Функції багатьох змінних

С. А. Щоголев

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ.

Конспект лекцій по курсу вищої математики

для студентів 1 курсу ГГФ (спец. географія)

Одеса, 2005

Передмова.

Даний конспект лекцій являється складовою частиною серії конспектів по курсу вищої математики для студентів 1-го курсу спеціальності “географія”. Раніше були видані та підготовлені до видання конспекти з розділів “Аналітична геометрія на площині”, “Визначений інтеграл та його застосування”, “Ряди” та “Диференціальні рівняння”. Планується також видання конспектів з розділів “Вступ до аналізу”, “Диференціальне числення функцій однієї змінної” та “Векторна алгебра і аналітична геометрія у просторі”.

Основна мета цього конспекту – допомогти студентам оволодіти основними поняттями теми “Функції багатьох змінних” Враховуючи спеціальность студентів – географія– у посібнику демонструється зв’язок між математичними та географічними поняттями, як то лінії рівня та горизонталі підвищенності на земній поверхні. Міститься не зовсім  традиційний для посібників з цієї теми параграф, присвячений диференціальним рівнянням у частинних похідних та їх застосуванню до задачі про розповсюдження температурних хвиль у грунті. Викладання матеріалу проведено з відповідною математичною суворістю.

При написанні даного конспекта лекцій автором суттєво використано посібник: Григорьев Ю.А., Щёголев С.А. «Функции многих переменных. Методические указания по изучению курса», ОИИМФ, 1992. 

Автор сподівається, що даний конспект досягне своєї мети і у сукупності з іншими конспектами та підручниками допоможе студентам оволодіти курсом вищої математики.

  1.  Поняття функції багатьох змінних.

У попередніх розділах курсу вищої математики ми познайомилися з поняттям функції однієї незалежної змінної  (рис.1). Змінна

 залежить тільки від одної

 незалежної змінної .

 Разом з цим у багатьох

 задачах геометрії, приро-

 дознавства, економіки до-

 водиться мати справу з

 величинами, чисельні

 значення яких залежать

 від значень декількох,

 незалежних одна від

Рис. 1  одної величин, що змі-

нюються. Вивчення таких величин приводить до поняття функції багатьох змінних.

Приклади.

  1.  Об’єм паралелепіпеда залежить від трьох величин: довжини , ширини  та висоти :

              .

  1.  У відповідності з законом Кулона величина сили взаємодії двох зарядів залежить від величин цих зарядів  і відстані  між ними:

              ,  де   – коефіцієнт пропорційності.

  1.  Величина створеного суспільного продукта  залежить від сукупних витрат живого  (у матеріальному виробництві) і сумарного об’єма виробничих фондів :

              ,   де    – сталі.

Означення. Якщо кожному набору змінних  з деякої

множини  за певним законом поставлено у відповідність одне і тільки одне значення , то кажуть, що на множині задана функція  змінних .

Змінні   називаються незалежними змінними або аргументами, а змінна  залежною змінною, або функцією.

Множина   називається областю визначення функції і позначається . Множину значень  позначають .

Ми, як правило, будемо мати справу з функціями двох. або трьох змінних:  .

Приклад. Знайти область визначення функції .

Область визначення цієї функції – множина точок, координати яких задовольняють нерівності , тобто  . А такою множиною є круг радіуса 2 з центром у початку координат (рис.2).

 y

Геометричним зображенням

 2

(графіком) функції двох змінних

є поверхня  у тривимірному

                      x  просторі, координати кожної

 2 точки якої пов’язані співвідно-

 шенням  . Іншими

 словами кожній точці ,

 яка належить області визначен-

 Рис.2 ня  функції  на

 площині  відповідає одна

і тільки одна точка  на поверхні  (рис.3).

 

 N

 

 

 G

 Рис. 4

 Рис. 3  

Наприклад, «графіком» функції  буде параболоїд обертання (рис. 4).

Введемо тепер таке важливе поняття, як лінії рівня функції двох змінних.

Означення. Лінією рівня функції  називається множина всіх точок площини , для яких функція зберігає одне й те ж значення, тобто множина точок, яка описується рівнянням , де   – стала величина.

Приклад. Лінії рівня функції  уявляють собою концентричні кола з центром у точці  (рис. 5).

 

                            

                                           Рис.5             

З лініями рівня функції ви зустрічались у картографії. Це не що інше, як горизонталі підвищенності на земній поверхні, тобто це лінії. які пов’язують точки з однаковою висотою над рівнем моря. Такими ж лініями рівня являються ізотерми (лінії однакової температури), ізобари (лінії однакового тиску) та ін.

  1.  Границя і неперервність функції багатьох змінних.

Вивчаючи тему “Вступ до аналізу”, ми оволоділи поняттям границі функції, розглядали відповідні приклади. Аналогічним чином поняття границі вводиться і для ФБЗ.

Означення. -околом точки  називається множина всіх точок площини, координати яких задовольняють нерівності .

Тобто це не що інше, як відкритий круг радіуса  з центром у точці  (рис. 6).

 

 

 Рис. 6

Означення. Число називається границею функції при  (пишемо ), якщо для будь якого додатного  числа  існує таке додатне число , що для всіх точок , відмінних від точки  і задовольняючих умові , виконана нерівність .

Тобто ця нерівність виконується для всіх точок  з -околу точки .

Простіше кажучи, це означення означає, що при наближенні точки  до точки  значення  функції наближається до числа .

Приклад. Доведемо, що  Задамо довільне  і розглянемо:

.

Звідси видно. що для того, щоб для будь яких  таких, що , було виконано , достатньо, щоб , тобто . У якості  можна, наприклад, взяти число . Таким чином для довільного  ми знайшли число  таке, що при виконанні нерівності  виконано . А це й означає, що .

Означення. Функція  називається нескінченно малою при , якщо .

Наприклад функція  є нескінченно малою при .

Всі наведені означення легко узагальнюються на функції 3–х і більшого числа змінних.

Означення.  Функція , яка визначена у деякому околі точки , називається неперервною у цій точки, якщо існує , і виконана рівність .

Іншими словами функція  називається неперервною у точці , якщо  виконано  .

Позначимо: . Тоді означення неперервності можна переформулювати так:

Означення. Функція , яка визначена у деякому околі точки , називається неперервною у цій точці, якщо , або , де

                                                                                                                                    

– повний приріст функції  у точці .

Тобто нескінченно малим приростам аргументів відповідає нескінченно малий приріст функції.

Легко показати, що сума, різниця і добуток двох неперервних функцій є функція також неперервна. Частка двох неперервних функцій є функція неперервна у тих точках, де знаменник відмінний від нуля. Наприклад функція  неперервна всюди, крім точок прямої .

Означення. Функція  називається неперервною в області , якщо ця функція неперервна у кожній точці області .

Приклад. Функція  визначена і неперервна у трикутнику  (рис.7).

y

1

 x

1

Рис. 7.

  1.  Частинні похідні функцій багатьох змінних.

Нехай задано функцію  визначену у деякій області . Розглянемо деяку внутрішню точку  цієї області. Надамо змінній  приріст  і розглянемо іншу точку , яку теж вважаємо внутрішньою точкою області  (рис. 8). Розглянемо різницю значень функції  у точках  і , тобто величину . Ця величина називається частинним приростом функції за змінною .

Означення. Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається частинною похідною першого порядку функції  по змінній і позначається  .

           

                                Рис. 8

Тепер надамо змінній  приріст , залишаючи  сталою, і розглянемо точку , яку теж вважаємо внутрішньою точкою області . Аналогічно вводимо частинний приріст функції  за змінною :

.

Означення. Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається частинною похідною першого порядку функції  по змінній  і позначається  .

Аналогічним чином визначаються частинні похідні від функцій 3-х і більшого числа змінних.

З наведених означень випливає, що якщо частинна похідна береться по одній із змінних, то вся решта змінних вважаються сталими. Отже знаходження частинних похідних здійснюється за тими ж самими правилами, що й звичайні похідні функції однієї змінної.

Приклади. Знайти частинні похідні.

1. .

Вважаючи  сталою, отримаємо:

.

Вважаючи  сталою, отримаємо:

.

2. .

.

3. .

,

.

4. .

.

Відносно  ця функція є показниковою (оскільки у даному випадку основа степеня ), а відносно  – степеневою ().

5.  .

.

6. Обчислити визначник

 ,                                                                                                           де    (формули відповідності між декартовими та сферичними координатами).

Маємо:

,

,

.

Отже:

З’ясуємо геометричний зміст частинних похідних функції . Нехай геометричним зображенням цієї функції є деяка поверхня  (рис. 9),  – точка на цій поверхні.

        Поклавши , отримаємо плоску криву , яка уявляє собою переріз поверхні  відповідною площиною, паралельною площині . Нехай – дотична до кривої  у точці , і  – кут, утворений цією площиною з додатним напрямом осі . Оскільки

,                                                                                               то на підставі геометричного змісту звичайної похідної функції однієї змінної, маємо

.

Аналогічно, якщо  – переріз поверхні  площиною , і  –кут, утворений з віссю  дотичною  у точці  до кривої , то    .

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9

  1.  Диференційовність функції багатьох змінних.

Розглянемо повний приріст функції   у точці  :

.

Якщо  неперервна у точці , то .

Означення. Функція  називається диференційовною у

точці , якщо її повний приріст у цій точці може бути зображений у вигляді:

,                                                            де  – нескінченно малі при  (або при ) функції, які залежать від .

Вираз  називається головною або лінійною частиною прироста функції.

Приклад. Розглянемо функцію .

Її повний приріст має вид:

.

Вираз  – головна частина приросту. Доданок  запишемо у вигляді , де . Очевидно, що  – нескінченно малі при , отже функція  диференційовна у будь якій точці.

Теорема. Якщо функція  диференційовна у точці , то вона неперервна у цій точці.

Доведення. Оскільки функція  диференційовна у точці , то її повний приріст у цій точці має вид:

.

Звідси випливає, що . А це й означає неперервність функції  у точці .

Теорема. Якщо функція  диференційовна у точці , то вона має у цій точці частинні похідні .

Доведення. Оскільки функція  диференційовна у точці , то . Покладемо у цій рівності . Тоді повний приріст  функції перетвориться на частинний за змінною , і ми отримаємо:

.

Аналогічно, покладаючи , матимемо:

.

Звідси випливає:

,

,                                                       оскільки . Отже у точці  існують частинні похідні , що й треба було довести. Зауважимо, що ми не тільки довели існування частинних похідних, а й отримали для них явні вирази. Це не що інше, як коефіцієнти при  у головній частині приросту функції. Наприклад для розглянутої вище функції  ці коефіцієнти відповідно  і .

Зауваження. Обернені твердження для двох доведених вище теорем, взагалі кажучи, несправедливі. Зокрема з неперервності функції у точці не випливає її диференційовність у цій точці. Наприклад, функція  неперервна у точці , але не диференційовна в ній. Дійсно, границя  не існує, тому не існує і похідна . Аналогічно показуємо, що не існує і . А тоді на підставі попередньої теореми отримуємо, що дана функція не є диференційовною у точці .

З існування частинних похідних функції у точці також не випливає диференційовність функції ( на відміну від функцій однієї змінної). Відомі приклади функцій, які є неперервними у деяких точках, мають у цих точках частинні похідні, але не являються в цих точках диференційовними. Зокрема такою являється функція

Теорема. Якщо у деякому околі точки  існують частинні похідні  функції  і ці похідні неперервні у точці , то функція  диференційовна у цій точці.

Доведення. Розглянемо повний приріст функції:

.

Віднімемо і додамо доданок , внаслідок чого матимемо:

.

Перші квадратні дужки містять приріст функції  по змінній  при фіксованому значенні  другої змінної. За формулою Лагранжа матимемо:

,                                     де  знаходиться між  та .

Аналогічно:

,                                                            де  знаходиться між   та .

Спрямуємо  та  до нуля. Внаслідок неперервності  матимемо:

.

Отже:

,                               де   – нескінченно малі при . А тоді

,                                          тобто функція  диференційовна у точці , що й треба було довести.

  1.  Диференціал функції.

Як ми вже казали, якщо функція  диференційовна у точці , то її повний приріст у цій точці має вид:

,                                           

де  – нескінченно малі при .

Означення. Головна лінійна відносно  частина приросту диференційовної у точці функції називається її повним диференціалом у цій точці і позначається  або .

Тобто за означенням:

.

Покладемо тут . Тоді  , і . Аналогічно . Тобто диференціали незалежних змінних дорівнюють їх приростам. Таким чином отримуємо:

.

Така форма запису диференціалу найбільш поширена.

Наведене означення легко поширюється на функції трьох і більшого числа змінних. Якщо маємо функцію  від  незалежних змінних , то її повним диференціалом називається вираз:

.

Приклади.

Знайти повний диференціал функції

.

Маємо:

,

.

Таким чином:

.

Знайти повний диференціал функції .

Маємо:

,

,

.

3.  .

Така функція зустрічається в теорії потенціала. Маємо:

.

Таким чином:

.

Застосування диференціала до наближених обчислень.

Як ми вже відмічали, приріст диференційовної у точці  функції  має вид:

,                                       

де  – нескінченно малі при .

Якщо відкинути два останні доданки, то отримаємо наближену рівність:

.

Або

.

Припустимо тепер, що нам треба наближено обчислити значення функції  у точці , тобто . Якщо вдається знайти іншу точку , яка досить близька до точки , і у якій значення  функції  та її частинних похідних відомі, то покладемо:

.

Тоді маємо наближену формулу:

.      (*)

Приклад.  1. Обчислити наближено:    

Шукане число будемо розглядати як значення функції  у точці .  Покладемо: . Тоді . Знайдемо:

,

.

Підставляючи знайдені значення у формулу (*), отримаємо:

.

Точне до трьох десяткових знаків значення: 5,082.

Циліндрична судина має внутрішні розміри: радіус основи ,

висоту   м і товщину стінок  дм. Знайти наближено об’єм матеріалу, витраченого на виготовлення судини.

Розглянемо функцію . Об’єм матеріалу виражається величиною:

,

де

                                                                                                        .

Відповідно формулі (*) маємо:

,

.

Тоді:

 

 

 

                                              

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Файл

ФБЗ 1.doc

ФБЗ 1.doc
Размер: 1.4 Мб

.

Пожаловаться на материал

Конспект лекцій по курсу вищої математики. Функції багатьох змінних. Даний конспект лекцій являється складовою частиною серії конспектів по курсу вищої математики спеціальності “географія”.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Лабораторная работа по химии На тему: «Высокомолекулярные соединения»

Высокомолекулярные соединения: полиэтилен, полистирол, полипропилен, поливинилхлорид, капрон, шерсть, хлопок, атлас, лавсан

Философия

Содержание предмета философии. Философское исследование природы. Человек в древнегреческой философии. Особенности научного знания и познания. Развитие науки и смена типов научной рациональности. Смысл человеческого бытия.

Знакомство с работой приемного отделения. Санитарная обработка пациентов. Обработка на педикулез

Дневник. Содержание практики

Договор купли-продажи пая. Образец

Стороны определили стоимость продаваемого по настоящему договору Пая..

Философское мировоззрение Николая Александровича Бердяева

Сам мыслитель характеризовал его как «философию субъекта, философию духа, философию свободы, философию дуалистически-плюралистическую, философию творчески-динамическую, философию персоналистическую и философию эсхатологическую».

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok