Квантовая теория микрочастицы. Примеры решения уравнения Шредингера

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МИКРОЧАСТИЦЫ

39.1. Функция состояния микрочастицы

Рассмотрим дифракцию пучка электронов от двух расположенных отверстий. Пусть после прохождения отверстий они попадают на фотопластинку (см. рис.).

Если закрыть отверстие «2», то будет точно известно, что электроны летят через отверстие «1». Поэтому интенсивность почернения I(x) фотопластинки имеет вид единственного пика с центром напротив отверстия. То же самое будет, если закрыть отверстие «1» с изображением отверстия «2» (см. рис.)

Если установить детекторы, точно определяющие отверстие, через которое пролетает каждый электрон, то почернение пластинки – это сумма двух пиков:

Но электроны обладают волновыми свойствами, поэтому на самом деле, если за электронами не следить, то на фотопластинке появится интерференционная картина. Следовательно,

* поведение микрочастицы и конечный результат зависит от того, следим мы за частицей или нет.

Любой измерительный прибор дает нам информацию о микрочастице, взаимодействуя с ней. Таким образом, траектории электронов изменяются при действии детекторов, и если мы за ними следим, интерференционную картину мы не получим.

В отличие от классической физики, в квантовой теории нет смысла говорить о координате, скорости, импульсе, энергии микрочастицы. Они принципиально неопределимы.

* Можно только определить состояние движения микрочастицы, описываемое с помощью функции состояния волновой функции.

Если для микрочастицы были бы известны координата, скорость, импульс, энергия микрочастицы, то тогда была бы известна и ее траектория и, следовательно, отверстие, через которое она пролетает. Таким образом, интерференционной картины не получилось бы.

Соотношение между волновой функцией и описываемой его частицей аналогично соотношению между световой волной и фотоном. Квадрат амплитуды световой волны определяется вероятность попадания фотона в соответствующую точку пространства. Точно так же квадрат модуля * волновой функции для какой-либо точки пространства, будучи умножен на включающий в себя эту точку элемент объема dV, определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP = |2|dV = *dV.

(* Примечание: волновая функция и ее квадрат – комплексные величины. Вероятность же может выражаться только вещественным числом).

* Таким образом, физический смысл функции заключается в том, что квадрат ее модуля дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства (вероятность, отнесенную к единице объема).

Имеем:

,

здесь – не координаты частицы (они неопределимы), а координаты участка пространства с объемом dV.

* Чтобы объяснить корпускулярно-волновой дуализм, считают, что единый микрообъект волна-частица «размазан» в пространстве с плотностью вероятности |2|. Но размазывается не масса частица (при попытке ее обнаружить, она будет найдена в определенной точке пространства; в какой – заранее неизвестна). Размазывается в пространстве область, в которой частица с вероятностью dP может быть обнаружена.

Условие нормировки волновой функции:

=1 – это вероятность того, что в момент времени t частица присутствует «где-то».

39.2. Принцип квантовой суперпозиции

Состояние движения микрочастицы задается только ее волновой функцией. Все остальные физические переменные f = , , Е, …в принципе не определены. Но любое значение f можно измерить. Поэтому

* Все определенные значения переменной f, которые может иметь частица и которые могут быть измерены на опыте, называются разрешенными.

Если f изменяется непрерывно, то говорят, что спектр разрешенных значений f непрерывен. Если разрешенные значения f – отдельные числа, то говорят, что спектр разрешенных значений f дискретен (как Еn электрона в атоме водорода).

0199390Если частица движется в ограниченном объеме пространства, то она обладает дискретным спектром разрешенных значений Е, (частица совершает финитное движение). Непрерывным спектром обладает частица, движущаяся в неограниченном пространстве (инфинитное движение).

* Любой процесс измерения или взаимодействия может изменить состояние движения волновую функцию микрочастиц (см. рис.).

До измерения неизвестно, какое конкретное значение величины f будет измерено. Известно лишь, что оно может оказаться любым из разрешенных значений fn , n = 1,2,3,… и движение частицы перейдет в состояние с волновой функцией n.

Принцип квантовой суперпозиции:

Любое состояние микрочастицы является суммой состояний, соответствующих всем разрешенным значениям любой из физических переменных f:

= Сn.

Сn – постоянные коэффициенты (могут быть комплексными, как и волновые функции).

Величина Рn = |Cn|2 – это вероятность того, что при измерении переменной f для микрочастиц, находящейся в состоянии с волновой функцией , будет получено разрешенное значение f = fn.

Сумма вероятностей всех возможных результатов:

.

Если же спектр разрешенных значений f непрерывен, то в состоянии с определенным значением физический переменной f микрочастица описывается волновой функцией

,

где интегрирование проводится по всей области разрешенных значений f;

dP = |C(f)|2df – это вероятность того, что при измерении переменная f имеет значение в интервале от f до f + df, и

|C(f)|2df =1.

Можно измерить точно значение одной из динамических переменных f. Можно ли измерить две переменные сразу? Одновременное определение и задает классическую траекторию электрона. Но электрон не должен двигаться как классическая частица. Что делать?

39.3. Принцип неопределенности

В квантовой физике понятия определенного местоположения и траектории микрочастиц теряют смысл. Эти понятия применимы к микрочастицам только с некоторой степенью точности.

Степень точности, с какой к частицам может быть применено представление об определенном ее положении в пространстве, дается соотношением неопределенностей, установленное Гейзенбергом. Согласно этому соотношению частица не может иметь одновременно вполне точные значения, например, координаты x и соответствующей ей составляющей импульса px , причем неопределенности в значениях этих величин удовлетворяют условию:

x px .(*)

Такая запись означает, что произведение неопределенностей координаты и соответствующего ей импульса может быть меньше величины порядка . Чем точнее определена одна из величин, тем больше становится неопределенность другой. Возможны состояния частицы, когда одна из величин имеет вполне точное значение, тогда вторая величина будет совершенно неопределенной.

Соотношения (*) справедливы для любой другой координаты и соответствующего ей импульса, а также для ряда других величин, например, для взятых попарно проекций момента количества движения на координатные оси.

0105410Поясним соотношение неопределенностей. Для определения положения микрочастицы (она летит свободно) поставим на ее пути щель шириной x, расположенную перпендикулярной к направлению движения частицы.

До прохождения частицы через щель ее составляющая импульса px имеет значение, равное нулю: px = 0 (щель по условию перпендикулярна импульсу), так что px = 0, зато координата x частицы оказывается совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности x появляется неопределенность x, но это достигается ценой утраты определенности значения px. Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2, где – угол, соответствующий первому дифракционному максимуму (интенсивность остальных максимумов много меньше, ими мы пренебрегаем). Поэтому появляется неопределенность:

px = psin .

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающегося от щели шириной x, соответствует угол , для которого

sin = /x,

откуда

px = p(/x)x px = p = 2,

согласующиеся с (*).

Оценим неопределенность координаты и импульса для электрона в электроннолучевой трубке. Пусть след электронного пучка на экране имеет радиус r порядка 10–3 см, длина l трубки порядка 10 см. Тогда (px/p) 10–4.

Импульс электрона связан с ускоряющим напряжением U так:

p2/2m =eUp = (2meU)1/2.

При U 104 В энергия электрона равна 104 (эВ) = 1,610–8 (эрг). Оценим р:

р = (20,9110–271,610–8)1/2 510–18px = 510–1810–4 = 510–22.

Согласно (*)

x (/px) = (1,0610–27)/(510–22) 210–6 см.

Полученный результат свидетельствует о том, что движение электрона в этом случае будет практически неотличимо от движения по траектории.

В классической механике мы при изучении импульса и закона его сохранения рассматривали взаимодействие двух шариков. Поступим так же в квантовой физике.

Рассмотрим покоящуюся частицу массы М, которая распадается в две частицы, разлетающиеся на столь большое расстояние друг от друга, что взаимодействие между ними отсутствует.

right3810Для первой частицы проведем измерение точного значения координаты 1, а для другой частицы – измерение точного значения импульса 2. Из закона сохранения импульса следует, что 1 = –2. Тем самым точно определены и 1, и 1 первой частицы, что запрещено принципом неопределенности. Поэтому

* Разлетающиеся частицы нельзя рассматривать как независимые, даже если они разлетелись на большое расстояние. Они образуют одну квантовую систему. Квантовая система неделима, не может быть разбита на части, и как целое описывается одной волновой функцией . Эту волновую функцию нельзя представить, как произведение волновых функций отдельных частиц: 12 (волновая функция выражает вероятность, а перемножаются вероятности только независимых событий). Результаты измерений, проводимых над частицами в разных частях одной и той же квантовой системы, зависимы друг от друга. Такая зависимость называется квантовыми корреляциями. Измерение 2 должно так повлиять на результат измерения 1, что соотношение неопределенностей останется ненарушенным.

В классике мы придерживались принципа близкодействия – все изменения движения должны передаваться от частицы к частице с конечной скоростью, не превышающей скорости света в вакууме с = 3108 м/с.

В квантовой физике от этого принципа мы отказываемся. Здесь действует принцип дальнодействия – мгновенная передача информации на расстояние l (размер квантовой системы, который может быть сколь угодно велик). Квантовые корреляции означают, что результат измерения в точке 1 влияет на результат одновременного измерения в точке 2.

39.4. Волновая функция свободной микрочастицы

Корпускулярные и волновые свойства фотона и микрочастицы аналогичны. Фотону с энергией , летящему вдоль оси x, можно сопоставить волновую функцию плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x:

E(x) = E0cos(tkx),где k = 2/,

Е – напряженность электрического поля волны – световой вектор.

В комплексном виде: E(x,t) = E0e–i(tkx).

Замена частоты и длины волны фотона на частоту и длину волны де Бройля:

Б = E/; Б = 2/p

приведет к тому, что мы получим волновую функцию свободной микрочастицы с энергией Е и импульсом р, летящей вдоль оси x:

(x,t) = Ae–i(Б – 2x/Б) = Ae–i(Etpx)/,

где А – некоторая постоянная.

Для частицы, движущейся в произвольном направлении:

.

То, что волновая функция комплексна – на страшно, так как физический смысл имеет действительная плотность вероятности, то есть, квадрат модуля волновой функции

dP/dV = ||2 = * = |A|2 = const.

Эта вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Мы приписали частице определенный импульс и неопределенность ее координаты x /(2p) при р 0. кроме того, фазовая скорость плоской волны (x,t), которая вычисляется для релятивистской частицы по формуле

Vфаз = ,

превышает скорость света с, то есть, не сопоставима с истинной скоростью V частицы.

Таким образом, делаем вывод:

* Реальная свободная микрочастица – более сложный объект, чем плоская монохроматическая волна де Бройля.

Будем теперь описывать свободную частицу с импульсом р0 с помощью волнового пакета, то есть совокупности плоских волн де Бройля со всеми возможными импульсами от p0 – – p/2 до p0 + p/2 (частица имеет неопределенность импульса p). Волновая функция пакета получается сложением по принципу квантовой суперпозиции

волновых функций (x,t) (см. выше) отдельных волн:

.(*)

Такой пакет имеет конечный размер.

Пусть A(p) = const (пусть также p мало). Тогда можно разложить энергию микрочастицы в ряд Тейлора:

E(p) = E(p0) + (E/p)|p = p0(pp0).

Введем новые обозначения:

= (E/p)|p = p0tx, = pp0.

Тогда волновая функиця микрочастицы будет иметь вид:

(x,t) = Ce–i/(E(p0)tp0x) .

Плотность вероятности: |(x,t)|2 = . Ее зависимость от x в момент времени t изображена на рис.

-38100|(x,t)|2max в точке, где = 0. Эта точка, то есть место, где вероятность обнаружения частицы максимальна, перемещается вдоль оси x со скоростью

Vгр = (x/t)|=0 = (E/p)|p0 – групповая скорость волнового пакета, которая определяется для волн де Бройля как Vгр = .

Для свободной микрочастицы E = p2/2m,Vгр = p0/m = V0 – скорость классической частицы с импульсом р0.

Размер микрочастицы, то есть ее координаты x можно сопоставить с шириной центрального пика (см. рис. выше). Его границы соответствуют при t = 0 условию .

Микрочастицу можно представить как пакет волн де Бройля с волновой функцией (*), который занимает в пространстве конечный объем с размером x и движется со скоростью классической частицы p0/m = V0 –-3810-3810 «облако» плотности вероятности обнаружения частицы||2, перемещающееся вдоль оси x.

! Но: волны де Бройля с разностью импульсов р имеют разность скоростей V p/m. Поэтому волновой пакет должен расплываться со временем.

Это аналогично явлению дисперсии электромагнитных волн. Пусть начальный размер электрона x0 10–16м. Тогда V p/m = (4)/(mx0)и спустя одну секунду он расплывется до размера x = x0 + Vt (4)/(mx0) t 1010 км!

Это произошло от того, что мы предположили, что A(p) = const, а такой пакет будет быстро расплываться. Чему равно A(p)?

Получим общее уравнение, определяющее зависимость (x,t) от координат и времени.

39.5. Нестационарное уравнение Шредингера

Состояние свободной микрочастицы, движущейся вдоль оси x, описывается волновой функцией

.(*)

Вычислим производные от этой функции и найдем, что

E = .

Любое другое состояние частицы можно в соответствии с принципом квантовой суперпозиции

или

представить в виде суммы состояний со всеми разрешенными импульсами:

(в случае дискретного спектра) (**)

или

(в случае непрерывного спектра). (***)

Но уравнение квантовой теории, позволяющее найти волновую функцию, должно иметь одинаковую форму для любых состояний (*), (**), (***).

Если полная энергия Е нерелятивистской частицы определена, то она будет суммой потенциальной энергии U(x,t) и кинетической энергии K = mV2/2 = p2/2m:

E = p2/2m + U(x,t).

Подставим (*) в эту формулу для полной энергии, получим:

.

Нестационарное уравнение Шредингера описывает волновые свойства микрочастиц.

Реальная частица движется в трехмерном пространстве, поэтому для ее описания надо использовать волны де Бройля вида

p2 = p2x + p2y + p2z = –2/,

где = – дифференциальный оператор Лапласа.

Имеем после подстановки:

нестационарное уравнение Шредингера.

Нестационарным оно называется потому, что входящая в него потенциальная энергия взаимодействия микрочастицы с внешними телами зависит от времени.

39.6. Стационарное уравнение Шредингера

Если частица движется в стационарном поле и ее потенциальная энергия не зависит от времени явно, то уравнение

допускает разделение переменных: .

Подставим это разделение в уравнение Шредингера и разделим почленно обе части этого уравнения на произведение :

.

Правая и левая части последнего уравнения являются независимыми функциями разных переменных t и r. Они равны между собой только тогда, когда равны некоторой константе. Определим ее. Подставим (*) с соотношения

E =

.

Таким образом, в стационарном внешнем поле зависимость волновой функции микрочастицы от времени учитывается экспоненциальным множителем:

.

Волновая функция , зависящая только от координат, является решением стационарного уравнения Шредингера:

.

При движении частицы вдоль одной оси координат:

.

* Поле U(r), в котором находится частица, считается известным. Стационарное равнение Шредингера позволяет найти и волновую функцию частицы в заданном поле, и все разрешенные значения ее полной энергии Е. Для этого при решении дифференциального уравнения Шредингера обязательно надо задать граничные условия для функции или для плотности вероятности обнаружения частицы ||2. И вероятность ||2, и волновая функция должны меняться плавно, без скачков.

39.7. Уравнение Клейна-Гордона-Фока и волновая функция фотона

Уравнение Шредингера описывает нерелятивистскую микрочастицу. Чтобы получить уравнение для волновой функции релятивистской частицы, воспользуемся релятивистской связью энергии и импульса:

и подставим в нее выражения для квадрата энергии и импульса, полученные с помощью производных из волновой функции и аналогичные выражениям

E = , p2 = –.

Приходим к дифференциальному уравнению Клейна-Гордона-Фока, которое аналогично уравнению Шредингера, но описывает волновую функцию свободной релятивистской частицы:

+ m2c2) ,

где дифференциальный оператор = – оператор дАламбера.

Пусть фотон движется со скоростью света с. Он не имеет массы покоя. Фотон может быть по-разному поляризован в пространстве, то есть, его волновая функция должна быть векторной функцией. В пространстве Минковского волновая функция фотона образует 4-вектор . «Временная» часть этого вектора связана с потенциалом электрического поля: Act = /c, а «пространственная» часть называется вектор-потенциалом. – напряженность электрического поля, – индукция магнитного поля:

=– grad = /t,= rot.

Имеем для фотона:

A = 0.

Это стандартное уравнение (волновое). Аналогичные волновые уравнения справедливы для электрического и магнитного полей:

= 0 и = 0.

* Уравнение квантовой теории для свободного фотона совпадает по форме с классическим уравнением, описывающим электромагнитную волну.

Пусть поле, в котором находится релятивистская частица, потенциально и стационарно. Тогда к полной энергии частицы, определяемой соотношением

,

Надо добавить энергию взаимодействия с внешним полем:

E = .

Подставляя последние выражения в (**) и учитывая и

p2 = –, получим стационарное уравнение, позволяющее найти волновую функцию релятивистской частицы во внешнем потенциальном поле:

.

40. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

40.1. Туннельный эффект

* Туннельный эффект – это прохождение микрочастицы через потенциальный барьер в том случае, когда полная энергия Е частицы меньше высоты барьера (см. рис.).

В классической теории это невозможно. Если классическая частица с энергией Е = mV2/2, скользя без трения, повстречает горку высотой h V2/2g, то, поднявшись до точки поворота, в которой вся ее кинетическая энергия превратится в потенциальную, частица эту горку «не пройдет», повернув обратно.

114300-499110Используемый термин «туннельный эффект» может создать неверное впечатление о точечной микрочастице, преодолевающей потенциальный барьер сквозь некий «туннель». Это не так. Квантовая теория – уравнение Шредингера – описывает не точечную частицу, а «размазанное» в пространстве «облако» плотности вероятности ее обнаружения |(x,t)|2. Если часть этого «облака» оказывается позади барьера, то для микрочастицы существует конечная вероятность оказаться за барьером.

Если же рассматривать частицу как точечный объект, уменьшая неопределенность ее координаты x, то возрастает неопределенность импульса и энергии. Тогда частица может оказаться в виртуальном состоянии и изменить свою энергию на величину Е U0 – Е. Это происходит в результате поглощения виртуального фотона, испускаемого частицами, создающими потенциальный барьер. Налетающая частица окажется над барьером шириной а (рис.).

422910033655Если время существования в таком состоянии t а/с (с – скорость света в вакууме), то она может успеть «перелететь» через барьер и вернуться в состояние с прежней энергией Е.

* Полная энергия микрочастицы Е при туннельном переходе измениться не может.

Используем соотношение неопределенностей для определения ширины потенциального барьера:

xpx/2;ypy/2;zpz /2;tE /2;…

для которого возможен туннельный эффект:

Et (U0 –E)(a/c) или a c/(U0 –E).

Покажем, что уравнение Шредингера допускает туннельный эффект. Пусть частица массы m и энергией Е движется вдоль оси x и налетает на потенциальную ступеньку (область, в которой потенциальная энергия U0 частицы постоянна, U0 Е).-38100

Это происходит, например, при движении свободного электрона с энергией Е в металле. Существование двойного электрического слоя на границе металла приводит к тому, что потенциальная энергия электрона вне металла возрастает на величину U0, где U0 – Е = Авых – работа выхода электрона из металла. Классический электрон оказаться вне металла в области x 0 не может и вылетает из металла только за счет фотоэффекта, поглощая фотон с энергией Авых.

К потенциальной энергии U(x) можно добавить или вычесть любую постоянную величину (так как U определена с точностью до произвольной постоянной). Совместим начало координат x = 0 со ступенькой и пусть в области I (x 0) потенциальная энергия падающей на ступеньку частицы равна нулю (см. рис.).

-38100Уравнение Шредингера

в нашем случае запишется в виде:

, x 0,

, x 0,

где 0, 0.

Решения этих уравнений:

I (x) = Aeikx + Be–ikx;II(x) = Ce–x + Fex,(*)

Здесь пад = Aeikx,отр= Be–ikx,пр = Ce–x, Fex = 0, А, В, С, F – постоянные интегрирования.

Пусть ЕU = p2/2mв области I имеем:

k = p/(сравним с )пад = Aeikx = Ае–ipx/ описывает свободную частицу, летящую вдоль оси x, то есть, падающую на ступеньку.

отр= Be–ikx = Ве–ipx/ соответствует частице, летящей против оси x, то есть, отраженной от ступеньки.

Волновая функция пр = Ce–x опишет состояние частицы, прошедшей в классически запрещенную область II (классическая частица в этой области не существует, так как ее импульс p = (2m/(EU0))1/2 будет мнимым из-за

Е U0, см. рис.). F = 0 из граничного условия |II|2x (вероятность обнаружения частицы в области x не может быть бесконечной).

Константы А, В и С ищем из условия непрерывности функции (x) на границе двух областей:

* На любой границе следует приравнять волновые функции и их первые производные:

I|x = 0 = II|x = 0;(dI/dx)|x=0 = (dII/dx)|x=0A + B = C;

ikAikB = – C,

откуда имеем систему уравнений: .

Вероятность обнаружения частицы в области II не равна нулю:

|пр|2 = |Ce–x|2 = = =.

Эта вероятность очень быстро убывает по экспоненте с глубиной проникновения x в классически запрещенную область и быстро становится пренебрежимо малой. Частицы не могут проникнуть глубоко и обязаны отразиться с вероятностью, равной 1.

Но если вместо бесконечной прямоугольной ступеньки рассматривать прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины а, то частица с вероятностью |пр|2x=a = conste–2x окажется за барьером и улетит далее вдоль оси x. Осуществится туннельный эффект.

Вероятность преодоления потенциального барьера:

D = jпр/jпад – отношение потока прошедших частиц к потоку падающих.

Для прямоугольного барьера:

D = |пр|2/|пад|2 = conste–2а = constexp(–2)/

Для потенциального барьера произвольной формы:

– вероятность туннельного преодоления падающей микрочастицей с массой m и энергией Е потенциального барьера произвольной формы. Эта формула является приближенной (так как константа перед экспонентой не определена).

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Файл

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МИКРОЧАСТИЦЫ.docx

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МИКРОЧАСТИЦЫ.docx
Размер: 278.1 Кб

.

Пожаловаться на материал

Функция состояния микрочастицы Принцип квантовой суперпозиции Принцип неопределенности Волновая функция свободной микрочастицы Нестационарное уравнение Шредингера Стационарное уравнение Шредингера Уравнение Клейна-Гордона-Фока и волновая функция фотона

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Рыночная экономика

Финансовый рынок, акции. Дивиденды, облигации, управление ценными бумагами. Фондовая биржа

Учет и анализ основных средств и нематериальных активов

Проведено исследование и даны основные определения и понятия, изучена сущность и структура основных средств, приведены важные теоретические выкладки. Данный раздел содержит так же методы учета в соответствии с МСФО И НСФО. Большое внимание уделяется описанию элементам финансовой отчетности - баланс, отчет о доходах и расходах.

Медицинская этика

Особенности врачебной этики. Основные требования и проблемы медицинской этики и врачебной деонтологии. Принципы медико-социальной экспертизы. Врачебно-консультационная комиссия (ВКК). Ответы к государственному экзамену по внутренним болезням. Болезни органов дыхания.

Доклад на тему: «Пестициды»

Пестициды (сельскохозяйственные ядохимикаты) — химические средства, используемые для борьбы с вредителями и болезнями растений. Токсический эффект сельскохозяйственных ядохимикатов может реализовываться путем развития острых или хронических отравлений

Основные функции психики. Структура психики. Воображение

Психика - это свойство высокоорганизованной материи. Индивидуально-психологические особенности. Уровни психической активности. Психика —функция мозга

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok