Методы приближенного вычисления интегралов

38 Методы приближенного вычисления интегралов (метод прямоугольников, трапеций, Симпсона). Оценка точности для методов прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Рассм. след.задачу: вычислить значение , если задан отрезок [a,b] и искомая ф-я f(x)/

Чем больше знаем о ф-и, тем больше методов реш-я имеет задача. Например, иногда удается воспользоваться , где F(x) – одна из первообразных функций f(x). Но даже в этих редких случаях, когда первообразную удается найти в аналитической форме, значение определ интеграла не всегда удается довести до числового ответа.

Иногда подинтегральная ф-я задается таблицей или графиком и тогда этот метод тем более не применим. В таких случаях применяются различные методы приближения или численного интегрирования.

Метод трапеций

На каждом из отрезков разбиения нашу функцию будем заменять многочленом первой степени. В качестве узлов интерполяции берем 2 точки xk и xk+1- границы отрезка. Геометрически это означает что площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции:

59724364341

0

y

x

yk

yk+1

L1(x)

Mk

Mk+1

f(x)

00

0

y

x

yk

yk+1

L1(x)

Mk

Mk+1

f(x)

*(xk-1-xk)=

*h.

Считаем

= h*(+)

Алгоритм:

ввод данных (концы отр [a,b], число разбиений m). Будем считать, что функция задана аналитически, тогда для работы с ней д.б. функция в программе

цикл от 1 до m-1 . За каждое прохождение цикла считаем x=a+h*i, i – параметр цикла и прибавляем f(x) к текущему значению интеграла s=s+f(x).

считаем значения функции на концах отрезка ab и прибавляем их полусумму к ранее полученной в п2 сумме S=s+(f(a)+f(b))/2 и умножаем s на h.

вывод результата

procedure trap (n:integer; var it:real)

begin

h:=(b-a)/h; x:=0; sum:=0;

for I:=1 to n-1 do

begin

x:=a+h*i;

sum:=sum+fun(x);

end;

sum:=sum+(fun(a)+fun(b))/2

it:=sum*h;

end;

Метод Симпсона

В этом случае на каждом отрезке [xk; xk+1] мы заменяем функцию f(x) многочленом второй степени. В качестве узлов интерполяции берем 3 точки: концы отрезка и его середину. Геометрически это означает замену графика подинтегральной функции параболой, проходящей через точки Mki(xki, f(xki)), i=0,1,2

201827103351

yk0

yk1

yk2

xk0

xk1

xk2

f(x)

Mk0

Mk1

Mk2

Парабола L2(x)

00

yk0

yk1

yk2

xk0

xk1

xk2

f(x)

Mk0

Mk1

Mk2

Парабола L2(x)

Подставим полученные значения в формулу (2) и будем иметь:

()=()+

()+ (cx2-cx0)= (2a() +3b()+6c())/6 = (2a()+ 3b()+6c)= (2a+2ax2 x0+2a+3b x2+3b x0+6c)==Т.к. ax+bx0 +c= y0; ax+bx2 +c= y2; a()2+b()+c= y1 , то ==( y0 ++ y2 ). И тода=()+f(a)+f(b))

Алгоритм:

ввод данных (концы отр [a,b], число разбиений n). Будем считать, что функция задана аналитически, тогда для работы с ней д.б. функция в программе

в цикле от 1 до m-1 считаем x=x+h/2, изначально х=а. Если i – четно, то s=s+f(x)/3. Если i-нечетно, то s=s+2/3*f(x)

прибавляем к полученной сумме s значение выражения 1/6(f(a)+f(b)) и умножаем на h

вывод результата

procedure sim (n:integer; var is:real)

begin

x=a;h:=(b-a)/h; sum:=0;

for I:=1 to 2*n-1 do

begin

x:=a+h/2;

if i mod 2=0 then sum:=sum+(fun(x)/3)

else sum:=sum+(2*fun(x)/3);

end;

sum:=sum+(fun(a)+fun(b))/6

is:=sum*h;

end;

Метод прямоугольников

В этом случае наша функция заменяется полиномом нулевой степени, т.е. константой. Это означает, что график подинтегральной функции заменяется отрезком прямой, параллельной оси ОХ. Для каждого отр [xk; xk+1] находим значение функции в его середине. Через полученную точку проводим прямую параллельно Ох и вместо площади криволинейной трапеции ищем площадь полученного прямоугольника.

605566108585

f(x)

xk

xk+1

00

f(x)

xk

xk+1

. ( xk+1- xk)*f

. Т.к ( xk+1- xk)= =h, то =h.

Алгоритм:

ввод данных (концы отр [a,b], число разбиений m).

в цикле от 0 до m-1 x=x+h, изначально х=а-(h/2), считаем s=s+h*f(x).

вывод результата

procedure pram (n:integer; var ip:real)

begin

h:=(b-a)/h; sum:=0;x:=a-h/2

for I:=0 to n-1 do

begin

x:=x+h;

sum:=sum+h*fun(x);

end;

ip:=sum;

end;

Для метода Симпсона было получено = =

Т.е. формула Симпсона является линейной комбинацией формул серединных прямоугольников и трапеций.

Оценка точности решения.

Метод серединных прямоугольников. Ошибка при вычислении всего интеграла складывается из всех величин ошибок на отрезках разбиения. Можно утверждать, что сумма ошибок вычисления на всех отрезках разбиения не превосходит ошибки при вычислении всего интеграла, поскольку ошибки на маленьких отрезках разбиения складываются и вычитаются, т.е. могут иметь разные знаки. Поэтому рассмотрим один интервал и оценим погрешность вычисления значения интеграла

и значение выражения, которым мы пользуемся для его вычисления:

Пусть . Сделаем замену переменных x=c+t. Будем иметь:

Для приближающего многочлена

Разложим функцию f(c+t) в ряд Тейлора, предполагая, что данная функция удовлетворяет всеми необходимыми для разложения ее в ряд Тейлора условиям:

- остаточный член ряда Тейлора. - промежуточная точка, принадлежащая отрезку.

Будем считать, что 4ая производная функции f (c+t) не настолько велика, чтобы нельзя было считать значение остаточного члена достаточно малым.

Тогда можно записать:

, где М=

Здесь - главная ошибка метода. - вторичная ошибка метода.

Получили, что если вторичная ошибка метода мала, а как правило, это выполняется, то ошибка метода прямоугольников на отрезке [xk, xk+1] будет равна или (1)

Метод трапеций.

Разложим функции f(c-h/2) и а(с+h/2) в ряд Тейлора, получим:

Тогда , где М=

Оценим модуль разности точного и вычисленного по методу трапеций интегралов на отрезке [xk, xk+1]:

- главная ошибка метода, - вторичная ошибка метода.

Т.о. если вторичная ошибка метода мала, то

Т.е. ошибка метода трапеций в 2 раза больше ошибки метода серединных прямоугольников. Ошибки метода трапеций и метода серединных прямоугольников имеют разные знаки, т.е. если вычислить интеграл разными методами, то истинное значение будет находиться между ними.

Метод Симпсона. Если формулу (1) умножить на 2 и сложить с последней формулой, то главная ошибка пропадет и останется утроенное истинное значение интеграла, если не считать вторичную ошибку, которая мала. Эта комбинация двух методов дает метод Симпсона. Т.о. метод Симпсона является более точным. Его главная ошибка является линейной комбинацией вторичных ошибок двух рассмотренных выше методов и на отрезке [xk, xk+1] составляет

Отсюда имеем:

40. Численные решения диф.уравнений. Методы Эйлера. Метод прогноза и коррекции.

102870758190Простейшим диф.ур-ем первого порядка явл-ся ур-е вида:y'=f(x,y)(1). Основная задача, связанная с этим ур-ем известна как задача Коши, которая фор-тся: Найти реш-е ур-я (1) в виде ф-и у(х), удовлетворяющее начальному условию у(хо)=уо (2). У диф.ур-я бесконечно много реш-й,поэтому берут ток один корень, подходящий под нач.условие.

Геометрически треб-ся найти интегральную кривую у=у(х),проходящую через

заданную точку М(хо, уо) при выполнении равенства (1).

Метод Эйлера.

Этот метод позвол. Получить реш-е диф.ур-й графически и табличным методом.

Пусть дано ур-е (1) с нач.условиями (2), т.е. у' =f(x, у), У(x0)=У0.

Нужно найти мн-во реш-й, кот. проходит через нач. точку М0

Выбрав малый шаг h, построим, начиная с точки хо систему равноотстоящих точек: xi=xi-1+h; i=0,l,2,...

Вместо искомой интегральной кривой на [x0,xi], рассмотрим отрезок касательной в точке Мо с координатами (х0,у0). Обозначим кас-ную через L1. Ур-е L1 будет иметь вид:

у= у0+ f(x0, y0)*(x-x0).

При x=x1 из уравнения касательной L1 получаем:

y1= y0+ f(x0, y0) *(x1-x0).где h=x1-x0

Аналогично, проводя касательную L2, к некоторой интегральной кривой семейства в точке M1(x1,y1) получаем след.ур-е кас-ной. В общем виде:

yi=yi-1+f(xi-1,yi-1)*h

Кривую заменяем ломаной. Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

xi=xi-1+h; i=0,l,2,...

yi=yi-1+f(xi-1,yi-1)*h

Алгоритм:

1)ввод данных (нач.условие x0,y0, концы отрезка [a,b], количество разбиений n)

2) вычисляем шаг h=(b-a)/n

3) находим y и x в цикле по i от 1 до n по формулам:

xi=xi-1+h;

yi=yi-1+f(xi-1,yi-1)*h

4) выводим на экран в виде таблички. 1 столбец – х, 2 столбец y по нашему реш-ю, 3 столбец точное значение y.

Улучшить метод Эйлера можно многими способами. Мы рассм. два из них:

1.исправленный

2. модифицированный

Исправлен. Метод Эйлера

график

Проведем кас-ную в точке (x0,y0), ищем точку, соотв-щую х1, выбираем среднее направление,затем из точки (x0,y0) проводим прямую, параллельную среднему направлению

формула

Алгоритм:

1)ввод данных(нач.условие x0,y0, концы отрезка [a,b], количество разбиений n)

2) вычисляем шаг h=(b-a)/n

3) находим y и x в цикле по i от 1 до n по формулам:

Две формулы

4) выводим на экран в виде таблички. 1 столбец – х, 2 столбец y по нашему реш-ю, 3 столбец точное значение y.

Модифицированный метод Эйлера

график

Проводим касательную в точке (x0,y0), проводим кас-ную в получившейся точке (у нас это Р), из точки (x0,y0) проводим прямую, параллельную кас-ной и т.д.

Основ. Формула

Формула

Алгоритм:

1)ввод данных(нач.условие x0,y0, концы отрезка [a,b], количество разбиений n)

2) вычисляем шаг h=(b-a)/n

3) находим y и x в цикле по i от 1 до n по формулам:

Две формулы

4) выводим на экран в виде таблички. 1 столбец – х, 2 столбец y по нашему реш-ю, 3 столбец точное значение y.

Метод прогноза и коррекции.

Проведем кас-ную в точке (x1,y1). Из точки (x0,y0) проведем прямую, параллельную кас-ной. Формула прогноза имеет вид (исп-ся у корректируемых)

Формула (пр)

В точках (x2,y2) проводятся кас-ные и ср.направление, затем проводим прямую,параллельную ср.направлению и проходит через (x1,y1) смотрим пересечение этой прямой и х2. Получим

Формула (кор)

Алгоритм:

1)ввод данных(нач.условие x0,y0, концы отрезка [a,b], количество разбиений n)

2) вычисляем шаг h=(b-a)/n

3) ищем x1,y1 любым методом (кроме Эйлера)

4) найдем х2…..хn,y2…..yn

Открываем цикл от 1 до n-1

Две формулы

5) вывод рез-та

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Файл

шпора 38,40.docx

шпора 38,40.docx
Размер: 164.5 Кб

.

Пожаловаться на материал

Методы приближенного вычисления интегралов (метод прямоугольников, трапеций, Симпсона). Оценка точности для методов прямоугольников, трапеций, Симпсона. Численные решения диф.уравнений. Методы Эйлера. Метод прогноза и коррекции.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Физическая культура, спорт и оздоровление

Физическое воспитание в оздоровительном лагере имеет специфические особенности, обусловленные сравнительно коротким периодом пребыванием в лагере, разнообразием контингента детей по возрасту, состоянию здоровья, уровню физического развития и физической подготовленности.

Характер. Общее понятие о чертах характера

Общее понятие о характере и его проявлениях. Характером называется совокупность существенных, стержневых свойств личности, которые отличают человека как члена общества.

Банковское дело. шпоры, отредактированные

Маркетинг в антикризисном управлении

Антикризисный маркетинг – понятие, цели и функции Средства и стратегии маркетинга. Использование средств маркетинга в антикризисном управлении

Детерминированный факторный анализ

Отчет по лабораторной работе по Финансовому анализу. Кафедра «Управление бизнес-процессами и экономики». Мультипликативная модель. Модель смешанного вида. Модель кратного вида

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok