Метод скінчених елементів

Территория рекламы

Лекція 10

5. МЕТОД СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

Мета лекції. В цій першій лекції з теми «Метод скінченних елементів» вводяться загальні поняття методу. Ключові слова: дискретна модель, система рівнянь методу, матриця жорсткості. 

5.1. Дискретна модель методу скінчених елементів

Сьогодні одна із самих розповсюджених моделей чисельного аналізу конструкцій – дискретна модель методу скінчених елементів (МСЕ). Цей варіаційний метод, добре пристосований для реалізації на ЕОМ, має універсальність, що дозволяє розв’язувати  чисельно найрізноманітніші задачі.

Метод добре обґрунтований теоретично, накопичено великий досвід алгоритмізації. Його розглядають як загальний метод розв’язоку диференціальних рівнянь, застосування якого до задач розрахунку конструкцій ефективно, задовольняє багатьом вимогам, що ставляться до алгоритму в автоматизованих системах проектування.

У фізичному сенсі в основу методу покладена ідея дискретизації, у математичному – пошук розв’язку  крайової задачі шляхом мінімізації відповідного функціонала.

У МСЕ дискретизація полягає у віртуальній заміні суцільного середовища системою елементів скінчених розмірів. Ідея ця висловлювалася ще Пуассоном на початку XVIII століття, але не реалізувалася в зв'язку з громіздкістю ручного розрахунку, проте виявилася дуже зручної при розрахунку на ЕОМ.

У даному випадку моделей конструкцій, поставимо у відповідність дійсній системі  дискретну модель, що складається з скінченного числа елементів, які зв'язані між собою в скінченному числі точок, називаних вузлами. Елементи, отримані після членування розглянутої області, залишаються неперервними, суцільними, але форма деформації окремого елемента приймається досить простою. У вузлах прикладені узагальнені зусилля або переміщення, що підлягають визначенню які називаються в методі скінчених елементів ступенями свободи.

Для кожного типового скінченного елементу є нескладним отримати класичними методами чисельного аналізу розв’язок задачі про напружено-деформований стан. Затим, із розв’язків для окремих елементів складається розв’язок для всієї конструкції в цілому.     

Така інтерпретація дозволяє описати задану конструкцію системою спільних алгебраїчних рівнянь, добре пристосованої для розв’язку  на ЕОМ.

На рис.5.1 зображено два простих приклади. Рама (рис.5.1а) ідеалізується системою з п'яти стержнів такого ж перетину, як і вихідна конструкція. Балка-стінка, показана на рис.5.1б, подана у вигляді дискретної системи, що складається з елементів прямокутної форми.

а.    Дійсна система    Дискретна модель  МСЕ1 – елементи; 2 - вузлиб. Дійсна система   Дискретна модель МСЕ1 – елементи; 2 - вузли

Рис.5.1. Приклади моделей МСЕ

Зверніть увагу, що на рис.5.1 поз.1 – це є вузли (не шарніри !).

В плані практичної реалізації  завдання полягає у тому, щоб за допомогою досить простої функції отримати розв’язок  для типового елементу, а потім – розв’язок  для заданої конструкції, який містить систему всіх дискретних елементів об’єкту, що розглядається.

Отже повторимо, що основна ідея методу скінчених елементів полягає в наступному: задана конструкція умовно розчленовується на скінченне число елементів, для яких отримують розв’язок  за допомогою простої функції. Потім будується розв’язок  для всієї конструкції, який в цьому випадку представляється системою спільних алгебраїчних рівнянь. Вектор невідомих, що одержують шляхом розв’язку системи містить всю необхідну інформацію стосовно напружено-деформованого стану конструкції.

Наведена механічна інтерпретація, хоча і наочна, мало що дає для чисельної реалізації. Виникає низка питань: яким чином  отримати розв’язок  для типового елемента? як підібрати апроксимуючу функцію для елемента? яким чином з розв’язків  для окремих скінчених елементів компонується розв’язок  для всієї конструкції? і інші. На всі ці запитання дає відповідь математичний опис методу.

5.1.5. Математичний опис методу скінчених елементів

Метод скінчених елементів – енергетичний, варіаційний, тобто, що полягає в чисельному визначенні функції, що є наближеним з будь-яким ступенем точності, розв’язком крайової задачі. Розглянемо процедуру одержання рівнянь, для одного елемента і рівнянь, які описують поведінку всієї заданої системи.

Диференціальні рівняння, що описують крайові задачі механіки в переміщеннях, будемо записувати в операторному виді:

    (5.1)

де  – матриця диференціальних операторів крайової задачі;

– вектор невідомих функцій переміщень, що підлягають визначенню при заданих граничних умовах;

– вектор заданих функцій зовнішніх навантажень.

¨Термінологія. Задача пошуку розв’язку диференціального рівняння (або системи диференціальних рівнянь) при заданих граничних умовах, називається крайовою задачею.Розв’язком крайової задачі є функція, що задовольняє диференціальному рівнянню (рівнянням) і заданим граничним умовам.

Запишемо функціонала, зв'язаний з диференціальним рівнянням крайової задачі (5.1):

,   (5.2)

де - матриця диференціальних операторів, порядок яких у два рази нижче ніж порядок операторів вихідної матриці А, а  - область визначення крайової задачі

Так, наприклад, якщо вихідний оператор є   то  

Функціонал (5.2). має чіткий фізичний зміст: це повна потенційна енергія системи. Першим інтегралом визначається робота внутрішніх сил, другим – робота зовнішніх сил.

Далі в пошуках дискретного розв’язку розчленуємо задану систему на r елементів. Нехай кожен елемент містить  ступенів свободи (тут m – кількість вузлів, що належать одному елементу; n – кількість ступенів свободи в одному вузлі).

¨Термінологія. Ступені свободи – незалежні параметри, що визначають положення тіла в просторі. У випадку нашої крайової задачі – це лінійні (поступальні) і кутові переміщення вузлів дискретного елемента.

Функціонал, тобто потенційну енергію системи (5.2), представимо у вигляді суми

  ,     (5.3)

де – повна потенційна енергія i-го елемента. Функція переміщень u, через яку виражається функціонал (5.2), невідома і нею потрібно задатися. Вибір функції u, що називається координатою, - самий відповідальний етап у побудові скінченно-елементного розв’язку. Приймемо координатну функцію i-го елемента в найбільш загальній формі чисельного прямого методу

 ,         (5.4)

де  qj – ступені свободи системи, що підлягають визначенню;

Фj – апріорно прийняті функції, що апроксимують поле розподілу ступенів свободи в межах одного елемента. У загальному випадку Фj=Фj(x,y,z); k – кількість ступенів свободи одного елемента.

Внесемо значення координатної функції (5.4) у вираз функціонала (5.3), отримаємо        (5.5)

Тепер функціонал (5.5) являє собою функцію t незалежних змінних – ступенів свободи:

  ,   де t = k . r    (5.6)

Функціонал (5.5) досягає мінімуму при значеннях ступенів свободи, що перетворюють у нуль його перші похідні по ступенях свободи qj: Відповідно до (5.3) пошук мінімуму можна виконати послідовно, відносно кожного із елементів. Для i-го елемента маємо:

, j = 1,2,3, …, k    (5.7)

Обчисливши часткові похідні і дорівнявши їх до нуля, отримаємо вираз, що зв'язують ступені свободи (вузлові переміщення) одного елемента з вузловими силами.

Обчисливши часткові похідні і дорівнявши їх до нуля, отримаємо вирази, що зв'язують ступені свободи  (вузлові переміщення) одного елемента з вузловими силами. Після диференціювання функціонала (5.7) отримаємо k спільних лінійних рівнянь такого виду

                  (5.8)

Тут для зручності написання виразу (5.8) введено позначення ;  pi - функція навантаження i – го елемента.

Далі систему рівнянь (5.8) перепишемо ще раз, застосувавши такі позначення

,    s = 1,2, …, k    ,  j = 1,2, …, k                      (5.9)

В матричній формі система рівнянь (5.8), з урахуванням прийнятих позначень (5.9) записується так

   (5.10)

Розв’язок рівняння (5.10) відносно вектора невідомих ступенів свободи q (тобто значення невідомих переміщень qj,) і є шуканий  розв’язок дискретної задачі для одного i-го елемента. Дійсно, розв’язавши систему (5.10) щодо невідомих ступенів свободи qj, знайдемо такі значення, які доставляють мінімум функціоналу Пi(u). Отже вектор q системи (5.10), є розв’язком диференціального  рівняння крайової задачі (5.1) для i-го елемента.

Будемо записуватися систему рівнянь (5.10) у вигляді

    ,     (5.11)

де   - матриця жорсткості елемента;

 - вектор невідомих ступенів свободи;

- вектор вузлових сил.

Рівняння (5.11) – є рівнянням рівноваги для одного елемента. Квадратна матриця k, яка зв'язує невідомі вузлові переміщення  з вектором вузлових сил , лінійно перетворює переміщення у вузлові сили.

¨Термінологія. Квадратна матриця, що зв'язує в рівнянні рівноваги вузлові переміщення з вузловими силами, називається матрицею жорсткості. Компонента матриці жорсткості kij є реакція в зв'язку i від одиничного переміщення, прикладеного за напрямком зв'язку j. Матриця жорсткості, в силу теореми Бетті, симетрична, її коефіцієнти мають взаємність: kij = kji. У будівельній механіці стержньових систем матриця жорсткості відома більш як 100 років, тобто задовго до появи методу скінчених елементів (1956 р.).

Система рівнянь методу скінчених елементів усієї конструкції записується у вигляді:

,     (5.12)

де    – глобальна матриця жорсткості всієї конструкції;

–  вектор ступенів свободи;

– вектор вузлових сил.

Система рівнянь (5.12) – особлива і не може бути розв’язана відносно невідомих ступенів свободи. Для того щоб отримати розв’язок, потрібно попередньо врахувати граничні умови. Мова йде про те, що частина з компонентів вектора ступенів свободи  дорівнює нулю. Це переміщення в місцях опор (у противному випадку конструкція не закріплена в просторі). Процедура врахування граничних умов полягає у викреслюванні рядків і стовпців, що відповідають напрямкам, по яких задані переміщення, які дорівнюють нулю.

Позначимо матрицю жорсткості, перебудовану відповідно до граничних умов K*, і остаточно запишемо систему рівнянь методу скінченних елементів у формі методу переміщень:

        (5.13)

Вектор вузлових сил у (5.13) формується шляхом підсумовуванням сил по кожному з елементів, для яких j-я ступінь свободи є спільною

  ,     (5.14)

де – визначається за другою з формул (5.9).

Розв’язавши систему лінійних рівнянь (5.13), отримаємо значення ступенів свободи, якими визначається напружений стан конструкції. Далі за відомими залежностями теорії пружності обчислюють деформації чи напруги та зусилля.

Рівняння (5.13) варто розглядати як дискретний аналог реальної конструкції. Склавши рівняння МСЕ, тим самим перейдемо від реальної системи з нескінченним числом ступенів свободи до уявної системи із скінченним числом ступенів свободи.

Підсумовуючи вищевикладене, можна виділити такі основні положення концепції методу скінчених елементів:

задану конструкцію розчленовують на елементи скінчених розмірів;

для типових елементів, задавшись попередньо формою функції, що апроксимує поле переміщень(ф. 5.4), отримують матрицю жорсткості;

з матриць жорсткості елементів одержують матрицю жорсткості всієї конструкції (ф.5.12);

отриману матрицю жорсткості трансформують з урахуванням умов закріплення конструкції в просторі, одержують глобальну матрицю жорсткості K*;

будують вектор вузлових сил Q* (ф. 5.14). Якщо зовнішні сили задані по області елемента, їх попередньо приводять до еквівалентних вузлових; 

розв’язують систему лінійних рівнянь МСЕ (ф. 5.13), одержують значення вектора вузлових переміщень q* -дискретного аналога заданого об'єкта;

за значеннями вектора вузлових переміщень q*, використовуючи класичні залежності механіки твердого деформованого тіла, одержують деформації, напруги і зусилля.

Далі основні положення методу скінчених елементів розглядаються докладніше.

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Скачать

Лекц 10.doc

Лекц 10.doc
Размер: 147 Кб

Бесплатно Скачать

Пожаловаться на материал

Дискретна модель методу скінчених елементів Математичний опис методу скінчених елементів, поняття методу, дискретна модель, система рівнянь методу, матриця жорсткості. 

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Поняття конкуренція, конкурентоспроможність підприємства та конкурентні переваги. Види конкурентних стратегій

Общая характеристика основных методов психологического исследования

Для решения задач психологии применяются следующие методы: лабораторный и естественный эксперимент; наблюдение; исследование продуктов деятельности; анкетирование и тестирование; биографический метод; психологическое моделирование; сравнительно-генетический метод и др.

Средства, преимущественно влияющие на ЦНС

Контрольная работа. Педиатрический факультет. Ситуационные задачи

Краткие сведения о языке описания цифровых схем на языке Verilog

Обратите внимание – не язык программирования Verilog, а описание цифровых схем на языке Verilog.

Моделирование и принятие решений в ГИС

Нечеткие множества. Методы оптимизации. Линейное программирование. Задача безусловной оптимизации. Задача условной оптимизации

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok