміщень – поліном ступеня n

 (5.36)

(див. представлення функції в методі Ритця, ф.4.10)

Чим більше членів включається в наближене представлення Ф(х),тим точніше буде розв’язок (очевидно це твердження не має сили, якщо точний розв’язок є поліномом порядку n. Тоді члени вищого порядку не поліпшують точність).

Коефіцієнти полінома аi підбираються таким чином, щоб ступінь свободи j приймала значення, відмінні від нуля у тому вузлі, де вона прикладена і, дорівнювала нулю у всіх інших вузлах елемента.

Ця вимога буде дотримуватися, якщо виконуються умови:

Фj =1 у вузлі котрому належить ступінь свободи j   (5.37)0  у всіх інших вузлах

Модель переміщень у формі (5.36) часто застосовується через простоту математичних операцій над функцією Ф(х) і можливості довільно наблизити розв’язок до точного шляхом підвищення ступеня полінома.

Найчастіше як апроксимуючі функції інтерполяційний поліном. Його привабливість полягає в тому, що відпадає необхідність підбору коефіцієнтів ai, тому що інтерполяційний поліном по визначенню має властивості (5.37). Як приклад, назвемо одномірні поліноми Ермита 3-го ступеня (ф.(5.20 ).

Сьогодні в МСЕ добре вивчені апроксимуючі функції, установлена процедура визначення коефіцієнтів поліномів і вироблені вимоги, задоволення яким, забезпечить збіжність дискретного розв’язку. Наведемо основні вимоги, що ставляться до апроксимуючих функцій у МСЕ:

  •  система функцій Ф(j) має належати енергетичному простору диференціального оператора задачі A. Це означає, що поряд із задоволенням граничним умовам функції Ф(j) мають забезпечити існування по всій області елемента тих переміщень і їхніх похідних, що входять у функціонал (5.2) під знаком оператора . Інакше кажучи, модель переміщень має бути безперервною по області елемента і допускати похідні не нижче порядку .
  •  функції Ф(j) мають бути лінійно незалежними. Це вимога необхідна для можливості розв'язання системи (5.13 чи 5.33);
  •  система функцій Ф(j) має бути повна в енергетичному просторі оператора А. Це означає, що координатні функції виду:  при необмеженому згущенні сітки, можуть апроксимувати (в енергетичному сенсі) довільні переміщення по області W з будь-якою, заздалегідь заданою точністю.

Таким чином, теоретичне обґрунтування функцій Ф(j) може бути зведене до їх перевірки на задоволення перерахованим вище вимогам.

5.5. Матриця перетворення координат

Звичайно матрицю жорсткості (МЖ) елемента одержують орієнтованою у власній системі координат, тоді як для розв’язку дискретної задачі необхідна матриця жорсткості елемента, орієнтована відносно глобальної системи координат усієї конструкції, осі якої у загальному випадку непаралельні осям елемента. Тому МЖ елемента має бути трансформована перед тим як вона попадає в глобальну МЖ.

Ця трансформація виконується за допомогою матриці перетворення координат . У механіці прийнято записувати її в такому вигляді (випадок тривимірного простору):

,    (5.38)

де l, m n – направляючі косинуси, які обчислюються за схемою таблиці на рис.5.5

XYZX1lxmxnxРис.5.5. Схема позначень направляючих косинусівY1lymynyТут X, Y, Z – старі осі; X1, Y1, Z1 – нові осіZ1lzmznz

Матриця жорсткості елемента у новій системі координат задається перетворенням:

    (5.39)

де: R матриця повороту осей елемента.

Для випадку тривимірного простору, матриця перетворення координат містить чотири підматриці R0

   (5.40)

Паралельне перенесення осей не змінює матриці жорсткості елемента, тому що в цьому випадку R = E, де E одинична матриця.

Таким чином, при формуванні глобальної матриці жорсткості МЖ окремих елементів попередньо мають приводяться до глобальних осей конструкції за формулою (5.40).

5.6. Врахування граничних умов

Матричне рівняння (5.33 чи 5.14) – рівняння рівноваги для всієї системи, воно зв'язує зовнішні сили Q з вузловими переміщеннями q системи. У розгорнутому виді це будуть добре відомі в будівельній механіці стрижневих систем рівняння методу переміщень.

Однак скористатися безпосереднім рівнянням (5.33) не можна. Це зв'язано з тим, що при виводі матриці жорсткості ніде не фігурують умови закріплення системи в просторі, як твердого тіла. Тому кожне вузлове переміщення вектора q буде залежати від невизначених значень переміщень конструкції, як абсолютно твердого тіла. В силу цього матриця жорсткості всієї конструкції K особлива; її ранг менше її порядку на число ступенів системи як твердого тіла.

Щоб зафіксувати систему в просторі, треба ввести умову що переміщення в місцях опорів дорівнюють нулю. У просторовій конструкції мінімальна кількість переміщень, рівних нулю які дозволяють зафіксувати систему в просторі, дорівнює шести. У плоскій системі досить покласти три переміщення, рівних нулю, щоб виключити переміщення системи як твердого тіла.

Щоб зафіксувати систему в просторі необхідно відповідні невідомі у векторі вузлових переміщень  заздалегідь прирівняти до нуля. Цим самим ми задовольнимо кінематичним граничним умовам закріплення конструкції. З іншого боку, цей факт треба відобразити у матриці K рівняння (5.33), викресливши рядки і стовпці, номери яких співпадають з номерами нульових переміщень.

Якщо пронумерувати невідомі переміщення так щоб в рівняннях МСЕ (5.33) спочатку йшли переміщення, які мають не нульові значення, то (5.33) можна записати так:

,   (5.41)

де:   частина матриці жорсткості, що залишилася після викреслювання стовпців і рядків відповідних нульовим переміщенням;

- вектор вузлових переміщень системи, який не містить переміщень апріорі рівних нулю;

Q1 - вектор вузлових сил системи, без реакцій опор;

PR - вектор реакцій опор;

і  - викреслені стовпці;

і  - викреслені рядки.

Тепер рівняння (5.41) можна записати у вигляді:

,     (5.42)

де: Kk - зменшена матриця жорсткості системи.

Матричне рівняння (5.42) аналогічно рівнянню (5.41), але не містить переміщень системи як абсолютно твердого тіла. Матриця Kk неособлива і має зворотну матрицю . Розв’язок системи (5.35) дає значення переміщень:

    (5.43)

З рядків, викреслених з матриці К, викресливши стовпці, що містять нульові переміщення, одержують матрицю , що дозволяє обчислити реакції опор, як це видно з (5.41)

    (5.44)

5.7. Вектор еквівалентних вузлових сил

Вектор еквівалентних вузлових сил елемента знаходять за матричною формулою (5.35), яка отримана слідуючи принципу можливих переміщень. Аналітичні вирази компонентів вектора звичайно одержують паралельно з виводом виразів компонентів матриці жорсткості. З компонентів вектора еквівалентних сил, для відомих випадків навантаження, одержують формули обчислення значень еквівалентних вузлових сил. У публікаціях, там, де наведена матриця жорсткості, звичайно даються і вирази компонентів вектора еквівалентних вузлових сил.

Глобальний вектор вузлових сил одержують за формулою

,     (5.45)

де: Qi – і компонента глобального вектора еквівалентних вузлових сил;

Qj,i – компонента вузлової сили i-го напрямку j-го елемента;

i – номер вектора навантаження (глобальний).

Підсумовування в (5.45) поширюється на всі r елементів для яких зв'язок і  є загальним.

5.8. Деформації і напруги

Коли рівняння дискретної задачі (5.33) розв’язані, тобто отримані значення невідомих ступенів свободи, можна отримати для кожного з елементів координатну функцію u = Фjqj (див. 5.19 чи 5.29).

Потім, використовуючи класичні залежності механіки твердого тіла, отримують компоненти напружено-деформованого стану.

Відносні деформації отримують за залежністю 5.26:

Зв'язок між напругами і деформаціями виражається законом Гука (5.25):

Тут  B - матриця операторів диференціювання;

D - матриця пружних констант.

Звичайно приведені залежності перетворюються з урахуванням типу апроксимуючих функцій Фj, до виду:

     (5.46)

де:  Фj - матриця апроксимуючих функцій елемента;

qj - матриця ступенів свободи

     (5.47)

Залежності (5.46) і (5.47) дають можливість обчислити напруги і деформації за відомими значеннями ступенів свободи.

5.9. Алгоритм комп’ютерного розрахунку за методом скінченних елементів

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Файл

Лекц 12.doc

Лекц 12.doc
Размер: 146 Кб

.

Пожаловаться на материал

Мета лекції. Показати матричні залежності для одержання матриць жорсткості елемента та всієї конструкції. Тут також демонструється вся процедура обчислення компонентів напружено-деформованого стану.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Професіоналізм як моральна риса особистості

Реферат з дисципліни: «Етика в рекламі і PR». Професіоналізм - сукупність досягнутих індивідом теоретичних знань. Етичні принципи рекламної і PR-діяльності в інформаційному суспільстві. Право громадськості на інформацію та журналістська відповідальність

Цивільний процес. Стадія судового розгляду: поняття та значення

Стадія судового розгляду займає центральне місце серед інших стадій цивільного процесу виховання громадян у дусі чіткого виконання Конституції і законів України

Общие положения о недействительности сделок

Условия действительности сделки. Понятие, классификация и виды недействительных сделок. Основные виды (составы) ничтожных сделок

Товароведение продовольственных товаров

Фтизиатрия. ГОС тест с ответами

Ответы на тесты по фтизиатрии. Туберкулез

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok