Функції багатьох змінних

Территория рекламы

7. Похідна функції за заданим напрямом.

Нехай функція визначена у деякій області на площині. Розглянемо точку і деякий напрям , який визначається напрямними косинусами (рис.10).

Рис. 10

При переміщенні у даному напряму з точки у точку функція отримає приріст , який називається приростом функції у даному напряму . З рис. 10 видно:

, (1) отже .

Означення. Похідною функції за напрямом називається границя відношення приросту цієї функції у даному напряму до величини переміщення, коли останнє прямує до нуля, тобто:

.

Зокрема, можна розглядати як похідні функції за додатними напрямами осей координат відповідно і .

Похідна виражає швидкість зміни функції вздовж напряму . Якщо вздовж даного напряму , то у даному напряму функція зростає, а якщо , то функція спадає.

Знайдемо формулу для обчислення у припущенні, що функція диференційовна у точці . У цьому випадку маємо:

, де при . Звідси внаслідок (1):

.

Отже:

.

Переходячи до границі при (тоді і ), отримаємо:

. (2)

Приклади.

1, Знайти похідну функції у точці за напрямом

вектора .

Знайдемо значення частинних похідних у точці :

.

Знайдемо напрямні косинуси вектора :

.

Таким чином:

.

Формула (2) легко узагальнюється на випадок функцій 3–х і більшого числа змінних. Для функції 3–х змінних вона має вид:

, (3) де – напрямні косинуси вектора .

2. Знайти похідну функції у точці за напрямом від точки до точки .

Знайдемо вектор і його напрямні косинуси:

,

.

Знайдемо значення частинних похідних у точці :

, .

Таким чином у відповідності з формулою (3) маємо:

.

Оскільки , то наша функція у даному напрямі зростає.

8. Градієнт

Розглянемо похідну функції у точці вздовж деякого напряму :

.

Поставимо питання: як обрати напрям , щоб похідна прийняла найбільше значення?

Помітимо (див. формулу (2)), що уявляє собою скалярний добуток двох векторів: вектора з координатами і вектора .

Означення. Вектор з координатами називається градієнтом функції у точці .

Позначається градієнт символами:

.

Таким чином

.

З іншого боку, за означенням скалярного добутку:

, де – кут між градієнтом і вектором (рис. 11).

Рис. 11

Очевидно, що , отже:

, тобто величина похідної за напрямом дорівнює довжині проекції градієнта на напрям . Очевидно, що приймає максимальне значення при , тобто , а це означає, що напрям збігається з напрямом градієнта функції . При цьому

.

На підставі цього можна стверджувати, що градієнт характеризує величину і напрям максимальної швидкості зростання (оскільки ) функції у даній точці. Він перпендикулярний лінії рівня, яка проходить через точку .

Очевидно тепер, що напрям найшвидшого спадання функції збігається з напрямом вектора , тобто антиградієнта функції.

Аналогічно визначається градієнт функції багатьох змінних :

..

Приклади.

  1. Знайти величину і напрям градієнта функції у точці .

Маємо:

.

Таким чином:

.

Довжина градієнта:

.

Напрям градієнта характеризується його напрямними косинусами:

.

  1. Горизонталі підвищенності визначаються рівнянням

. Побудувати горизонталі, які відповідають відміткам

20 м, 19 м, 18 м, 16 м та 11 м. Напрям визначає тут напрям найкрутішого схилу, а його величина – крутизну цього схилу. Побудувати у точці .

Рис. 12

Побудуємо горизонталі:

1) ; тоді – це точка ;

2) ; тоді – еліпс з півосями ;

3) ; тоді , або – еліпс з півосями ;

4) ; тоді , або – еліпс з півосями ;

5) ; тоді , або – еліпс з півосями .

Точка лежить на лінії рівня (горизонталі) . Градієнт напрямлений перпендикулярно дотичній, яку проведено до даній лінії рівня у цій точці (рис. 12). Знайдемо:

, отже

.

9. Складені функції та їх диференціювання.

Нехай – функція двох змінних . І нехай ці змінні у свою чергу являються функціями незалежної змінної , тобто . Тоді функція буде складеною функцією змінної :

.

Теорема. Якщо функції диференційовні у точці , а функція диференційовна у відповідній точці , то складена функція також диференційовна у точці , і має місце наступне співвідношення:

(4)

Доведення. Надамо змінній приріст . Тоді функції отримають прирости і , а функція у свою чергу отримає приріст . Оскільки диференційовна у точці , то

, де – нескінченно малі при .

Поділимо обидві частини цієї рівності на :

.

Оскільки диференційовні у точці , то

.

Крім того неперервні у точці , отже:

, звідси .

Таким чином, існує , тобто має місце рівність (4).

Теорему доведено.

Зокрема, якщо , то , і

(5)

Наведена теорема поширюється на більш загальний випадок: нехай , де . Тоді , і

(6)

(7)

Приклади.

  1. Знайти , якщо , де .

За формулою (4) маємо:

.

  1. Знайти , якщо .

Позначимо: . Тоді . Отже

.

Нагадаємо, що у темі “Диференціальне числення функції однієї змін-

ної” похідні показниково–степеневих функцій ми знаходили шляхом логарифмічного диференціювання.

  1. Знайти і , якщо , де .

Знайдемо .

Згідно з формулою (5):

.

  1. Знайти , якщо , де .

Маємо: .

Згідно з формулами (6), (7):

,

.

Отже:

.

10. Дотична площина і нормаль до поверхні.

Розглянемо поверхню, яку задано рівнянням:

. (8)

Означення. Пряму лінію назвемо дотичною до поверхні (8) у деякій

точці , якщо вона являється дотичною до деякій лінії, яка лежить на поверхні і проходить через точку (рис. 13).

Означення. Якщо всі дотичні прямі до поверхні (8) у точці лежать в одній площині, то точка називається звичайною точкою поверхні (8), а площина – дотичною площиною до поверхні у точці (рис. 14). Нормальний вектор дотичної площини називається вектором нормалі до поверхні (8) у точці .

Теорема. Градієнт функції у кожній точці має напрям нормалі до поверхні рівня, що проходить через точку .

Наслідок. Вектор нормалі до поверхні (8) у точці можна знайти за формулою:

.

z

P

y

x

Рис. 13

P

Рис. 14

Означення. Якщо у точці поверхні всі три похідні дорівнюють нулю, або хоч би одна з цих похідних не існує, то точка називається особливою точкою поверхні.

У такій точці нормаль до поверхні не визначена, отже не існує і дотична площина.

Наприклад точка є особливою точкою поверхні .

Якщо у точці всі три похідні існують, неперервні і хоч би одна з них не дорівнює нулю, то у точці визначена нормаль і дотична площина, тобто ми маємо справу зі звичайною точкою поверхні.

Нехай поверхня задана рівнянням , і – точка на цій поверхні. Знайдемо рівняння дотичної площини до даної поверхні у точці . З розділу “Векторна алгебра і аналітична геометрія у просторі” ми знаємо, що рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор , має вид:

.

Оскільки, як ми знаємо, у якості нормального вектора можна взяти градієнт функції у точці , то шукане рівняння дотичної площини має вид:

. (9)

Аналогічно виводиться і рівняння нормалі до поверхні у точці :

. (10)

Приклад. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні

(11) у точці , якщо .

Оскільки точка лежить на поверхні, її координати повинні задовольняти рівнянню поверхні (11). Звідси знайдемо ординату точки дотику:

.

Звідси. враховуючи те, що , отримуємо , і таким чином – точка дотику.

Знайдемо:

.

У якості нормального вектора можна взяти цей вектор, або колінеарний йому більш короткий вектор . Отже рівняння дотичної площини (див. (9)) має вид:

, а рівняння нормалі (див. (10)):

.

11. Частинні похідні та диференціали вищих порядків.

Розглянемо функцію двох змінних . Нехай у неї існують частинні похідні . Ці частинні похідні у загальному випадку також являються функціями змінних : . Від цих функцій теж можна обчислювати частинні похідні по та по (звичайно, у випадку їх існування). Тобто можна знайти . Ці частинні похідні називаються частинними похідними 2-го порядку від функції , і позначаються наступним чином:

, ,

.

Похідні називаються мішаними.

Приклад. Знайти частинні похідні 2-го порядку від функції

.

Знайдемо спочатку частинні похідні 1-го порядку:

.

А тепер 2-го:

,

.

Ми бачимо, що похідні і співпадають. Випадково це, чи ні? Чи завжди будуть дорівнювати одна одної мішані частинні похідні, тобто чи залежать ці частинні похідні від порядку диференціювання? Відповідь на це питання дає теорема, яку ми наводимо без доведення.

Теорема Шварца1 (про рівність мішаних похідних). Якщо функція визначена разом зі своїми похідними у деякому околі точки , і похідні та неперервні у точці , то в цій точці справджується рівність:

Таким чином, у розглянутому вище прикладі співпадання частинних похідних не є випадковим – вони неперервні у будь якій точці площини . Але існують і інші приклади. Розглянемо функцію:

Знайдемо:

оскільки .

Звідси:

, зокрема .

Аналогічно обчислюється .

Отже для даної функції , тобто результат диференціювання залежить від порядку диференціювання. Це пов’язано з тим, що похідні у точці розривні.

Ми, тем не менш, у подальшому будемо мати справу тільки з такими випадками, де рівність справджується.

Аналогічним чином визначаються частинні похідні вищих порядків. Наприклад похідні 3-го порядку:

,

.

Визначимо тепер поняття диференціалу 2-го порядку.

Означення. Диференціалом 2-го порядку від функції називається диференціал від диференціалу 1-го порядку, обчислений у припущенні, що і є сталими.

Позначається:

.

Розглянемо цю рівність детальніше:

.

Наприклад, для функції :

(перевірте самостійно).

Аналогічно визначаються диференціали 3-го і вищих порядків:

.

12. Поняття про диференціальні рівняння у частинних похідних.

Досить велика кількість задач природознавства приводять до рівнянь, у яких невідомою є деяка функція багатьох (зокрема 2–х) змінних . І це рівняння містить частинні похідні цієї функції до деякого порядку включно. Такі рівняння називаються диференціальними рівняннями у частинних похідних. Вони детально вивчаються у спеціальних курсах, наприклад такому, як “Рівняння математичної фізики”, і вони складають важливу частину сучасної математики, яка інтенсивно розвивається. Одним з найважливіших рівнянь у частинних похідних є так зване рівняння Лапласа (покійний нині ректор нашого університету Ігор Петрович Зелинський починав з цього рівняння свої лекції з динаміці підземних вод):

(12)

Тут невідомою є функція 2-х змінних . Переконаємось, що цьому рівнянню задовольняє, наприклад, функція . Дійсно:

,

,

.

, тобто дійсно справджується рівність (12).

Функції, які задовольняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними. Перевірте самостійно, що такими є також, наприклад функції .

У математичній фізиці важливу роль відіграють також такі рівняння:

– рівняння коливань струни (хвильове рівняння).

– рівняння теплопровідності (рівняння дифузії).

До останнього рівняння приводить, зокрема задача про розповсюдження температурних хвиль у грунті. Перевіримо, що цьому рівнянню задовольняє функція:

, (13) . Тут – температура грунту у момент часу на глибині . Дійсно:

.

.

На підставі формули (13) можна надати слідуючу характеристику розповсюдження температурної хвилі у грунті:

1). Амплітуда коливань експоненціально спадає зі збільшенням глибини:

, тобто, якщо глибини зростають в арифметичній прогресії, то амплітуди спадають у геометричній (перший закон Фур’є).

2). Температурні коливання у грунті відбуваються зі зсувом фази. Час запізнення максимумів температури у грунті від відповідних моментів на поверхні пропорційний глибині:

(другий закон Фур’є).

3). Глибина проникнення тепла в грунті залежить від періоду коливань температури на поверхні. Відносна зміна температурної амплітуди дорівнює

.

Ця формула показує, що зі зменшенням періоду зменшується глибина проникнення температури. Для температурних коливань з періодами і глибини , на яких відбувається однакова відносна зміна температури, пов’язані співвідношенням:

(третій закон Фур’є). Наприклад, порівняння добових і річних коливань, для яких , показує, що , тобто глибина проникнення річних коливань при однаковій температурі на поверхні в 19,1 разів більше глибини проникнення добових коливань.

13. Екстремум функції двох змінних.

Означення. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх інших точок виконана нерівність:

.

Тобто значення функції у точці найбільше порівняно з її значеннями у деякому (може бути достатньо малому) околі цієї точки.

Аналогічно визначається точка мінімуму. Для такої точки виконана нерівність

для всіх точок з деякого околу точки .

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції. На рис. 15 точки – точки екстремуму, а саме – точки максимуму, – точка мінімуму функції.

z

y

x

Рис. 15

Теорема (необхідна умова екстремуму функції). Якщо точка є точкою екстремуму функції , і у цій точці існують частинні похідні , то виконується рівність:

.

Доведення. Зафіксуємо у функції аргумент , поклавши . Тоді отримаємо функцію однієї змінної , і у точці ця функція досягає екстремуму. Крім того, існує , оскільки , отже на підставі необхідної умови екстремуму для функції однієї змінної маємо: .

Аналогічно доводиться, що .

Зауважимо, що обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з того, що у деякій точці частинні похідні функції перетворюються на нуль, не випливає наявність у цій точці екстремуму. Розглянемо, наприклад, функцію . Маємо і обидві ці похідні дорівнюють нулю у точці . Разом з цим екстремуму у цій точці нема. Дійсно, значення функції у цій точці . Зрушимось з цієї точки на скільки завгодно малу величину вздовж осі . Отримаємо . А якщо зрушимось на величину вздовж осі , то отримаємо: . “Графіком” цієї функції є гіперболічний параболоїд, і точка – його сідлова точка (див. розділ “Векторна алгебра і аналітична геометрія у просторі”).

З іншого боку екстремум може бути у тих точках, де похідні не існують. Наприклад функція має екстремум (саме мінімум) у точці , а похідні

у цій точці не існують.

У точці екстремуму вектор нормалі до поверхні напрямлений вздовж осі , оскільки перші дві його координати дорівнюють нулю (рис.15).

Таким чином, точки, у яких частинні похідні дорівнюють нулю, тільки можуть бути точками екстремуму, а гарантії в цьому нема. Такі точки називаються критичними. Як переконатися у дійсній наявності екстремуму у критичній точці. Відповідь на це дає наступнаа теорема, яку ми наводимо без доведення.

Теорема (достатні умови екстремуму). Нехай у критичній точці функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Якщо визначник

, то функція має в точці екстремум, а саме максимум, якщо , і мінімум, якщо .

Якщо , то екстремуму у точці немає.

Якщо , то екстремум у точці може бути, а може і не бути (так званий сумнівний випадок, і для встановлення наявності чи відсутності екстремуму тут необхідні додаткові дослідження).

Приклади.

Дослідити на екстремум функцію

.

1). Знайдемо критичні точки

.

Дорівнюючи ці похідні до нуля, отримуємо систему рівнянь:

Розв’язуючи цю систему, отримуємо дві критичні точки .

2). Перевіримо виконання у точках достатніх умов екстрему-

му. Маємо:

,

.

У точці маємо: – отже в цій точці екстремуму нема.

У точці маємо: – отже в цій точці є екстремум, а саме мінімум, оскільки . Значення функції у цій точці .

Дослідити на екстремум функцію

.

Критичною є тільки точка , оскільки .

У цій точці:

,

, отже , і виникає сумнівний випадок, теорема не дає відповіді. Але з самої функції видно, що , а у решті точок , отже у точці маємо мінімум.

14. Найбільше та найменше значення функції

в замкненій обмеженій області.

Відомо, що функція , задана і неперервна в замкненій та обмеженій області , досягає в цій області свого найбільшого та найменшого значень (2-а теорема Вейєрштрасса). У внутрішніх точках області диференційовна функція може набувати цих значень лише у точках локального екстремуму. Тому треба знайти всі критичні точки функції , які лежать всередині області . Для цього, як ми знаємо, треба знайти точки, в яких частинні похідні 1-го порядку нашої функції перетворюються на нуль, або не існують. Потім обчислити значення функції в цих точках. Далі треба знайти найбільше та найменше значення нашої функції на межі області . Використовуючи рівняння межі (на різних її частинах це можуть бути різні рівняння), цю задачу зводять до знаходження найбільшого та найменшого значень функції однієї змінної на деякому відрізку. Серед всіх здобутих таким чином значень обирають найбільше та найменше.

Приклади.

Знайти найбільше та найменше значення функції

в області , обмеженій прямими (рис. 16).

y

6 B

A

x

O 6

Рис. 16

Знайдемо критичні точки нашої функції. Маємо:

.

Дорівнюючи ці похідні до нуля і скорочуючи на і (всередині трикутника ), дістанемо систему рівнянь:

З цієї системи знаходимо: . Таким чином, маємо одну критичну точку , яка лежить всередині області . Значення функції у цій точці: .

Дослідимо тепер функцію на межі області . Рівняння сторін та трикутника є відповідно та , тому значення нашої функції дорівнює нулю в усіх точках відрізків і , зокрема . Розглянемо тепер відрізок . Його рівняння , тому тут .

Далі

, звідки . Всередині відрізка лежить точка . Значення функції у цій точці . Крім того .

Отже найбільше значення функції в області дорівнює , а найменше .

Переріз каналу має форму рівнобічної трапеції заданої

площі (рис. 17). Як обрати розміри так, щоб омита поверхня каналу була найменшою?

Шукана поверхня каналу буде найменшою, якщо найменшою буде величина .

Маємо:

.

Рис. 17

Оскільки , то

.

Звідси:

.

А тоді

.

З рис. 17 зрозуміло, що . Таким чином ми повинні функцію дослідити на найменше значення у області Функція неперервна в і приймає лише додатні значення , оскільки при . Знайдемо:

.

Ці частинні похідні існують у всіх точках області . Знайдемо точки, де дорівнюють нулю:

З другого рівняння цієї системи знаходимо: .

Підставляючи в перше рівняння, знайдемо :

.

Тоді

.

Легко переконатися, що у точці функція досягає саме найменшого значення (зробить це самостійно). Таким чином, шукані розміри:

.

Література.

Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. –К.:Вища школа,1993

Призва Г.Й, Плахотник В.В та ін. Вища математика. Основні розділи. За ред. Г.Л.Кулініча. – К.:Либідь, 2003.

Шипачёв В.С. Высшая математика. М.:Высшая школа, 1990.

Самнер Г. Математика для географов. М.:Прогресс, 1981

Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.:Наука, 1981.

Оскільки , то

.

Звідси:

.

А тоді

.

З рис. 18 зрозуміло, що . Таким чином ми повинні функцію дослідити на найменше значення у області Функція неперервна в і приймає лише додатні значення , оскільки при . Знайдемо:

.

Ці частинні похідні існують у всіх точках області . Знайдемо точки, де дорівнюють нулю:

З другого рівняння цієї системи знаходимо: .

Підставляючи в перше рівняння, знайдемо :

.

Тоді

.

Легко переконатися, що у точці функція досягає саме найменшого значення (зробить це самостійно). Таким чином, шукані розміри:

.

1 Шварц Карл Герман (1843–1921) – німецький математик.

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Скачать

ФБЗ 2.doc

ФБЗ 2.doc
Размер: 1.6 Мб

Бесплатно Скачать

Пожаловаться на материал

Похідна функції за заданим напрямом. Градієнт. Складені функції та їх диференціювання. Дотична площина і нормаль до поверхні. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Поняття про диференціальні рівняння у частинних похідних. Екстремум функції двох змінних. Найбільше та найменше значення функції.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Физиология

Общая физиология. Физиологические основы поведения. Высшая нервная деятельность. Физиологические основы психических функций человека. Физиология целенаправленной деятельности. Приспособление организма к различным условиям существования. Физиологическая кибернетика. Частная физиология. Кровь, лимфа, тканевая жидкость. Кровообращение. Дыхание. Пищеварение. Обмен веществ и энергии. Питание. Центральная нервная система. Методы исследования физиологических функций. Физиология и биофизика возбудимых тканей.

Экономическая сущность финансов

Признак финансов. Распределение и перераспределение стоимости. Финансовые отношения. Функции финансов. Сущность финансов проявляется в их функциях.

Классификация и свойства экосистем

Функциональные свойства и структура экосистемы.  Примеры экосистем.

Преступления в сфере компьютерной информации

Общая характеристика преступлений в сфере компьютерной информации . Виды преступлений в сфере компьютерной информации

План воспитательной работы с детьми, нуждающимися в оздоровлении

ПЛАН воспитательной работы с детьми, нуждающимися в оздоровлении, оздоровительного лагеря с дневным пребыванием детей государственного учреждения образования «Ижский учебно-педагогический комплекс детский сад – базовая школа» «Солнечная страна»

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok