Математический анализ

Свойства определителей 3 порядка

Если какую-нибудь строку (столбец) матрицы умножить на некоторое число , то и определитель умножится на то же число. Например, .

Если одна строка (столбец) матрицы целиком состоит из нулей, то определитель такой матрицы равен нулю. Например, .

При перемене местами любых двух строк (столбцов) матрицы определитель изменяет знак. Например, .

Если к какой-либо строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель матрицы не изменится. Например, .

Если в определителе две строки (два столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю. Например, (в этом определителе пропорциональны первая и третья строки). В частности, если в определителе есть две равные строки (столбца), то определитель равен нулю.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали: .

Определитель квадратной матрицы А равен определителю матрицы, транспонированной к А.

Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю. Например, для определителя 3 порядка .

Свойствами, перечисленными выше, обладает и определитель 2 порядка.

Отметим, что свойства определителя порядка аналогичны свойствам определителя 3 порядка.

Применение свойств существенно упрощает вычисление определителя.

Примеры:

1) (определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов главной диагонали);

2) (при транспонировании квадратной матрицы величина ее определителя не изменяется).

3) (есть нулевая строка);

4) (так как первая и третья строки пропорциональны ).

Решите матричное уравнение. Решение. Обозначим ; . Тогда, откуда , т.е. квадратная матрица второго порядка. Запишем матричное уравнение кратко: .Найдем определитель матрицы : , поэтому существует обратная матрица для матрицы . Эта матрица имеет вид: .Умножим левую и правую часть равенства слева на :. Далее по ассоциативному свойству умножения матриц получим: . Учитывая, что , получим равенство . Далее учитывая, что , получим, окончательно, . Найдем матрицу :.Ответ: .

Метом Крамера

Найдите с помощью метода обратной матрицы решение системы линейных уравнений:1) 2)

Пусть дана система из линейных уравнений с неизвестными где действительные числа (коэффициенты уравнений) (),

действительные числа (свободные члены уравнений).Определение. Система (1) называется однородной, если , в противном случае система (1) называется неоднородной.

Определение. Прямоугольная таблица чисел , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы.

Определение. Прямоугольная таблица чисел , которая получается приписыванием к основной матрице справа столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы линейных уравнений.

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система уравнений называется несовместной, если она не имеет решений.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Из теоремы следует, что система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Исследуйте совместность системы уравнений:1) 2)

Решение.

1) Выпишем расширенную матрицу системы, найдем ее ранг и одновременно ранг основной матрицы системы линейных уравнений (чтобы найти ранг матрицы, воспользуемся элементарными преобразованиями строк и приведем матрицу к ступенчатому виду):Пояснения:1) Умножили первую строку первой матрицы на и прибавили ко второй строке, затем первую строку матрицы на и прибавили к третьей строке.2) Умножили вторую строку второй матрицы на и прибавили к ее третьей строке.

Ранг основной матрицы равен двум и ранг расширенной матрицы тоже равен двум, следовательно, система совместна.Ответ: система совместна.2)

Пояснения:1) Умножили первую строку первой матрицы на и прибавили ко второй строке, затем первую строку матрицы на и прибавили к третьей строке.2) Умножили вторую строку второй матрицы на и прибавили к ее третьей строке.

Ранг основной матрицы равен двум, ранг расширенной матрицы равен трем, следовательно, система несовместна.Ответ: система несовместна

Решение произвольных систем линейных уравнений (метод Гаусса)

Пусть дана система из линейных уравнений с неизвестными :

где действительные числа (коэффициенты уравнений) (),

действительные числа (свободные члены уравнений).Матрицу называют основной матрицей системы (1), а матрицу называют расширенной матрицей системы (1).

Элементарными преобразованиями над системой линейных уравнений (1) называют следующие преобразования:

перестановка уравнений; перестановка слагаемых в левой части уравнений;

умножение всех членов любого уравнения системы на любое отличное от нуля число;

почленное сложение уравнений;

исключение из системы линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом (тривиального уравнения).

Теорема. Конечное число последовательно выполненных элементарных преобразований перечисленных выше типов приводят систему (1) к равносильной системе.

Теорема. Система из линейных уравнений с неизвестными совместна в том и только том случае, когда ранг основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести систему уравнений к равносильной системе (2) ступенчатого (или треугольного) вида (прямой ход метода Гаусса). Если полученная в результате прямого хода система совместна, то далее на втором этапе (обратного хода) идет последовательное определение значений неизвестных из этой ступенчатой системы. Найденные значения неизвестных являются решением и исходной системы в силу равносильности системы (1) и (2).

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей ее коэффициентов. Расширенную матрицу системы (1) с помощью элементарных преобразований строк приводят к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса). Далее по коэффициентам полученной ступенчатой матрицы восстанавливают уравнения системы и находят решение ступенчатой системы (обратный ход метода Гаусса).

1 случай. Если в результате прямого хода число ненулевых строк в основной и расширенной матрице системы (2) будет различно, т.е. ранги этих матриц будут разные, то система (2), а значит, и равносильная ей система (1), будут несовместны.

2 случай. Пусть число ненулевых строк в основной и расширенной матрице системы (2) одинаково и равно . В этом случае система (2) совместна, а значит, совместна и система (1). В зависимости от соотношения между числами и система (2) будет иметь различное число решений.

1) . В этом случае система (2) будет иметь вид: где .

Эта система является крамеровской (она квадратная и ее определитель отличен от нуля), поэтому такая система имеет единственное решение (система (2) определенная). Из последнего уравнения системы (2) находим , потом из предпоследнего уравнения после подстановки в него найденного значения находим . Аналогичные операции производят до тех пор, пока из первого уравнения не будет найдено . Так система (2) равносильна системе (1), то найденные значения неизвестных и есть решение системы (1).

2) (ранг меньше числа неизвестных). Пусть система (1) приведена с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (2):где .

В системе (2) ступенчатого вида перенесем члены с неизвестными в правые части уравнений, тогда получим следующую систему (система (3) равносильна системе (2))где . Относительно неизвестных система (3) является Крамеровской (число ее уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы отличен от нуля). Поэтому из системы (3) можно единственным образом выразить неизвестные через неизвестные , осуществив обратный ход метода Гаусса. В уравнениях системы (3) неизвестным можно придавать произвольные значения, поэтому их называют свободными, а неизвестные называют базисными. Используя для свободных неизвестных обозначения , , …, мы можем записать значения через . Тем самым, получим общее решение системы (3), а значит, и равносильной ей системы (1). Таким образом, если ранг совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система имеет бесчисленное множество решений.

Замечание. Если система совместна и ранг этой системы меньше числа переменных , то любые ее переменных называют основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (или говорят базисный минор) отличен от нуля. Остальные переменных называют неосновными (или свободными).

Определение. Решение системы (1), в котором все свободных переменных равны нулю, называется базисным.

Пример. Решить систему методом Гаусса:

Решение. Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк приводим её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы не может быть больше двух. Порядок минора (составлен из коэффициентов перед переменными и ) определяет ранг основной и расширенной матрицы (этот минор можно взять как базисный).

Ранг основной и расширенной матрицы равны (), система совместна. Число неизвестных в системе . Так как , то система имеет бесконечно много решений. Восстанавливаем по матрице коэффициентов систему уравнений:

Переменные берем за основные (базисные) и оставляем в левой части уравнений, остальные переменные объявляем свободными и переносим в правую часть: Придавая , , получим

Откуда находим .

Ответ: , где любые действительные числа.

Замечание. Так как система совместна и ранг равен 2, то любые две переменные, для которых определитель из коэффициентов при этих переменных отличен от нуля, могут быть основными (базисными) переменными.

В данном примере только переменные не могут быть основными, так как .

Пример. Совместна ли система ?Решение. . Ранг основной матрицы равен 2, а ранг расширенной матрицы равен 3, ранги не равны. Система не совместна.Ответ: система не совместна.

Пример. Решить систему методом Гаусса:

Решение.

Ранг основной матрицы и расширенной матрицы равен 2. Так как ранги этих матриц равны, то система (2) совместна, а значит, совместна и система (1). Минор второго порядка основной матрицы (отличен от нуля), порядок этого минора определяет ранг основной и расширенной матрицы, поэтому этот минор является базисным. Элементы этого минора коэффициенты перед переменными и , поэтому эти переменные являются базисными, остальные будут свободными: и . Восстановим по матрице (2) систему уравнений , перенесем свободные переменные и в правую часть уравнений:

Придавая свободным переменным , , получим, что , откуда , , .

Ответ: , где любые действительные числа.

Замечание. Базисными переменными можно было взять и другую пару переменных системы, за исключением пары и , так минор, составленный из коэффициентов перед этими переменными, равен нулю. Например, базисными переменными можно взять пару и , или и , или и , или и .

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная

Определение. Функция , называется первообразной для , если для всех .

Неопределенный интеграл

,

где для всех , С – произвольная постоянная(неопределенный интеграл от функции – это множество (или говорят, совокупность) всех первообразных функций для функции на данном промежутке).

Свойства неопределенного интеграла

1. .2. .3. .

4. (постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла).

5. или .

6. Если , то , где дифференцируемая функция аргумента .

Следствие. Если , .

Таблица неопределенных интегралов

1. ; 2. ; 3. , если ;

4. ; 5.;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. ;

12. ; 13. , ()

14. ; ()

15. ; 16. ;

17. ; () 18. +С;

19. ; ()

20. ;

21. ; 22. .

Применение формулы: Если ,

1.

2., если ;

3. ; 4.;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

Методы интегрирования

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Пример 1. Найдите .Решение. Применим метод замены переменной интегрирования.

.

Пример 2. Найдите .

Решение. .

Пример 3. Найдите .

Решение.

Метод интегрирования по частям

или формулу записывают в виде

( и дифференцируемые функции на интервале).

Метод интегрирования по частям применяют для интегрирования некоторых произведений функций. Подынтегральную функцию разбивают на два множителя такие, чтобы у функции производная была «проще», а функция выбирается из тех соображений, чтобы для нее легко было записать первообразную.Метод может применяться неоднократно.

Пример 4. .

Пример 5.

.

Справочные материалы по теме «Определенный интеграл»

Формула Ньютона-Лейбница , где какая –то одна первообразная для подынтегральной непрерывной функции на отрезке .

Пример. Вычислите

Решение.

Метод интегрирования по частям

Среднее значение функции на отрезке : .

Свойства определенного интеграла

1) При любом расположении точек , если функция интегрируема на любом отрезке с концами в этих точках, то справедливо равенство

2) Если функция интегрируема на отрезке и для всех , то .

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций , , , причем для всех

Объем тела вращения, полученного при вращении плоской фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций и на отрезке , при условии, что для всех , вокруг оси OX, определяется с помощью формулы .

Объем тела вращения, полученного при вращении плоской фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций и на отрезке , при условии, что для всех , если , вокруг оси OY, определяется с помощью формулы .

Длина дуги гладкой плоской кривой , заданной уравнением

,определяется с помощью формулы .

Пример 1. Если функция непрерывна на отрезке , то можно представить в виде…Варианты ответа:1) ; 2) ;3) ; 4) .

Укажите не менее двух вариантов ответа.

Решение. Как бы ни были расположены точки на прямой и при условии, что на каждом отрезке с концами в этих точках функция интегрируема, то . Тогда имеем: 3) ;4) .

Ответ: 3) ; 4) .

Пример 2. Среднее значение функции на отрезке равно…

Решение. Среднее значение функции на отрезке находят по формуле .

.

Среднее значение функции на отрезке равно .

Ответ: .

CПРАВОЧНИК

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Полярная система координат на плоскости

2865120350520

O

p

00

O

p

4346575117983000Полярная система координат состоит из одной оси, которая имеет только положительное направление. полюс, полупрямая полярная ось.

Произвольной точке плоскости, отличной от , ставят в соответствие два числа в следующем порядке: полярный радиус , равный расстоянию от до полюса , измеренному выбранной единицей масштаба (длина вектора ) ();

полярный угол , равный углу между полярной осью и . Полярный угол измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений ведется от против движения (по движению) часовой стрелки. Полагают, что (или .Полюсу соответствует полярный радиус , полярный угол для него не определен.

Запись означает: точка с полярными координатами и .

42792652159000Если совместить полюс и начало декартовой прямоугольной системы координат, и полярную ось направить в ту же сторону, что и ось , то получим следующую связь между координатами точки в декартовой прямоугольной системе координат и координатами в полярной системе координат:переход из ПСК в ДСК: ;переход из ПСК в ДСК: , , , т. е.при решении последнего уравнения относительно учитывают, в каком квадранте лежит точка . Если точка лежит на осях, то из геометрических соображений определяют полярный угол .Пример. Дана точка в полярной системе. Найдите декартовые координаты этой точки.Решение: ; подставляем в формулы полярные координаты : получим декартовые координаты . В декартовой системе .

Пример. Дана точка в декартовой системе координат. Найдите полярные координаты точки. Решение. находится в 4 четверти, поэтому , , , откуда , поэтому в полярной системе координат .Пример. Дана точка в полярной системе координат. Найдите декартовые координаты точки.Решение. Так как декартовые координаты , то получаем:. Ответ: .

Векторная алгебра

Проекция вектора на ось: ,

где - угол между и осью .

Свойства проекции: .

Вектор, заданный своими координатами, обозначается:

на плоскости , в пространстве , где .

Если известны проекции вектора на координатные оси координаты вектора , то разложение вектора по единичным векторам координатных осей имеет вид (верно и обратное утверждение).

Действия над векторами, заданными своими координатами

Если , , то

;

;

.

Длина вектора: .

Координаты вектора, если известны координаты

его начала и конца :

,

длина вектора: .

Координаты точки , принадлежащей отрезку , и делящей его в отношении ():

.

Если точка середина отрезка , то

.

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение скалярного произведения

, где - угол между векторами и

(если или , то ).

Свойства: 1) 2) (число);

3) .

Выражение скалярного произведения векторов через координаты векторов:

если , , то .

Выражение скалярного произведения через проекции:

или .

Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле:

,

или через координаты векторов:

Правые и левые тройки векторов. Тройку некомпланарных ненулевых векторов , взятых в указанном порядке, называют правой тройкой, если после приведения их к одному началу при взгляде из конца третьего вектора на плоскость первых двух векторов кратчайший поворот от первого вектора ко второму кажется совершающимся против часовой стрелки. Если – по часовой стрелке, то тройку называют левой.

Векторное произведение векторов и его свойства

Определение векторного произведения

Векторным произведением двух ненулевых неколлинеарных векторов и называется такой вектор , который обозначается , и обладает следующими свойствами:

1) где - угол между векторами и ;

2)

3) векторы в указанном порядке образуют правую тройку.

Если один из векторов или нулевой, или векторы и коллинеарны, то .

Свойства: 1) 2) (число);

3) .

Если векторы и заданы своими координатами, т.е. , , то векторное произведение находится по формуле , или в координатной форме .

Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, если эти векторы приведены к одному началу: .

Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов называют скалярное произведение векторов и . Обозначают смешанное произведение . Итак, .

Если известны координаты векторов , , , то смешанное произведение находится по формуле

.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах, если эти векторы приведены к одному началу, находится по формуле: .

Объем пирамиды, построенной на векторах как на сторонах, если эти векторы приведены к одному началу, находится по формуле:

.

Если , то тройка векторов - правая, если же , то тройка - левая.

Условие коллинеарности двух векторов

В векторной форме: .

В координатной форме: если , , то

.

Условие перпендикулярности двух векторов

В векторной форме: .

В координатной форме: если , , то

.

Условие компланарности трех векторов

В векторной форме: ненулевые векторы компланарны в том и только том случае, если .

В координатной форме: если , , , то ненулевые векторы компланарны в том и только том случае, если .

Прямая на плоскости

Виды уравнений прямой на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и

Если у точек и координаты и , то уравнение имеет вид: .

Если у точек и равны ординаты , то уравнение прямой имеет вид: или .

Если у точек и равны абсциссы , то уравнение прямой имеет вид: или .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору : .

В этом случае вектор называют направляющим вектором прямой. Любой ненулевой вектор, коллинеарный направляющему вектору, тоже является направляющим.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору : В этом случае вектор называют нормальным вектором прямой. Любой ненулевой вектор, коллинеарный нормальному вектору, также является нормальным вектором прямой.

Общее уравнение прямой на плоскости: .

Числа и в этом уравнении показывают координаты нормального вектора прямой.

Если нормальный вектор прямой, то - направляющий вектор прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и пересекающей ось в точке : .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку :.

Уравнение прямой в "отрезках": , где абсцисса точки пересечения прямой с осью ,

ордината точки пересечения прямой с осью

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору :

Расстояние от точки до прямой :

.

Расстояние между двумя параллельными прямыми и :

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями , :

; .

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями , :

; .

Острый угол между прямыми и :

Взаимное расположение двух прямых и :пересекаются ;параллельны (но не совпадают) ;совпадают

Плоскость в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

:

.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору :

.

Вектор называют нормальным вектором плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках: ,

где числа показывают какие отрезки и в каком направлении от начала координат отсекает плоскость соответственно на осях .

Общее уравнение плоскости: ,

где числа показывают координаты нормального вектора плоскости, т.е. .

Нормальное уравнение плоскости, где направляющие косинусы перпендикуляра, проведенного из начала координат к данной плоскости, его длина. Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду, следует умножить все члены его на множитель , где знак перед корнем противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.

Уравнения координатных плоскостей:

плоскость имеет уравнение , плоскость имеет уравнение , плоскость имеет уравнение .

Расстояние от точки до плоскости :

.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями и :

Условия параллельности и перпендикулярности двухплоскостей, заданных уравнениями

, :

; .

Угол между плоскостями

, :

.

Взаимное расположение двух плоскостей и :пересекаются не верно, что ;параллельны (но не совпадают) ;совпадают

Расположение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости

Расположение плоскости в пространстве

плоскость не проходит через начало координат и пересекает все координатные оси

, где одновременно

плоскость проходит через начало координат (отсутствует свободный член в уравнении)

,

где

плоскость параллельна оси (не присутствует явно в уравнении)

,

где

плоскость содержит ось (не присутствует явно в уравнении и отсутствует свободный член)

,

где

плоскость параллельна оси (не присутствует явно в уравнении)

,

где

плоскость содержит ось (не присутствует явно в уравнении и отсутствует свободный член)

,

где

плоскость параллельна оси (не присутствует явно в уравнении)

,

где

плоскость содержит ось (не присутствует явно в уравнении и отсутствует свободный член)

,

где

плоскость параллельна плоскости (не присутствует явно и в уравнении)

,

где

плоскость параллельна плоскости (не присутствует явно и в уравнении)

,

где

плоскость параллельна плоскости (не присутствует явно и в уравнении)

Прямая в пространстве

Общие уравнения прямой в пространстве

При пересечении двух непараллельных плоскостей и в пространстве образуется прямая

Эти уравнения называют общими уравнениями прямой в пространстве. Прямая в пространстве задается двумя уравнениями.

Направляющий вектор этой прямой находится по формуле: , где , нормальные векторы непараллельных плоскостей, при пересечении которых образуется прямая.

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и : .

Эти уравнения называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору :

( - направляющий вектор прямой).

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору :

Условия параллельности и перпендикулярности двухпрямых, заданных уравнениями,

и ,

и угол между этими прямыми:

; ;

.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Условие параллельности ;Условие перпендикулярности

Условие принадлежности прямой плоскости :

Угол между плоскостью и прямой :.

Кривые второго порядка

Эллипс

Определение

2a>2c

Уравнение

Параметры

Связь между

параметрами

Фокусы

на оси

на оси

Вершины

,

,

Большая ось

Малая ось

Фокусное

расстояние

Эксцентриситет

(

(

Рисунок

Уравнение эллипса с центром в точке и полуосями :

Гипербола

Определение

2a<2c

2a<2c

Уравнение

Параметры

Связь междупараметрами

Фокусы

на оси OX

на оси

Вершины

Действительная

Ось

Мнимая ось

Фокусное

расстояние

Уравнения асимптот

Эксцентриситет

(

(

Рисунок

Уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями : или

ПАРАБОЛА

Уравнение

Параметр

Фокус

Директриса

Рисунок

Окружность

Уравнение

Радиус окружности

Центр окружности

Положение

окружности

Интегрирование функций

1.

, где правильная рациональная дробь,

(где квадратный трехчлен на множители не разлагается)

Подынтегральную дробь представляют в виде суммы простейших дробей

Замечание. Каждому сомножителю вида разложения на множители знаменателя соответствует в разложении дроби сумма дробей,

и каждому сомножителю вида соответствует сумма простейших дробей

2.

Применяют рекуррентную формулу:

3.

Если , то подстановка ;

Если , то подстановка ;

Если , то подстановка ;

В частности, если , то подстановка .

В остальных случаях применяется универсальная подстановка , при этом заменяют ; .

4.

, ;

Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул:;;.

5.

, где целые числа,

Если нечетное положительное, то подстановка (так как выполняется свойство 1) пункта 3.)

Если нечетное положительное, то подстановка (так как выполняется свойство 2) пункта 3.)

Если четные неотрицательные, то применяют формулы понижения степени:,

Если четное отрицательное, то применяют то подстановка (так как выполняется свойство 3) пункта 3.)

6.

, где рациональные числа,

Подстановка приводит к интегралу от биномиального дифференциала (см. п.5)

7.

, где рациональные числа (интеграл от биномиального дифференциала)

Если целое положительное, то нужно раскрыть скобки и вычислить интегралы

целое отрицательное, то применяется подстановка , где наименьшее общее кратное знаменателей дробей , эта подстановка приводит к интегралу от рациональной функции

2) целое, то применяют подстановку , где знаменатель дроби .

3) целое, то применяют подстановку , где знаменатель дроби .

8.

Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой , где

9.

Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой

, где

10.

Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой

Таблица формул дифференцирования

Функция

,

независимый аргумент

Формулы дифференцирования простейших элементарных функций

(по независимому аргументу )

Формулы дифференцирования сложных функций

, где функция аргумента

(по независимому аргументу )

Постоянная функция

Степенная функция

Линейная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Правила нахождения производных суммы, разности,

произведения и частного функций, имеющих производные

( постоянная)

Примеры

.

.

.

.

Найдите производную функции и вычислите значение ее производной в точке .Решение. Имеем . . Ответ: .

Производная степенно-показательной функции :.

Можно пользоваться следующей формулой для нахождения производной степенно-показательной функции:

.

Производная параметрически заданной функции: :.

Например, ; .

Векторная алгебра

Даны векторы и Линейной комбинацией является вектор…Решение. , . Тогда , или .

Ответ: .

Даны векторы и . Тогда их векторное произведение есть вектор…Решение. .

Ответ: .

Скалярное произведение векторов и равно…

Решение. , . Скалярное произведение через координаты данных векторов находят по формуле . Тогда имеем .

Ответ: 3.

Даны векторы , и точки и .Найдите вектор и его длину.

Решение. 1) , или или ; 2) Находим векторное произведение векторов и : 3) Находим длину вектора : .

Ответ: ; .

Найдите площадь треугольника, построенного на векторах и , если векторы приведены к одному началу.

Решение. 1)

2) ;3)

Ответ:

Смешанное произведение векторов , , равно …Решение. Смешанное произведение векторов находят по формуле . Найдем .

Ответ: 3.

Правыми тройками векторов являются тройки…Варианты ответа:1) ; ; ;2) ; ; ;3) ; ; ;4) ; ; Укажите не менее двух вариантов ответа.

Решение. Тройка векторов правая в том и только том случае, если смешанное произведение этих векторов положительно, т.е. .

Векторы и перпендикулярны при равном…

Решение. В координатной форме , . .В координатной форме скалярное произведение . Получаем , откуда .

Ответ: .

Векторы и коллинеарны при и равных соответственно…

Решение. . Тогда имеем . Откуда .

Ответ: .

Даны точки и . Длина вектора равна…Решение. , . Длина вектора находится по формуле . .

Ответ: .

Векторы , , компланарны при равном…

Решение. Три вектора компланарны в том и только том случае, если их смешанное произведение равно нулю. Находим смешанное произведение (определитель вычислен путем разложения по элементам первого столбца). Потребуем, чтобы..

Ответ:

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Решение произвольных систем линейных уравнений (метод Гаусса). Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения определенного интеграла. Прямая в пространстве. Векторная алгебра

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Билеты ФИЗИКА. Все

Доврачебная первая помощь. Конспект

Важнейшей задачей первой помощи является организация быстрой, безопасной, щадящей транспортировки (доставки) больного или пострадавшего в лечебное учреждение.

Прес-реліз Комерційні компанії надають перевагу молоді

Сочинения по литературе 10 класс, второе полугодие.

Объект субъект хулиганства

Объект хулиганства. Объективная сторона хулиганства. Общие признаки объективной стороны хулиганства. Квалифицирующие признаки объективной стороны хулиганства. Субъект хулиганства. Субъективная сторона хулиганства. Общие признаки субъективной стороны хулиганства. Квалифицирующие признаки субъективной стороны хулиганства.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok