Отчет по лабораторной работе Определение корней уравнений с одной переменной

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики и методики обучения физике

Отчет по лабораторной работе №3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

                                                                                  Выполнил: Илдаркин С.С.

                                                                                  Проверил: Андреев А.И.

            Йошкар-Ола

2014г.

Задача:  1. Решить уравнение  методом половинного

деления.

1.Решение:

1)Создадим файл ildarkin_serega.sce, содержащий описание функции .

а) Запускаем программу scilab.б) Вызываем окно редактора путем нажатия кнопки откроем SciNotes( создаем пустой файл с расширением .sce)

в) Для того, чтобы заданная задача могла изобразить график заданной функции, создадим  отдельным файлом функцию пользователя  и запишем туда заданную функцию.   Функцию пользователя выглядит следующим образом:

function y=ildarkin_serega(x)

   y=(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2;

endfunction

2) Создадим файл Div2ildarkin_serega.sce, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом половинного деления.

function Div2ildarkin_serega(f, x1, x2, eps)

   L=x2-x1;

   k=0;

   while L>eps

       c=(x2+x1)/2;

       k=k+1;

       if feval(c,f)*feval(x1,f)<0

          x2=c;

      else

          x1=c;

       end

       L=x2-x1;

   end

   x=c

   disp(x)

   disp(k)

   fx=feval(c,f)

   disp(fx)

endfunction

(предварительно выполнив функции пользователя (загнав в память))

3. Вычислим значения  корней  уравнения

Div2ildarkin_serega(ildarkin_serega,-5.55,-4.45,0.001)

Div2ildarkin_serega(ildarkin_serega, -4.0, -3.9, 0.001)

- 5.4979004  

   11.  

   0.0004533  

  

- 3.9273437  

   7.  

 - 0.0014087  

 

 

Ответ: решение х1=- 5.4978516 и х2=- 3.9273437  мы получили с точностью 0,001  х1 - за 11 итераций и х2 - за 7 итераций. При этом значение невязки fx1 =  0.0018911 и fx2 = - 0.0014087 .

.

Задача:  1. Решить уравнение  методом итераций с точностью 0,001(промежуток изоляции корня [-5.5,-5.45]и[-4.0,-3.9] ).

2.Решение:

1. Создадим файл ildarkin_serega.sce, содержащий описание функции

    

function y=ildarkin_serega(x)

   y=(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2;

endfunction

2. Создадим файл Func1ildarkin_serega.sce, содержащий описание функции      .

function y =Func1ildarkin_serega(x, m, f)

   y =x-m*feval(x,f)

endfunction

3. Создадим файл  Func2ildarkin_serega.sce, содержащий описание производной функции f1:

.

function y=Func2ildarkin_serega(x, m, f)

   dx=10^-7;

   x1=x+dx;

   tmp1=x-m*feval(x,f);

   tmp2=x1-m*feval(x1,f);

       y=abs((tmp2-tmp1)/dx);

endfunction

В этой же функции напишем вызов функций Func1ildarkin_serega.scе и Func2ildarkin_serega.scе. Построим графики функций f1, f2 :

x1=-5.55:0.001:-5.45;

m1=-0.1; // m<0, т.к. производная функции промежутке xϵ[-5.5,-5.45] меньше 0

plot(x1,Func1ildarkin_serega(x1,m1,ildarkin_serega));

plot(x1,Func2ildarkin_serega(x1,m1,ildarkin_serega),'--');

x2=-4.0:0.001:-3.9;

m2=0.1; // m>0, т.к. производная функции промежутке xϵ[-4.0,-3.9] больше 0

plot(x2,Func1ildarkin_serega(x2,m2,ildarkin_serega));

plot(x2,Func2ildarkin_serega(x2,m2,ildarkin_serega),'--');

графики функций f1, f2 на промежутке  xϵ [-5.5,-5.45]:

графики функций f1, f2 на промежутке xϵ [-4.0,-3.9]:

Из рисунков видно, что в промежутках [-5.5,-5.45] и [-4.0,-3.9] функция удовлетворяет условиям теоремы:

Пусть уравнение x = f(x) имеет единственный корень на отрезке [a; b] и выполнены условия:

1. f(x) определена и дифференцируема на [a; b].

2. f(x) [a; b] для всех х[a; b].

3. Существует такое действительное q, что  для всех х[a; b].

Тогда итерационная последовательность xn = f(xn-1) (n=1, 2, …) сходится при любом начальном приближении х0[a; b].

5. Создадим файл Iterildarkin_serega.sce, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом итераций.

function Iterildarkin_serega(f, x0, eps, m)

   x1=Func1ildarkin_serega(x0,m,f);

   k=1;

   while abs(x1-x0)>eps

       x0=x1;

       x1=Func1ildarkin_serega(x0,m,f);

       k=k+1;

   end

   x=x1

   disp(x)

   disp(k)

   fx=feval(x1,f)

   disp(fx)

endfunction

6. Вычислим значение корня уравнения:

Iterildarkin_serega(ildarkin_serega,-5.55,0.001,-0.1)

Iterildarkin_serega(ildarkin_serega,-4.0,0.001,0.1)

  - 5.4992111  

 

   6.  

 

   0.0057447  

 

 - 3.9284968  

 

   9.  

 

 - 0.0059700  

Ответ: решением уравнения будет число х1= - 5.4992111 и х2=- 3.9284968, полученное х1 на 6 шаге и х2 на 9 шаге. Значение невязки fx1=0.0057447  и fx2=- 0.0059700.  

Задача:  3. Решить уравнение  методом касательных.

3.Решение:

1. Создадим файл ildarkin_serega.sce  содержащий описание функции

    

function y=ildarkin_serega(x)

   y=(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2;

endfunction

2. Создадим файл Func3ildarkin_serega.sce, содержащий описание первой производной функции:

.

function y=Func3ildarkin_serega(x)

   y=(sin(x).*cos(x).*(-((sin(2*x)).^2)-2*((cos(x)).^4)+1))./((((cos(x)).^4)-0.5).^2)

endfunction

3. Создадим файл Func4ildarkin_serega.sce (листинг 3.8), содержащий описание второй производной функции:

.

function y=Func4ildarkin_serega(x)

   y=( (((cos(x)).^6).*(2-20*((sin(x)).^4)))+0.5*((sin(x)).^2)-2*((cos(x)).^10)-18*((sin(x)).^2)*((cos(x)).^8)+8*((sin(x)).^2)*((cos(x)).^4)+(-6*((sin(x)).^4)-0.5)*((cos(x)).^2) )./( (((cos(x)).^4)-0.5).^3 )

endfunction

4. Создадим файл Nutonildarkin_serega.sce, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом касательных.

function Nutonildarkin_serega(f, f1, f2, a, b, eps)

   if feval(a,f)*feval(a,f2)>0

       x0=a;

   else

       x0=b;

   end

   x1=x0-feval(x0,f)/feval(x0,f1);

   k=1;

   while abs(x1-x0)>eps

       x0=x1;

       x1=x0-feval(x0,f)/feval(x0,f1);

       k=k+1;

   end

   x=x1

   disp(x)

   disp(k)

   fx=feval(x1,f)

   disp(fx)

endfunction

5. Вычислим значение корня уравнения:

Nutonildarkin_serega(ildarkin_serega,Func3ildarkin_serega, Func4ildarkin_serega,-5.55,-4.45,0.001)

Nutonildarkin_serega(ildarkin_serega,Func3ildarkin_serega, Func4ildarkin_serega,-4.0, -3.9, 0.001)

- 5.4977871  

   4.  

   1.849D-09  

 

 - 3.9269908  

   3.  

   0.0000002

Ответ: корень уравнения по методу хорд равен x1=- 5.4977871  

и  х2=- 3.9269908  с точностью 0,001 найден х1 на 4 шаге и х2 на 3 шаге. При этом значение невязки fx1=1.849D-09  и  fx2=0.0000002.

Задача:  4. Решить уравнение  методом секущих.

4.Решение:

1. Создадим файл  ildarkin_serega.sce  содержащий описание функции

    

function y=ildarkin_serega(x)

   y=(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2;

endfunction

2. Создадим файл Func4ildarkin_serega.sce, содержащий описание второй производной функции:

.

function y=Func4ildarkin_serega(x)

   y=( (((cos(x)).^6).*(2-20*((sin(x)).^4)))+0.5*((sin(x)).^2)-2*((cos(x)).^10)-18*((sin(x)).^2)*((cos(x)).^8)+8*((sin(x)).^2)*((cos(x)).^4)+(-6*((sin(x)).^4)-0.5)*((cos(x)).^2) )./( (((cos(x)).^4)-0.5).^3 )

endfunction

3. Создадим файл Hordildarkin_serega.sce, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом хорд.

function Hordildarkin_serega(f, f1, a, b, eps)

   if feval(a,f)*feval(a,f1)>0

       xf=a;

       x0=b;

   else

       xf=b;

       x0=a;

   end

   x1=x0-feval(x0,f)*(x0-xf)/(feval(x0,f)-feval(xf,f));

   k=1;

   while abs(x1-x0)>eps

       x0=x1;

       x1=x0-feval(x0,f)*(x0-xf)/(feval(x0,f)-feval(xf,f));

       k=k+1;

   end

   x=x1

   disp(x)

   disp(k)

   fx=feval(x1,f)

   disp(fx)

endfunction

5. Вычислим значения  корней уравнения:

Hordildarkin_serega(ildarkin_serega,Func4ildarkin_serega,-5.55,-4.45,0.001)

Hordildarkin_serega(ildarkin_serega,Func4ildarkin_serega,-4.0, -3.9, 0.001)

- 5.4974216  

 

   13.  

 

 - 0.0014592  

 

 - 3.9270392  

 

   4.  

 

 - 0.0001933  

Ответ: корень уравнения по методу хорд равен x1=- 5.4974216  и  х2=-3.9270392  

с точностью 0,001 найден х1 на 13 шаге и х2 на 4 шаге. При этом значение невязки fx1=  - 0.0014592 и   fx2=- 0.0001933  

.

5.Решение:

Программа решения уравнения имеет вид:

deff('[f]=y(x)','f=(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2')

 

x=fsolve(-5.5,y)

x  = - 5.4977871

deff('[f]=y(x)','f=(((sin(x)).^2)./(0.5-((cos(x)).^4)))-2')

 

x=fsolve(-4.0,y)

 x  = - 3.9269908 

Ответ:  - 5.4977871 и  - 3.9269908.Контрольные вопросы:

1. Что называется корнем уравнения?

Корнями уравнения называются те значения неизвестных, при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство.

2. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - значит найти все его корни или установить, что их нет. 

3. Каковы этапы решения уравнения с одной переменной?

а). Избавьтесь от знаменателей (если они есть), умножив левую и правую части уравнения на НОК знаменателей.

б). Раскройте все скобки (если они есть)

в). Перенесите члены с переменными в одну часть уравнения, а остальные – в другую.

г). Приведите подобные слагаемые в одной части и сложите числа в другой части уравнения.

д). Решите получившееся уравнение ах=b.

е). Запишите ответ

4. Какие существуют методы решения уравнения с одной переменной?

   а) метод половинного деления;

   б) метод простой итерации;

   в) метод Ньютона(метода касательных);

   г) метода хорд;

5. Суть метода половинного деления.

Метод половинного деления один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность ɛ.

Пусть задан отрезок [а,b], содержащий один корень уравнения. Предварительно необходимо определить области локализации корней данного уравнения. Если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то метод не работает.

6. Суть метода хорд. Графическая интерпретация метода.

Пусть . Сущность метода (его еще называют методом ложного положения) состоит в замене кривой хордами, проходящими через концы отрезков, в которых f(x)  имеет противоположные знаки. Метод хорд требует, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был неподвижен. В качестве неподвижного конца х0 выбирают тот конец отрезка, для которого знак совпадает со знаком второй производной  . Расчетная формула имеет вид:

Метод хорд является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя.

7. Суть метода касательных. Графическая интерпретация метода.

Задан отрезок [а,b], содержащий корень уравнения F(x)=0. Уточнение значения корня производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [а,b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выполняется условиеF(x0)*F"(x0) > 0).

В точке F(x0) строится касательная к кривой у = F(x) и ищется ее пересечение с осью х. Точка пересечения принимается за новую итерацию. Метод Ньютона самый быстрый способ нахождения корней уравнений

Итерационная формула имеет вид:

Иллюстрация метода Ньютона:

8. Суть метода итерации.

Метод простой итерации основывается на приведении исходного уравнения  

к следующему виду: .При этом процесс последовательно приближается к корню строится на основе итерационной формулы .Чтобы получить формулу нужно провести цепочку преобразований,где b-не равный нулю сомножитель.

9. Каковы достаточные условия сходимости итерационного процесса при решении уравнения x=f(x) на отрезке [a, b], содержащего корень, методом простой итерации?

Т е о р е м а . Пусть уравнение  x= f(x) имеет единственный корень на отрезке [a, b]и выполнены условия:

1).  f(x)определена и дифференцируема на [a, b];

2). для всех ;

3). существует такое вещественное q, что  для всех <..

Тогда итерационная последовательность xn= f(xn -1) n = 1,2...сходится при любом начальном члене 

10. Какое условие является критерием достижения заданной точности при решении уравнения x=f(x) методом хорд, касательных, итераций?

При решении уравнения методом хорд, поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)|< ε. При решении уравнения методом касательных, поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(x)|> ε. . При решении уравнения методом итераций, поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(xi)|> ε.

11. Записать формулу нахождения значений последовательности при решении уравнения методом: хорд, касательных.

Формула нахождения значений последовательности при решении уранении методом хорд:

Формула нахождения значений последовательности при решении уранении методом касательных:

12. Как строится итерационная последовательность точек при решении уравнения методом простой итерации?

Формула итерационной последовательности оказывается предельно простой:

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Кафедра физики и методики обучения физике Отчет по лабораторной работе №3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Решить уравнение  методом половинного деления

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Инновационный менеджмент

Современные трактовки сущности инноваций и их классификация. Виды инноваций и их классификация. Типы инновационных стратегий. Теория длинных волн Н. Д. Кондратьева. Факторы инновационной активности. Наукограды, их особенности.

Галльский язык (обзор грамматики и тексты)

Галльский язык — мёртвый кельтский язык, распространённый в Галлии до VI века, когда был окончательно вытеснен народной латынью.

Кандидатский экзамен "История и философия науки"

Общие проблемы философии науки. Философия русского космизма. Учение о ноосфере. Философия науки. Неопозитивизм. Концепция Карла Поппера.

Процесс исследования конфликта

Под эволюцией конфликта понимается одна из основных категорий анализа конфликта. Психолог должен постоянно обращаться к практике. Логика процесса исследования конфликта. Методологические принципы психологии конфликта. Психология.

Уголовное право

Преступления против личности Преступления против жизни и здоровья Преступления против здоровья, Преступления, ставящие в опасность жизнь и здоровье

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok