Метод скінчених елементів. Матриця жорсткості

Территория рекламы

Лекція 11

5. МЕТОД СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

5.2. Матриця жорсткості

Мета лекції. На прикладі стержньового елементу демонструється процедура отримання матриці жорсткості МСЕ. Ключові слова: система рівнянь МСЕ, матриця жорсткості елемента. 

В попередній лекції показано, що в математичному сенсі дискретна задача аналізу напружено-деформованого стану конструкції за МСЕ зводиться до розв’язку системи лінійних рівнянь, в яких невідомими ступенями свободи є переміщення. В матричному вигляді система рівнянь записується так (5.13)

,      

де    – глобальна матриця жорсткості всієї конструкції, яка   формується із матриць жорсткості окремих елементів;

–  вектор ступенів свободи всієї системи;

– вектор вузлових сил всієї системи.

Центральним місцем математичної моделі МКЭ є матриця жорсткості елемента k – матриця, яка в рівнянні рівноваги (5.11) одного елемента об’єднує вектор невідомих переміщень і вектор заданих еквівалентних вузлових сил. Наголосимо, що саме матриця жорсткості елемента (МЖ) несе в собі всю інформацію про фізичні і механічні властивості конструкції, яку вона представляє.

Виводиться  МЖ одного елемента за правилами виводу рівнянь варіаційного методу, тобто шляхом диференціювання по ступеням свободи функціоналу відповідної крайової задачі (див.5.7). Процедуру одержання МЖ покажемо детально на прикладі одномірного елемента.

Вивід МЖ одномірного елемента, що знаходиться в стані згину.

Задача формулюється в переміщеннях (тобто за невідомі приймаються переміщення). Крайова задача згину стержня в переміщеннях описується диференціальним рівнянням 4-го порядку:

 ,      (5.15)

де w = w(y) -   функція прогинів; ЕІ – жорсткість на згин;

P(y)   –  поперечне навантаження;     y Î  [0, L]

За ступені свободи обрані переміщення: нормальне до площини пластини w, кутове переміщення .

Вектор ступенів свободи одного елемента має 4 компоненти

 ,     (5.16)

де  wi, wj – лінійні переміщення у вузлах i та j відповідно;

- кутові переміщення у вузлах i та j відповідно

Відповідний вектор вузлових сил має також 4 компоненти

 ,   (5.17)

де  Mi та  Mj – моменти у вузлах i та j відповідно;

 Qi та Qj поперечні сили у вузлах i та j відповідно.

Елемент у локальних осях і система невідомих показані на рис.5.2.

Рис.5.2. До виводу матриці жорсткості стержньового елемента.

Функціонал Лагранжа (повна потенційна енергія стержня), що відповідає крайовій задачі (5.16) згину стержня

,     (5.18)

Координатна функція, в нашому випадку чотирьох невідомих переміщень, має вид

 w(x)=wi·Ф1 + qi ·Ф2 + wj ·Ф3 + qj ·Ф4 ,    (5.19)

де вузлові переміщення мають бути представлені як можна простішими функціями Фk, які задовольняють граничним умовам крайової задачі і мають похідні не нижче  порядку 2 (останнє вимагається функціоналом ф. 5.18).

Для цього випадку найбільш вживаними є інтерполяційні поліноми третього порядку Ерміта. 

;  

;                (5.20)

Далі координатна функція w(x) (5.20) підставляється у функціонал і виконується диференціювання по ступенях свободи (ф.5.7). Потім функціонал елемента диференціюють по координаті х під знаком інтеграла і беруть інтеграл. В результаті    одержують матрицю жорсткості елемента. Значення її елементів такі

            k =                    (5.21)Симетрично

Це і є матриця жорсткості  стержньового елемента, що знаходиться в стані згину. Така матриця відома в будівельній механіці стержньових систем під назвою матриці реакцій. Не зважаючи на те, що в курсі будівельної механіки вона знаходиться іншим шляхом, чисельно вони співпадають. Це пояснюється тим, що прийняті нами функції апроксимації переміщень Ф(х) є точним розв’язком диференційного рівняння крайової задачі (5.15).

5.3 Вектор еквівалентних вузлових сил

В дискретній схемі МСЕ сили зовнішніх навантажень мають прикладатися у вузлах елементів. Це особливість методу. Тому сили, які в реальній конструкції прикладаються по області скінченного елемента, мають бути трансформовані в еквівалентні  вузлові.

Виконується ця трансформація базуючись на принципі енергетично еквівалентних сил – робота, що виконується силами, прикладеними до області елемента, має дорівнюватись роботі еквівалентних вузлових сил. Формулу еквівалентних вузлових сил одержимо із виразу повної потенціальної енергії системи (5.5) в якому другий із інтегралів описує роботу зовнішніх сил

 ,    (5.22)

де  fi – функція навантаження по області елемента;

 Фj – функції якими апроксимуються переміщення по області елемента;

 k – кількість ступенів свободи елемента.

Нижче, для прикладу,  наведені вирази елементів еквівалентних вузлових сил стержньового елементу отриманих за формулою (5.22) для двох випадків навантаження.

Рівномірно – розподілене навантаження.

Рис.5.3. Схема навантаження елемента та еквівалентні сили

Вектор еквівалентних сил

; ;      (5.23)

Зосереджена сила.

Рис.5.4. Схема навантаження елемента та еквівалентні сили

Вектор еквівалентних сил

;    ; ;       ;                                     (5.24)

Глобальний вектор вузлових сил.

Вектор одержується за формулою

, де  -     компонента вузлової сили  i-го напрямку   j-го елемента. Підсумовування поширюється на всі r елементів для яких і напрямок є спільним.

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Скачать

Лекц 11.doc

Лекц 11.doc
Размер: 136.5 Кб

Бесплатно Скачать

Пожаловаться на материал

На прикладі стержньового елементу демонструється процедура отримання матриці жорсткості МСЕ. Ключові слова: система рівнянь МСЕ, матриця жорсткості елемента. 

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Изучение и анализ участия медицинской сестры в групповом профилактическом консультировании пациентов в условиях стационара

Выпускная квалификационная работа Целью исследования является оптимизация деятельности среднего медицинского персонала в работе с пациентами, страдающими аллергозами, изучение проблемы возникновения аллергических реакций и аллергозов, определение возможностей медицинской сестры повлиять на предотвращение их развития и улучшение качества жизни аллергических больных.

Вводные слова и сочетания

Вводные слова и сочетания: не являются членами предложения. Вводные слова и замечания делятся на группы по выражаемому им значению. Вставные конструкции.

Социология и Политология. Ответы на экзамен

Философия. Тестовые экзаменационные задания

Экономическая теория

Экономическая теория - наука, характеризуется своим объектом изучения, рассмотрением специфического содержания этого объекта, что составляет ее предмет, специфической методологией исследований. Экономическая теория и практика.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok