Чисельний аналіз конструкцій транспортних споруд

Лекція 8

4. ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ КОНСТРУКЦІЙ ТРАНСПОРТНИХ СПОРУД 4.1. Варіаційні принципи Поведінка механічних систем під дією навантажень, або іншими словами – напружено-деформований стан може бути описано двома еквівалентними способами:

локальним – розв’язком диференціальних рівнянь, які описують крайову задачу;

варіаційним – мінімізацією функціонала, зв'язаного з диференціальним рівнянням крайової задачі. А тому що задача мінімізації функціонала є предмет варіаційного числення, чисельні методи, засновані на ідеї мінімізації функціонала, називаються варіаційними.  

¨Термінологія. Чисельний метод, у якому розв’язком знаходиться шляхом пошуку мінімуму функціонала крайової задачі, називаються варіаційним.

Варіація і функціонал

Розглянемо дві криві на площині – функції незалежної перемінний x:

   Y = Y(x)  і  Y1 = Y1(x),   (4.1)

проведені через точки A і B таким чином, що різниця між ними Y(x) - Y1(x) є нескінченно мала величина (рис.4.1). Ця різниця називається варіацією функції, позначається так само, як і функція, з додаванням символу δ:    δY = Y(x) - Y1(x).          (4.2)

          

¨Термінологія. Варіацією називають нескінченно  малу зміну функції при фіксованому значенні аргументу.

(Порівняєте з визначенням похідної.)

Розглянемо таку задачу: серед всіх кривих, що з'єднують точки А и В, знайти ту, яка має мінімальну довжину. Математично задача формулюється так:

 (4.3)

Очевидно, що в цій задачі залежить від функції , її похідної  та аргументу х, тобто ставиться задача пошуку мінімуму інтеграла виду:

             (4.4)

Інтеграли такого виду, що залежать від функції (чи декількох функцій) і ее похідних, називаються функціоналами. Функція Y(x) у функціоналі (4.4) відіграє роль, аналогічну ролі аргументу у функції.

¨Термінологія. Функціоналом називається  інтеграл залежний від заданої функції і її похідних.

Усі задачі механіки можна розглядати як задачі пошуку мінімуму функціонала. Така постановка задачі називається варіаційною, а методи, що її використовують, - варіаційними.

Функціонали в механіці, мають чіткий фізичний зміст – це повна потенційна енергія системи. Наприклад енергія деформації стрижня, що згинається, виражається функціоналом:

,   (4.5)

де  - функція, що описує криву прогину балки;

 EI – згинна жорсткість балки.

4.2 Зв'язок краєвої задачі із задачею про мінімум функціонала

Диференційні рівняння крайових задач є зручним записувати в операторному вигляді:

   ,    (4.6)

де   - матриця диференційних операторів задачі;

u  - вектор невідомих функцій;

f   - вектор заданих функцій зовнішніх навантажень.

¨Термінологія. Краєвою задачею називають  задачу пошуку розв’язку  диференційного рівняння (або системи диференційних рівнянь) при заданих граничних умовах.

Розв’язком краєвої задачі є вектор (функція) u, яка задовольняє рівнянню (4.6) і заданим граничним  умовам.

Приклад

Краєва задача згину балки описується диференціальним рівнянням

   

при     і   

Якщо цю краєву задачу записати в операторну вигляді то слід покласти  ,   і

В математичній фізиці доведено, що всякому диференційному рівнянню парного порядку відповідає функціонал виду:  

    (4.7) 

Функціонал (4.7) в механіці має чіткий фізичний сенс: це є вираз повної потенційної енергії системи. Перший доданок є роботою внутрішніх сил, другий – роботою зовнішніх сил.

В математичній фізиці доведена наступна фундаментальна теорема: якщо існує вектор  який надає мінімум функціоналу (4.7) то цей вектор одночасно є розв’язком краєвої задачі (4.6). Це положення часто формулюється і в зворотному порядку: якщо вектор є розв’язком краєвої задачі (4.6), то він надає функціоналу (4.7) мінімум (С.Г.Міхлін).

Метод розв’язку краєвих задач, який полягає в заміні розв’язку диференціального рівняння задачею знаходження мінімуму функціонала називається енергетичним (або варіаційним)

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Варіаційні принципи Поведінка механічних систем під дією навантажень, або іншими словами – напружено-деформований стан

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Химиотерапия

Химиотерапиялық дәрілер. Сульфаниламидті дәрілер. Әсерінің ұзақтығы бойынша жіктелуі. Дозалау ерекшеліктері. Туберкулезге қарсы қолданылатын дәрілер. Әсерінің механизмі. Жағымсыз әсерлері.

Аналіз конкурентів і конкурентні стратегії підприємства

Класифікація конкурентних стратегій. Оцінка стратегій основних конкурентів. Методи відкритої цінової конкуренції. Методи прихованої цінової конкуренції. Нецінові форми і методи конкуренції. Фактори успіху в конкурентній боротьбі

Список педагогических должностей

Конституционное право. ГОС ответы. Шпора

Ответы на ГОС экзамен в виде шпоры. Конституционное право (КП) РФ. Все ответы на гос.экзамен, шпоргалка.

Завдання на державну атестацію з «Податкової системи»

Задачи податкова. Охарактеризуйте сутність та ознаки податків. Назвіть елементи податків. Класифікація податків. Розкрийте суть податкової системи та податкової політики.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok