Визначений інтеграл та його застосування

8. Визначений інтеграл та його застосування.

8.1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

У багатьох сферах людської діяльності з давнини виникала необхідність обчислювати метричні характеристики різних геометричних фігур, як то довжини дуг ліній, площі фігур, об’єми тіл тощо. Такі задачі легко розв’язувалися для простих геометричних фігур, таких як квадрати, трикутники, паралелограми, трапеції. Площу многокутника можна було обчислити розбиттям його на трикутники і знаходженням суми площ цих трикутників. Всі ці фігури утворювались за допомогою відрізків прямих ліній. Але задача набагато ускладнюється, якщо мова йдеться про обчислення площ криволінійних фігур, наприклад площі круга. Давні єгиптяни наближено обчислювали цю площу за допомогою формули:

, де – діаметр круга, а –його радіус (порівняйте з тепер відомою точною формулою ; ). Греки зводили обчислення площі круга до побудови квадрата, який має ту саму площу. Але за допомогою циркуля та лінійки ця задача ніяк не розв’язувалася. І лише наприкінці XIX століття (у 1882 році) німецьким математиком Карлом Ліндеманом було доведено, що ця задача не має розв’язку.

Рис. 8.1

Значний внесок у розв’язання проблеми про площу круга зробив видатний грецький математик IV ст. до н.е. Євдокс Книдський. Він вписував в круг правильний многокутник, а потім доводив, що за рахунок збільшення кількості сторін многокутника (відповідно зменшенням їх довжин) можна добитися того, щоб його площа як завгодно мало відрізнялась від шуканої площі круга (рис. 8.1). Цей метод отримав назву метода вичерпання. В цьому доведенні нібито вичерпується простір між многокутником та колом, яке обмежує круг. По суті справи Євдокс підійшов до поняття границі – основи всієї вищої математики.

Дуже важливий крок далі зробив славнозвісний Архімед (287–212 рр. до н.е.). Він знайшов загальні методи відшукання площ криволінійних фігур і застосував їх до обчислення кругових, параболічних та багатьох інших фігур. Основа всіх цих методів полягала все у тому ж – а саме шукана площа криволінійної фігури знаходилась як границя площ вписаних в неї прямолінійних фігур.

Потім з’ясувалось, що аналогічний підхід можна застосувати не тільки для розв’язання геометричних задач, а й задач з області механіки, фізики тощо. Свій подальший розвиток ця теорія отримала у працях Й.Кеплера (1598–1647), П.Ферма (1601–1665), Дж.Валліса (1616–1703), Б.Паскаля (1623–1662) та деяких інших вчених. Цікаво, що Кеплер зіткнувся з цими проблемами, коли йому треба було обчислювати об’єми бочок для вина. Не треба тем не менш звідси робити висновок, що алкоголь сприяє розвитку науки.

Спільним для всіх цих робіт було те, що шукана величина наближено замінювалась сумою великого числа малих величин, кожна з яких обчислювалась легко. Це було поступове створення інтегрального зчислення, яке набуло свого основного завершення у працях І.Ньютона (1643–1727) і Г.Лейбніца (1646–1716).

Перейдемо тепер до точних математичних формуліровок.

Задача про площу криволінійної трапеції.

Нехай на відрізку задано функцію . Фігура, яка обмежена графіком даної функції і відрізками прямих називається криволінійною трапецією (рис. 8.2).

Рис. 8.2.

Треба обчислити площу цієї трапеції. Зауважимо, що у загальному випадку ця трапеція – саме криволінійна фігура, і лише у частинних випадках, коли функція стала, або лінійна (тобто її графіком є пряма лінія) ця фігура прямолінійна, і ми можемо використати відомі з елементарної геометрії формули для площ прямокутника та трапеції.

Розіб’ємо відрізок за допомогою довільно обраних точок

на частинних відрізків . На кожному з них візьмемо довільну точку і побудуємо прямокутник, основою якого є відповідний частинний відрізок, а висота дорівнює (рис. 8.3).

Рис. 8.3

З рис. 8.3. ми бачимо, що шукана площа наближено дорівнює сумі площ всіх отриманих прямокутників. Знайдемо цю суму. Очевидно, вона дорівнює:

, (8.1.1) де – довжина відрізка . Тобто . За рахунок чого можна було б збільшити точність цієї формули? Здається за рахунок збільшення кількості частинних відрізків, тобто числа . Але справа в тому, що кількість прямокутників можна збільшувати не на всьому відрізку , а тільки на деякій його частині (наприклад половині його), залишаючи кількість частинних відрізків на решті відрізка незмінним. І тоді очевидно, що ми не отримаємо підвищення точності. Тому треба йти іншим шляхом. А саме зменшувати всі величини . Фактично можна зменшувати . Зрозуміло, що тоді автоматично буде збільшуватися. І за площу криволінійної трапеції природно вважати границю послідовності площ ступінчатих фігур, якщо максимальна з довжин частинних відрізків прямує до нуля:

. (8.1.1)

Задача про роботу змінної сили.

Нехай вздовж осі діє сила , напрям якої сталий і збігається з напрямком . Крім того сила може змінюватись за величиною. Нехай під дією сили матеріальна точка перемістилася вздовж осі з точки у точку . Треба обчислити роботу цієї сили на відрізку .

Відомо, що якщо сила стала () і діє у напрямку переміщення, то робота дорівнює добутку величини сили на величину переміщення:

.

Але сила змінна, і ми не маємо права користуватися цією формулою. Тому розіб’ємо відрізок точками на частинні відрізки і припустимо, що кожний частинний відрізок настільки малий, що сила не встигає на цьому відрізку суттєво змінитися, та її можна на ньому вважати сталою. Оберемо на кожному з відрізків довільну точку , тоді на виконано: . Робота, що виконана цією силою на відрізку , дорівнює , де . Тоді робота на всьому відрізку наближено дорівнює:

.

Ця наближена рівність тим точніша, чим менші довжини . Тому природно за роботу сили на шляху вважати границю:

.

Звернемо увагу на те, що ми отримали формулу, яка повністю аналогічна формулі (8.1.1). Таким чином дві задачі з різних галузей науки привели до однієї математичної формули. Таку особливість математики ми вже відмічали вище.

8.2. Означення та умови існування визначеного інтеграла.

Оскільки ми побачили, що дві різні задачі приводять до однієї математичної моделі, ми тепер не будемо прив’язуватись до конкретної задачі з навколишньої дійсності, а розглянемо проблему в абстрактному сенсі. Отже нехай ми маємо деяку функцію , яка визначена на відрізку . Розіб’ємо цей відрізок на частин довільно обраними точками ділення:

.

На кожному з частинних відрізків довільним чином оберемо точку і побудуємо суму:

, (8.2.1) де – довжина відрізка . Сума (8.2.1) називається інтегральною сумою функції , яка відповідає даному розбиттю відрізка на частинні та даному вибору проміжних точок .

Легко помітити, що з геометричної точки зору інтегральна сума у випадку, коли , дорівнює площі ступінчатої фігури (рис. 8.3).

Позначимо і назвемо цю величину рангом розбиття. Це буде означати, що жоден з частинних відрізків за довжиною не перевищує величини .

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (8.2.1) при , яка не залежить від засобу розбиття відрізка на частинні і не залежить від засобу обрання проміжних точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом:

.

Тобто:

. (8.2.2)

Символ був введений Г.Лейбніцем у 1686 році. Цей символ є дещо деформованою буквою (перша буква слова Summa). Термін «інтеграл» (від латинського integer – цілий) був запропонований у 1696 році Іоганом Бернулі. Наведене означення інтеграла належить Бернгарду Ріману (1826–1866), він же сформулював умови його існування. Тому таким чином введений інтеграл називається інтегралом Рімана.

Якщо границя (8.2.2) існує, то функція називається інтегровною на відрізку . Числа і називаються відповідно нижньою та верхнею межею інтегрування. Функція називається підінтегральною функцією, а вираз називається підінтегральним виразом. Змінна називається змінною інтегрування, а проміжок – проміжком інтегрування.

Повертаючись до розглянутих у пункті 8.1 задач, тепер можна сказати, що

площа криволінійної трапеції, обмеженої прямими і графіком функції , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції на відрізку :

.

У цьому полягає геометричний зміст інтеграла.

робота змінної сили , що діє вздовж відрізка , дорівнює визначеному інтегралу від сили:

.

У цьому полягає фізичний зміст інтеграла.

Виникає питання, яким умовам повинна задовольняти інтегровна на відрізку функція ? Відповідь на це питання дають наступні теореми, яки ми наводимо без доведення*.

Теорема 1 (необхідна умова інтегровності). Якщо функція інтегровна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

Теорема 2 (достатня умова інтегровності). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.

Можна показати, що теорема 1 дає саме необхідну умову інтегровності, але не достатню (з обмеженості функції на відрізку не випливає її інтегровність на цьому відрізку – існують обмежені неінтегровні функції). В той же час теорема 2 дає саме достатню умову інтегровності, але не необхідну (інтегровними можуть будуть і деякі розривні функції).

Наведемо приклад обчислення визначеного інтеграла, як кажуть, за означенням.

Приклад. Обчислити:

.

Розіб’ємо відрізок довільним чином на частинні відрізки і складемо інтегральну суму:

.

Незалежно від обрання точок буде виконано: , тому:

.

І отже:

.

Для довільних функцій обчислення інтеграла за означенням досить складне, тому пізніше ми познайомимось з іншим методом його обчислення, правда який «працює» лише для неперервних функцій.

8.3. Властивості визначеного інтеграла.

Тут ми сформулюємо деякі важливі властивості визначеного інтеграла, які нам будуть потрібні у подальшому.

Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування.

.

Якщо верхня межа інтегрування співпадає з нижньою, то інтеграл дорівнює нулю.

.

Від переставлення місцями меж інтегрування отримується інтеграл, який дорівнює даному з протилежним знаком.

.

Якщо функція інтегровна на максимальному з відрізків , , то справедлива рівність:

. (8.3.1)

Доведення. Припустимо спочатку, що . Розіб’ємо відрізок на частинні так, щоб точка була точкою розбиття, наприклад . Тоді

.

Цей факт добре ілюструється геометрично (рис. 8.4).

Рис. 8.4

.

Формула (8.3.1) зберігає справедливість і у випадку, коли . Припустимо, наприклад що . Тоді згідно за попереднім:

.

На підставі властивості 3 маємо:

, і тоді:

, а звідси і випливає формула (8.3.1). Випадок розглядається аналогічно.

Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

.

Визначений інтеграл від суми (різниці) інтегровних функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій:

.

Якщо , то

.

Якщо , то

.

Якщо функція інтегровна на , то

.

Якщо , то

.

Дійсно

.

Теорема (про середнє значення функції). Якщо функція неперервна на відрізку , то на цьому відрізку існує точка така, що буде виконана рівність

.

Доведення. Оскільки функція неперервна на відрізку , то згідно з 2-ю теоремою Вейєрштрасса (див. п.5.7) ця функція досягає на цьому відрізку свого найменшого та найбільшого значень . Тоді:

.

Або

.

Величина називається середнім значенням функції на відрізку . Внаслідок знову ж таки неперервності функції на відрізку на підставі 2-ї теореми Больцано-Коші (п.5.7) існує точка така, що , тобто

, звідки й випливає потрібне. Теорему доведено.

8.4. Інтеграл зі змінною верхнею межею.

Формула Ньютона–Лейбніца.

Нехай функція неперервна на відрізку , а отже інтегровна на цьому відрізку. Візьмемо довільне , тоді функція буде інтегровна на відрізку , тобто існує інтеграл

.

Якщо змінюється, то відповідним чином буде змінюватись і цей інтеграл, тобто він являється функцією змінної . Позначимо цю функцію через :

. (8.4.1)

Інтеграл (8.4.1) називається інтегралом зі змінною верхньою межею.

Теорема. Похідна інтеграла зі змінною верхньою межею від неперервної функції дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі, тобто:

.

Доведення. За означенням похідної маємо:

.

Згідно з теоремою про середнє значення, внаслідок неперервності функції на відрізку існує така точка , що справджується рівність:

.

Тоді

.

Оскільки , то , і тому внаслідок неперервності функції :

, і теорему доведено.

Ця теорема має дуже важливе значення. Вона стверджує існування первісної у будь якої неперервної функції і встановлює зв’язок між невизначеним і визначеним інтегралами. Функція є первісною для функції , отже

.

На підставі доведеної теореми легко отримується славнозвісна формула Ньютона–Лейбніца*.

Нехай – будь яка первісна функції на відрізку . Оскільки також первісна для функції , то

.

Покладемо тут . Оскільки

,

то , звідки , тобто

.

Покладемо тут . Дістанемо:

, або, що те ж саме:

. (8.4.2)

Це й є формула Ньютона–Лейбніца, яку називають основною формулою інтегрального зчислення. Її значення важко переоцінити, тому що вона дає зручний засіб обчислення інтегралів без використання інтегральних сум. Правда те, що вона справедлива лише для неперервних функцій, дещо звужує її можливості. Крім того, слід пам’ятати, що існують функції, первісні від яких не виражаються елементарними функціями (п. 7.9). Тоді можливості застосування формули Ньютона–Лейбніца також обмежуються.

8.5. Приклади використання формули Ньютона–Лейбніца.

На практиці формулу (8.4.2) записують так:

.

Розглянемо відповідні приклади.

.

.

.

.

.

.

А тепер наведемо приклад того, як не можна використовувати фор-

мулу Ньютона–Лейбніца. Розглянемо інтеграл.

.

Оскільки , то за властивістю 7 (п.8.3) цей інтеграл повинен бути додатним. В той же час формальне використання формули (8.4.2) дає:

.

Протиріччя виникло з того, що функція є розривною на відрізку (розрив у точці ), і ми не маємо права користуватися формулою (8.4.2).

8.6. Заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Як і у випадку невизначеного інтеграла, у визначеному інтегралі також можна застосовувати формули заміни змінної та інтегрування частинами. Але тут вони мають певні особливості, до розглядання яких ми зараз й перейдемо.

Теорема. Нехай функція неперервна на відрізку , а функція задовольняє наступним умовам:

визначена і неперервна на деякому проміжку і відображає проміжок на проміжок ,

,

неперервно диференційовна на .

Тоді справедлива формула заміни змінної:

. (8.6.1)

Доведення. Маємо:

, де – первісна функції на відрізку . Легко переконатися у тому, що функція є первісною для функції на відрізку . Дійсно, оскільки , то за формулою для похідної складеної функції (п. 6.3) будемо мати:

.

Отже можемо записати:

.

Теорему доведено.

Розглянемо приклади використання цієї теореми.

Обчислити інтеграл

.

Зробимо заміну змінної , де . Відповідність інтервалів відносно і відносно зручно зображувати за допомогою таблички:

10

Отже матимемо:

.

У багатьох випадках підстановку зручніше брати не у вигляді залежності від (), а у вигляді залежності від (). Розглянемо інтеграл:

.

Використаємо заміну . Тоді , ,

00 2

Отже

.

Зауважимо, що на відміну від метода заміни змінної у невизначеному інтегралі, тут нема необхідності повертатися до старої змінної, оскільки межі інтегрування змінюються водночас зі змінною інтегрування. Нові межі підставляються до нової змінної.

Встановимо за допомогою заміни змінної наступні корисні твердження.

1). Якщо функція є непарною, тобто , то виконано:

.

Тобто інтеграл в симетричних межах від непарної функції дорівнює нулю. Дійсно, розіб’ємо цей інтеграл на два:

.

У першому інтегралі зробимо підстановку , тоді ,

Матимемо:

.

І тому

, що й треба було довести.

Наприклад без обчислень можна одразу стверджувати рівності:

,

.

2). Якщо функція парна, тобто , то :

.

Це твердження доводиться аналогічно попередньому, зробіть це самостійно.

3). Якщо функція періодична з періодом , тобто , то :

.

Тобто інтеграли по будь якому проміжку, довжина якого дорівнює періоду функції, співпадають. Дійсно, розіб’ємо інтеграл на три інтеграли:

. (8.6.2)

У останньому з цих інтегралів зробимо заміну , тоді ,

0

Матимемо:

.

Таким чином третій інтеграл у формулі (8.6.2) дорівнює першому з протилежним знаком. Звідси й випливає потрібне твердження.

Для визначеного інтеграла має місце формула інтегрування частинами:

. (8.6.3)

Всі рекомендації щодо вибору функцій , які були сформульовані для невизначеного інтеграла, зберігаються і для визначеного. Розглянемо приклади.

.

.

8.7. Невласні інтеграли I роду.

Поняття визначеного інтеграла Рімана, як ми бачили, має зміст для скінченного проміжку і для обмеженої на цьому проміжку функції. Якщо хоч би одна з цих умов не виконана, то інтеграла у власному розумінні не існує. Тому виникає необхідність поширити поняття інтеграла на випадки нескінченного проміжку та необмеженої функції. Відповідно виникають інші поняття – так званих невласних інтегралів I роду (у випадку нескінченного проміжку) та II роду (у випадку необмеженої на проміжку функції). Ми почнемо з поняття невласного інтеграла I роду.

Нехай функція визначена на проміжку і інтегровна на будь якому відрізку , де .

Означення. Невласним інтегралом I роду від функції на проміжку називається границя

. (8.7.1)

Якщо ця границя існує та скінченна, інтеграл (8.7.1) називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Таким чином невласний інтеграл I роду не є границею інтегральних сум, а є границею визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею.

З геометричної точки зору він виражає площу необмеженої області (рис. 8.5).

Рис. 8.5.

Аналогічно означається невласний інтеграл I роду на проміжку :

(8.7.2)

А також можливі невласні інтеграли з обома нескінченними межами:

, (8.7.3) де – довільне число. Інтеграл у лівій частині формули (8.7.3) збігається тоді і тільки тоді, коли збігаються обидва інтеграли у правій частині цієї формули.

Приклади.

Дослідити на збіжність та у випадку збіжності обчислити інтеграл?

.

Маємо:

.

Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

У розділі 5.4 було встановлено, що функція не має границі при . Отже даний інтеграл розбіжний.

Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

Отже даний інтеграл розбіжний (границя існує, але вона нескінченна).

.

Даний інтеграл збіжний, і його значення дорівнює 1.

Визначимо, для яких значень параметра збігається інтеграл:

.

У випадку маємо:

, тобто інтеграл розбіжний.

Якщо , то

, отже інтеграл збіжний.

Якщо , то

, і інтеграл розбіжний. Таким чином є збіжним, коли , і розбіжним, коли .

У багатьох випадках встановлювати збіжність інтеграла шляхом його безпосереднього обчислення досить складна задач. Тому якщо треба встановити тільки сам факт збіжності чи розбіжності, користуються деякими достатніми умовами збіжності.

Теорема 1. Якщо на проміжку функції та неперервні, та , то зі збіжності інтеграла

(8.7.4) випливає збіжність інтеграла

, (8.7.5) а з розбіжності інтеграла (8.7.5) випливає розбіжність інтеграла (8.7.4).

Теорема 2. Якщо існує границя

, то інтеграли (8.7.4), (8.7.5) водночас обидва збігаються, або водночас розбігаються.

Приклади.

Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

, а оскільки інтеграл

збігається (це інтеграл для ), то згідно з теоремою 1 збігається і наш інтеграл.

Встановимо збіжність дуже важливого інтеграла Пуассона*:

.

Зауважимо, що , де

.

– це інтеграл від обмеженої функції на скінченному проміжку, і оскільки функція неперервна, інтеграл існує у власному розумінні. Стосовно другого інтеграла маємо: , а оскільки

, тому цей інтеграл збіжний, отже збіжний за теоремою 1 інтеграл , а звідси випливає збіжність інтеграла .

Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

, і оскільки інтеграл

розбіжний (це інтеграл при ), то внаслідок теореми 2 розбіжний і наш інтеграл.

8.8. Невласні інтеграли II роду.

Розглянемо тепер функцію , яка визначена на півінтервалі , і нехай виконана умова:

(8.8.1)

Точку будемо називати особливою точкою функції . У цій точці графік функції має вертикальну асимптоту (рис. 8.6).

Рис. 8.6

Нехай функція інтегровна на будь якому проміжку , де .

Означення. Невласним інтегралом II роду від функції називається границя:

. (8.8.2)

Якщо границя (8.8.2) існує і скінченна, то інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Якщо особливою точкою функції є точка , то:

. при умові, що функція інтегровна на проміжку , де також .

Нарешті, якщо особливою точкою є деяка точка всередині проміжку , то за означенням покладають:

. (8.8.3)

Якщо існують окремо скінченні границі

то інтеграл у лівій частині рівності (8.8.3) називається збіжним, а якщо хоч би одна з цих границь не існує, або нескінченна – розбіжним.

Якщо особливими являються точки і , то за означенням:

, де – довільна точка інтервалу . Інтеграл у лівій частині рівності буде збіжним тоді і тільки тоді, коли збіжні обидва інтеграли у правій частині рівності.

З геометричної точки зору інтеграл II роду (8.8.2) також, як і невласний інтеграл I роду, виражає площу нескінченної фігури (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Але якщо у випадку інтеграла I роду нескінченність, так кажучи, відносно осі (рис. 8.5), то тут – відносно осі . Фактично це така ж сама нескінченна криволінійна трапеція, тільки повернута на кут 90 градусів. А це свідчить про те, що між невласними інтегралами I та II роду існує певний зв’язок. Дійсно, нехай, наприклад, особливою точкою функції є точка . Тоді

.

У останньому інтегралі позначимо:

.

Якщо , то очевидно , і ми отримуємо:

.

Таким чином звели невласний інтеграл II роду до невласного інтегралу I роду.

Приклади. Дослідити на збіжність і у випадку збіжності обчислити інтеграли.

1) .

У даному прикладі особливою є точка . Маємо:

.

Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

2) .

Особливою є точка , оскільки . Маємо:

Отже інтеграл розбіжний.

Встановити, для яких значень параметра інтеграл збігається, а для яких

розбігається:

.

8.8. Геометричні застосування визначеного інтеграла.

Визначений інтеграл має чисельні застосування у багатьох галузях знань – у геометрії, фізиці, механіці, хімії, біології, економіці та інших. Тут ми розглянемо застосування визначеного інтеграла для розв’язання деяких геометричних задач.

  1. Обчислення площ плоских фігур у прямокутній декартовій системі

координат.

Розглянемо фігуру, яка обмежена графіками функцій та , де – неперервні на відрізку функції, на відрізку , а також вертикальними прямими (рис. 8.6).

Виходячи з геометричного змісту визначеного інтеграла, можемо стверджувати, що площа фігури ABCD дорівнює різниці площ двох криволінійних трапецій:

. (8.8.1)

Рис. 8.6.

Приклади.

Обчислити площу фігури, яку обмежено лініями (рис. 8.7).

Рис. 8.7.

На підставі формули (8.8.1) маємо:

.

Обчислити площу фігури, яку обмежено графіками функцій , (рис. 8.8).

Рис.8.8

Знайдемо спочатку межі інтегрування, як абсциси точок перетину графіків функцій , . Дорівняємо:

Або . Розв’язуючи це квадратне рівняння, отримаємо:

.

Отже

.

2. Обчислення площі фігури, обмеженої лініями, які задані параметрично.

Нехай криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично:

,

де – неперервні і неперервно диференційовні на проміжку функції. Якщо функція монотонна на і , , то площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою:

. (8.8.2)

Приклад. Обчислити площу, обмежену еліпсом , (рис. 8.9)

Рис. 8.9

Очевидно, що шукана площа може бути знайдена як помножена на 4 площа її частини, що розташована у першому квадранті, адже еліпс – фігура, яка симетрична відносно обох координатних осей. Для цієї частини маємо:

, . Тому:

.

3. Обчислення площі фігури у полярній системі координат.

Розглянемо фігуру , обмежену кривою, заданою у полярній системі координат (див. розділ «Аналітична геометрія на площині) і променями (рис. 8.10).

Рис. 8.10

Така фігура називається криволінійним сектором. Обчислимо його площу. Розіб’ємо відрізок довільно обраними точками

на частинні відрізкі . Фактично це означає, що кут ми розбили на частинні куточки. На кожному з відрізків оберемо довільну точку . І на кожному з частинних відрізків (куточків) побудуємо круговий сектор, який обмежено променями і дугою кола (рис. 8.11).

Рис. 8.11

Площа цього сектора дорівнює:

, де . Сума є інтегральною сумою для функції на відрізку . Отже

.

Таким чином площа криволінійного сектора обчислюється за формулою:

. (8.8.3)

Приклад. Обчислити площу, обмежену кардіоїдою (рис. 8.12)

Рис. 8.12

Кардіоїда – це траєкторія точки на колі, яке котиться по іншому колу того ж радіуса. Назва цієї лінії походить від грецького слова – серце, її форма нібито нагадує серце. Правда, декому щось інше.

Фігура, обмежена кардіоїдою, симетрична відносно осі , тому її площу можна обчислити як подвоєну площу її верхньої частини. Для неї , тому

.

Обчислення довжин дуг кривих ліній.

Нехай задана дуга графіка функції , яку будемо вважати

неперервною та неперервно диференційовною на відрізку (рис. 8.13)

Рис. 8.13

Розіб’ємо відрізок довільно обраними точками ділення на частинні :

.

Відмітимо на графіку функції точки з абсцисами відповідно . З’єднаємо їх відрізками прямих ліній. Дістанемо ламану лінію , яку вписано в дугу . Позначимо периметр цієї ламаної через .

Означення. Якщо існує і не залежить від способу вписування ламаної скінченна границя периметра цієї ламаної, коли найбільший її відрізок прямує до нуля, то крива називається спрямною, а величина цієї границі називається довжиною дуги і позначається

. (8.8.4)

Позначимо , , – довжину відрізка . Очевидно, що

.

За теоремою Лагранжа (див. розділ «Диференціальне числення функцій однієї змінної») на інтервалі існує точка така, що

.

Тоді

,

.

Це є інтегральна сума для функції . Оскільки неперервна, функція також неперервна, і тоді існує границя (8.8.4):

.

Отже дістали формулу:

. (8.8.5)

Приклад 1. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи на відрізку (рис. 8.14)

Рис. 8.14.

Маємо: . Отже

.

Приклад 2. Обчислити довжину графіка функції на відрізку .

Маємо: . Отже

.

Якщо криву задано параметрично: , де – неперервно диференційовні на проміжку функції, то:

. (8.8.6)

Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди, яка має параметричні рівняння:

.

Циклоїда – це лінія, яку описує точка на колі радіуса , яке котиться вздовж прямої лінії. У якості параметра виступає кут поворота кола (рис. 8.15).

Рис. 8.15.

За формулою (8.8.6) маємо:

.

Якщо криву задано у полярній системі координат , де – неперервно диференційовна на функція, то можна довести, що

. (8.8.7)

Приклад. Обчислити довжину дуги логарифмічної спіралі за умовою (рис. 8.16).

Рис. 8.16.

Внаслідок того, що , дістаємо: , отже за формулою (8.8.7) матимемо:

через те, що . Зауважимо, що інтеграл, який тут виникає – невласний 1-го роду.

Для географії досить важливою є задача обчислення довжини дуги еліпса. Справа в тому, що досить часто виникає необхідність знаходження відстані між точками на земній поверхні, які досить віддалені одна від одної. Якщо ми знаходимо відстань між двома точками на сфері, то така відстань знаходиться як довжина дуги великого кола (тобто кола з центром у центрі сфери), яке проходить через ці точки. Але земна поверхня насправді не являється сферою, а має форму, близьку до еліпсоїда (див. розділ «Векторна алгебра та аналітична геометрія у просторі»). І тому використання формули довжини дуги кола (, де – радіус кола, а – центральний кут, який виражено в радіанах), приводить до суттєвих похибок, і для їх уникнення необхідно обчислювати саме довжину дуги еліпса, а не кола. Але тут виникають труднощі. Розглянемо задачу: обчислити довжину дуги еліпса , де – задана кутова величина дуги (рис. 8.17).

Рис. 8.17.

Згідно з формулою (8.8.6) матимемо:

,

де – ексцентриситет еліпса.

Інтеграл, що виникає, не обчислюється в елементарних функціях і відноситься до класу так званих еліптичних інтегралів (назва з того, що він виникає в задачі про еліпс). Тут ми змушені користуватися таблицями таких інтегралів, або застосовувати наближені формули. Однією з таких формул може бути наступна:

.

Похибка такої формули має порядок . Враховуючи те, що для Землі , похибка має порядок , що достатньо для розв’язання більшості задач.

Обчислення об’ємів тіл.

Розглянемо деяке тіло (рис. 8.18) . Позначимо через площу перерізу цього тіла площиною, яка проходить перпендикулярно деякій осі через точку з координатою на цій осі .

Розіб’ємо відрізок на частинні відрізки точками:

Рис. 8.18.

і проведемо через ці точки площини, перпендикулярні відрізку . На кожному з частинних відрізків оберемо довільну точку . Площини розбивають наше тіло на елементарні циліндри . Площа основи циліндра дорівнює , а висота . Сумарний об’єм всіх циліндрів:

.

Границя цієї суми при (якщо вона існує) називається об’ємом даного тіла. Очевидно, що – це інтегральна сума для функції , отже об’єм тіла :

.

Таким чином доведено формулу:

. (8.8.8)

Розглянемо, зокрема, об’єм тіла, яке утворено обертанням графіка функції навколо відрізка осі (рис. 8.19).

Рис. 8.19.

Тоді площа перерізу , і згідно з формулою (8.8.8):

. (8.8.9)

Приклади.

  1. Знайти об’єм еліпсоїда

.

У перерізі еліпсоїда площиною, паралельною площині на відстані

від неї утворюється еліпс:

,

або:

.

Півосі цього еліпса , і його площа дорівнює (див. приклад після формули (8.8.2)):

.

Тому за формулою (8.8.8) маємо:

(перевірте самостійно). Зокрема, якщо , дістаємо формулу об’єму кулі:

.

  1. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо відрізка осі .

За формулою (8.8.9) маємо:

.

Площа поверхні тіла обертання.

Нехай графік неперервної та неперервно диференційовної функції обертається навколо відрізка осі . Тоді площа поверхні утвореного таким чином тіла знаходиться за формулою:

. (8.8.10)

Якщо криву задано в параметричній формі , де – неперервно диференційовні на відрізку функції, причому , то

. (8.8.11)

Приклади.

1. Знайти площу поверхні параболоїда, утвореного обертанням навколо осі дуги параболи (рис. 8.20).

Рис. 8.20.

Маємо:

,

і згідно з формулою (8.8.10):

.

2. Знайти площу частини земної поверхні, що знаходиться між екватором і паралеллю з номером , якщо вважати Землю кулею.

Шукану площу можна знайти як площу поверхні тіла, яке утворено обертанням навколо осі дуги кола з центром у початку координат і радіусом , яка відповідає зміни кута від до (рис. 8.21).

Рис. 8.21.

Параметричні рівняння кола . Тому

.

Наприклад, якщо (славнозвісна паралель з роману Жюля Верна «Діти капітана Гранта»), то враховуючи те, що середній радіус Землі м, а , то отримуємо: , або . Площа всієї земної поверхні складає .

9. Фізичні застосування визначеного інтеграла.

Припустимо, що треба визначити деяку сталу величину (геометричну, фізичну, або якусь іншу), яка пов’язана з проміжком . При цьому припускається наступне.

Розіб’ємо відрізок точками ділення на частинні відрізки . Тоді відповідним чином розбивається і величина , тобто кожному з відрізків відповідає величина , і виконана рівність:

.

Легко помітити, що всі величини, які ми обчислювали у п.8 (площа фігури, довжина дуги, об’єм тіла) задовольняють це припущення.

Така властивість величини називається адитивністю.

Схема застосування визначеного інтеграла до задач механіки і фізики (як, власне, і геометрії) полягає у наступному: розглянемо деякий елементарний відрізок довжини , що належить відрізку . Цьому проміжку відповідає елемент величини . Виходячи з умов задачі, намагаються знайти для наближений вираз , який лінійний відносно , тобто віділяють з його головну частину – диференціал .

.

Відносна помилка цієї наближеної рівності, а саме величина прямує до нуля разом з .

Тоді кожному з частинних проміжків буде відповідати наближене значення , . І шукана величина наближено буде дорівнювати:

.

Права частина цієї рівності – інтегральна сума для функції . Отже точне значення величини виразиться інтегралом

. (8.9.1)

Можна виходити також з рівностей , інтегруючи останню рівність у межах від до , отримаємо (8.9.1).

Слід в той же час відмітити, що у реальних фізичних задачах розбиття відрізку на як завгодно малі відрізки принципово неможливо. Справа у тому, що величини цих відрізків залежать від конкретних умов. Наприклад, внаслідок атомістичної структури речовини ця величина не може бути зробленою меншою, ніж деяка задана величина. А тому граничний перехід при не може бути виконаний до кінця. Це означає, що точна рівність (8.9.1) – деяка ідеалізація. Фактично в фізичних задачах під інтегралом розуміється не границя послідовності інтегральних сум, а сума великого числа достатньо малих доданків.

  1. Обчислення пройденого шляху.

Нехай точка рухається вздовж деякої осі, і миттєва швидкість цієї точки у момент часу дорівнює . Треба знайти шлях, який пройде точка від моменту часу до моменту .

Якби швидкість була сталою величиною (), така задача розв’язувалась би дуже просто: . Але – змінна величина.

Розіб’ємо відрізок на частинні і в кожному з них оберемо довільну точку (момент часу) . Відрізки ці можна обрати настільки малими, що швидкість за цей малий проміжок часу не встигає суттєво змінитися, і тоді на кожному з відрізків швидкість наближено можна вважати сталою. І тоді шлях, пройдений точкою за цей проміжок часу наближено дорівнює , а весь шлях:

.

Переходячи тепер до границі при , отримаємо:

. (8.9.2)

Приклад. Миттєва швидкість точки . Знайти шлях, який точка пройшла від моменту часу до .

Згідно з формулою (8.9.2) маємо:

.

  1. Обчислення роботи сили.

У п. 2 ми визначили, що робота сили , що діє вздовж напряму руху на відрізку , обчислюється за формулою

. (8.9.3)

Приклад. Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси підняти з поверхні Землі вертикально вгору на висоту , якщо середній радіус Землі дорівнює .

Згідно з законом Ньютона, сила притягання тіла Землею дорівнює:

,

де – маса Землі, – гравітаційна стала, – відстань від центра тіла до центра Землі (рис. 8.22).

Рис.8.22

Якщо , тобто тіло знаходиться на поверхні Землі, то – вага тіла, тобто:

.

Звідси:

.

За формулою (8.9.2) маємо:

.

  1. Обчислення маси і координати центру ваги неоднорідного стрижня.

Розглянемо неоднорідний стрижень, розташований на відрізку осі (рис. 8.23) .

Рис. 8.23.

Нехай – лінійна густина стрижня у точці з координатою . Треба знайти масу стрижня.

Виділимо на елементарний відрізок . Тоді елемент маси на цьому відрізку наближено дорівнює

.

Інтегруючи в межах від до , дістаємо:

. (8.9.4)

Для обчислення координати центра ваги стрижня користуються формулою:

. (8.9.5)

Приклад. Обчислити масу і координату центра ваги стрижня, розташованого на відрізку , якщо його лінійна густина

.

Згідно з формулою (8.9.4) маємо:

.

Згідно з формулою (8.9.5):

.

  1. Обчислення тиску рідини на вертикально занурену пластину.

Розглянемо вертикальну пластину, яку занурено у рідину на глибині . Введемо систему координат , причому вісь напрямимо горизонтально по поверхні рідини, а вісь – вертикально вниз. Пластину будемо вважати плоскою фігурою, обмеженою лініями і графіками функцій (рис. 8.24).

Треба знайти повний гідростатичний тиск на пластину. Згідно з законом Паскаля4 тиск рідини на горизонтальну площадку дорівнює:

,

де – густина рідини, – глибина занурення, – прискорення вільного падіння, – площа пластини. Якщо пластина вертикальна, то її різні точки лежатимуть на різних глибинах, і цією формулою безпосередньо користува-

Рис. 8.24.

тися не можна. Виділимо елементарну площадку шириною , яка лежить на глибині ; наближено її можна вважати прямокутною за рахунок малості величини , тоді її елементарна площа:

.

Елементарний тиск на цю площадку дорівнює

.

Інтегруючи в межах від до , дістаємо шуканий тиск на всю пластину:

. (8.9.6)

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Нехай пластина має формі напівкруга радіуса , і діаметр круга знаходиться на поверхні рідини (рис. 8.25).

Рис. 8.25.

Легко дістаємо: , , , і згідно з формулою (8.9.6):

(обчислення інтеграла перевірте самостійно).

Приклад 2. Нехай пластина має форму рівнобедреного трикутника з основою і бічними сторонами, довжина яких дорівнює , причому основа знаходиться на поверхні рідини (рис. 8.26).

Рис. 8.26.

Легко зрозуміти, що у цьому випадку , де

.

Далі:

,

і згідно з формулою (8.9.6) матимемо:

(обчислення інтеграла перевірте самостійно).

10. Наближене обчислення визначених інтегралів.

У багатьох випадках для обчислення визначеного інтеграла ми не маємо можливості користуватися формулою Ньютона–Лейбніца, оскільки первісні від підінтегральних функцій не завжди можна виразити і елементарних функціях. З одним таким прикладом ми вже зустрілися, коли намагалися обчислити довжину дуги еліпса. Існує велика кількість інших функцій, наприклад

,

первісні від яких також не можна виразити в елементарних функціях. В таких випадках (і не тільки в таких) інтеграли обчислюють наближено. Існує велика кількість так званих квадратурних формул, тобто формул для наближеного обчислення інтегралів. Познайомимось з деякими з них. Ідея їх використання полягає у тому, що графік підінтегральної функції замінюється новою лінією, більш простою, але близькою до заданої. І замість криволінійної трапеції, яку обмежено графіком функції , ми отримуємо іншу фігуру, «близьку» до неї, але площа якої обчислюється простіше.

  1. Формула прямокутників.

Нехай треба обчислити інтеграл

(8.10.1)

від неперервної на відрізку функції .

Поділимо відрізок на рівних частин точками , де , , . Позначимо . На кожному з частинних відрізків побудуємо прямокутник, основою якого є цей частинний відрізок, а висота дорівнює – значенню функції у лівій межі частинного відрізка (рис. 8.27).

Рис. 8.27.

Площа цього прямокутника дорівнює:

.

Внаслідок такої побудови дістанемо ступінчату фігуру, площа якої наближено дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції . Таким чином площа цієї фігури і буде наближеним значенням інтеграла (8.10.1):

. (8.10.2)

Формула (8.10.2) називається формулою лівих прямокутників.

Побудуємо тепер на кожному відрізку прямокутник, висота якого дорівнює значенню функції у правій межі відрізку , тобто (рис. 8.28):

Рис. 8.28

Тоді дістанемо формулу правих прямокутників:

. (8.10.3)

Нарешті, якщо висотами прямокутників будуть значення функції у серединах відрізків, тобто (рис. 8.29), то дістанемо формулу середніх прямокутників:

Рис. 8.29.

. (8.10.4)

  1. Формула трапецій.

Замінимо тепер графік функції ламаною лінією, з’єднавши точки з координатами відрізками прямих (рис.8.30)

Рис. 8.30.

Тоді на кожному частинному відрізку буде побудовано трапецію. Площа трапеції, побудованої на відрізку , дорівнює:

.

За наближене значення інтеграла (8.10.1) беремо суму площ всіх трапецій, тобто:

. (8.10.5)

Формула (8.10.5) називається формулою трапецій.

  1. Формула парабол (Сімпсона5).

У формулах прямокутників і трапецій ми замінювали графік функції відрізками прямих ліній. Щоб підвищити точність, використаємо криву лінію, наприклад, параболу.

Спочатку доведемо, що через три різні точки , , , які не лежать на одній прямій, можна провести параболу і лише одну.

Дійсно, підставляючи координати точок у рівняння параболи, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів , , :

(8.10.6)

Визначник цієї системи

є визначником Вандермонда (див. розділ «Елементи лінійної алгебри»), і він дорівнює . Тому система (8.10.6) має єдиний розв’язок, а це означає, що коефіцієнти параболи визначаються однозначно.

Розв’яжемо систему (8.10.6) для точок , , . Дістанемо:

.

Знайдемо площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою, що проходить через точки , і прямими (рис. 8.31).

Рис. 8.31.

.

Розглянемо тепер криволінійну трапецію, обмежену кривою . Якщо через точки

провести параболу, то по доведеному:

, (8.10.7) де . Але якщо відрізок досить великий, то формула (8.10.7) буде давати значну похибку. Тоді розіб’ємо відрізок на парне число однакових частин, а криволінійну трапецію на частинних криволінійних трапецій і до кожної з них застосуємо формулу (8.10.7).

Додаючи почленно отримані таким чином наближені рівності, дістанемо формулу Сімпсона:

. (8.10.8)

Можна довести, що якщо функція має другу неперервну похідну, і , то похибка формул (8.10.2) – (8.10.5) не перевищує величини

,

а похибка формули (8.10.8) – величини

.

Приклади.

1. Продемонструємо спочатку застосування формул (8.10.2) , (8.10.5), (8.10.8) на прикладі інтеграла, який обчислюється точно:

(перевірте самостійно), що наближено (з 5 знаками після коми) дорівнює 0.60948.

Розіб’ємо відрізок на 10 рівних частин точками і складемо таблицю, до якої занесемо та .

Застосування формули лівих прямокутників (8.10.2) дає результат:

.

Застосування формули трапецій (8.10.5) дає результат:

.

Застосування формули Сімпсона (8.10.8) дає результат:

.

Як бачимо, з розглянутих формул найточніший результат дає формула Сімпсона.

2. Розглянемо тепер інтеграл від функції, первісна від якої не виражається в елементарних функціях:

.

Розіб’ємо відрізок на 10 рівних частин точками і складемо таблицю, до якої занесемо та :

Застосування до цього інтеграла формули Сімпсона дає результат

.

Помилка цього результату не перевищує 0,000012.

Вправи до розділу 8.

  1. Обчислити інтеграл за допомогою формули Ньютона–Лейбніца.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) , 16) .

17) , 18) , 19) , 20) ,

21) , 22) , 23) ,

24) , 25) , 26) , 27) .

8.2. Обчислити визначений інтеграл за допомогою метода заміни змінної.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) , 16) .

8.3. Обчислити визначений інтеграл методом інтегрування частинами.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) . 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) , 16) .

8.4. Обчислити невласний інтеграл I роду або встановити його розбіжність.

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) , 7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) , 13) ,

14) , 15) , 16) , 17) .

8.5. Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) ,

6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) .

* Доведення див. напр.: Г.М.Фихтенгольц: Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2. – М.:Наука, 1970, с. 97, 101–103.

* Ньютон Ісаак (1643–1727) – видатний англійський математик і фізик.

Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646–1716) – німецький математик, філософ і дипломат.

* Пуассон Сімеон Дені (1781–1840) – французький математик, механік і фізик.

4 Паскаль Блез (1623–1662) – французький математик, фізик і філософ, один з творців інтегрального зчислення, а також теорії ймовірностей.

5 Сімпсон Томас (1710–1761) – англійський математик

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Означення та умови існування визначеного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла. Інтеграл зі змінною верхнею межею. Приклади використання формули Ньютона-–Лейбніца. Заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Невласні інтеграли 1 та 2 роду. Геометричні застосування визначеного інтеграла.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Транквилизаторы: поддержка в трудную минуту

Транквилизаторы обладают анксиолитическим, или, проще говоря, успокаивающим, действием. В идеале это действие должно быть тонким, избирательным. Негативные эмоции настолько сильны, что вы не в силах справиться с ними.

Самоменеджмент

Об\'єктивною основою використання організаційно-адміністративних методів управління виступають організаційні відносини, що становлять частину механізму управління.

Основные направления развитых рыночных экономик после Второй мировой войны

Мировое хозяйство. совет Экономической взаимопомощи; экономический рост. Переход от кейнсианства к монетаризму. Тройственная революция.

Основные модели кадрового менеджмента

Выделяются три основные модели кадрового менеджмента. Основные отличия управления человеческими ресурсами от управления персоналом. Технология управления человеческими ресурсами. Передовая кадровая стратегия. Ключевые роли менеджера по персоналу.

Психофизиология и Нейропсихология. Вопросы по курсу

Вопросы по курсу «Психофизиология и Нейропсихология» (раздел «Нейропсихология») для студентов специальности 1-030403 «Практическая психология» дневной и заочной форм обучения.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok