Метод Ритця, сутність. Апроксимуючі функції

Лекция 9. Метод Ритця

Лекція 9

Ціль лекції: Продемонструвати один із самих розповсюджених методів пошуку мінімуму функціонала. Ввести поняття апроксимуючої функції і навести приклади.Ключові терміни: прямий метод пошуку мінімуму функціоналу, апроксимуюча функція

4.3 Метод Ритця

4.3.1  Сутність методу Ритца

Існує кілька методів розв’язку задачі про мінімум функціоналу. Одним з найбільш загальних є прямий метод Ритця. Він полягає в представленні шуканої функції, що доставляє мінімум функціоналу, у вигляді нескінченного ряду

,     (4.8)

де  ai – невідомі коефіцієнти;

 ui – апріорно прийняті функції, що задовольняють певним вимогам (яким – буде з’ясовано далі). Ці функції називаються апроксимуючими.

Функція (4.8) підставляється у функціонала (Uh), перетворюючи його цим у функцію невідомих коефіцієнтів ai. Умовою для відшукання коефіцієнтів ai  - є умова мінімуму функціонала (Uh):

 ,    (j=1,2,…,n)   (4.9)

Умови (4.9) – нескінченна система лінійних алгебраїчних рівнянь (якщо задача нелінійна, то і рівняння будуть нелінійними). Практично ряд (4.8) заміняють сумою скінченного числа членів, тоді система алгебраїчних рівнянь стає системою скінченного порядку.

Розв’язок системи алгебраїчних рівнянь дає значення коефіцієнтів ai, якими і визначається шукана функція Uh. (нагадаємо, що функція Uh є розв’язком крайової задачі, функціонал якої  -  (Uh).

4.3.2 Апроксимуючі функції.

Найбільш загальною формою апроксимуючої функції є поліном n-го ступеня, що має для одномірної задачі вид:

 Uh=a1+a2x+a3x2+…+an+1xn    (4.10)

Такого типу поліном застосовується також і для двомірної задачі.

Для одномірних задач часто застосовуються поліноми Эрмита

(з цими поліномами ми познайомимося пізніше).

Можливі й інші представлення апроксимуючої функції, наприклад, тригонометричний поліном, інтерполяційний поліном. Апроксимуюча функція у формі полінома n-й ступеня найчастіше застосовується через простоту математичних операцій над функцією Uh і можливості довільно наблизити розв’язок до точного, підвищуючи ступінь полінома.

Як вибираються апроксимуючої функції?

Для того щоб апроксимуюча функція забезпечила збіжність розв’язку, вона повинна задовольняти низці математичних умов. Три найважливіші з них є наступні.

А. Функція Uh має бути неперервною в області визначення крайової задачі і допускати похідні, що входять до функціоналу крайової задачі.

Б. Вона має задовольняти граничним умовам крайової задачі.

В. Функції ui повинні бути лінійно незалежні. Задоволення цієї вимоги необхідно для можливості розв'язання системи лінійних рівнянь відносно коефіцієнтів ai, якими візначається шукана функція Uh.

Чисто механічні рекомендації з вибору апроксимуючої функції  ґрунтуються на знанні приблизної форми поверхні, яка описується диференційним рівнянням крайової задачі. Цим знанням і слід керуватися при виборі придатних для задачі функцій ui.

4.3.3 Застосування тригонометричних функцій у якості апроксимуючих.

У задачах аналізу напружено-деформованого стану балкових і плитних конструкцій часто застосовують тригонометричні ряди як апроксимуючі функції ui. Привабливими в даному випадку є не тільки простота математичних операцій над функцією, але і їх швидка збіжність. Так, наприклад, для випадку рівномірно розподіленого навантаження виявляється достатнім утримання тільки одного члена ряду. Розв’язок з такою апроксимуючою функцією називають розв’язком у вигляді розвинення в ряд (рос.: разложение в ряд)

Приклад. Покажемо ідею розвинення функції в ряд на прикладі розкладання навантаження в ряд по синусах.

Задано постійне навантаження  q(x)=1 на ділянці балки L=10.

Представимо функцію навантаження у вигляді ряду:

     (4.11)

де  pk - елемент розвинення в ряд залежний від номера ряду k.

Для q(x)= const = q елемент pk виражається формулою

.      (4.12)

Параметр в формулі (4.11) задає частину від , пропорціональну довжині балки: . Тоді х в формулі (4.11) виражається в лінійних одиницях, як прогін L.

Сам приклад наводиться нижче в термінах MathCAD.

Вихідні дані і функції розвинення:

На рис.4.2 наведені графіки членів розвинення відповідні номерам ряду k=1,3,5,7.

                                    Рис.4.2. Графіки елементів ряду

На рис. 4.3 наведено графік розвинення функції q=1 при утриманні чотирьох членів: k=1,3,5,7

Рис.2. Графік розкладання функції q=1 при утриманні чотирьох членів.

Ще один графік розвинення функції  в ряд по синусах наведено на рис.4.4

 

Рис.4.4. Графіки розвинення функції при утриманні членів k=1,3,7,21

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Застосування тригонометричних функцій у якості апроксимуючих. Один із самих розповсюджених методів пошуку мінімуму функціонала.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Психологические проблемы диагностики аномального развития детей

Любопытно заметить, что Эскироль обратил внимание на недостатки речи умственно отсталых: дифференциацию внутри умственной отсталости он основывал на состоянии развития речи

Право государственной и муниципальной собственности. Понятие, субъекты, объекты, содержание, защита

Вещно-правовые способы защиты права собственности. Основания вендикационного иска. Муниципальное имущество. Собственность муниципальных образований

Епілепсія

Епілепсія – дослівний переклад з грецької мови звучить як «та що раптово нападає». В різних народів існують ще такі назви епілепсії як чорна хвороба, зіркова хвороба, демонічна хвороба, падуча.

Федеральный закон Российской Федерации от 2 апреля 2014 г. N 44-ФЗ "Об участии граждан в охране общественного порядка"

Принят Государственной Думой 21 марта 2014 года Одобрен Советом Федерации 26 марта 2014 года Целью настоящего Федерального закона является создание правовых условий для добровольного участия граждан Российской Федерации (далее также - граждане) в охране общественного порядка.

Патофизиология дыхания. Экзаменационные задачи и ответы

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok