Понятие случайной величины. Определение закона распределения случайной величины

Территория рекламы
12. Понятие случайной величины. Определение закона распределения случайной величины

Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате реализации которых случайным образом получается некоторое число. Например, при бросании игрального кубика выпадает число очков от 1 до 6, при взятии 6 карт из колоды можно получить от 0 до 4 тузов. За определенный промежуток времени (скажем, день или месяц) в городе регистрируется то или иное количество преступлений, происходит какое-то количество дорожно-транспортных происшествий. Из орудия производится выстрел. Дальность полета снаряда также принимает какое-либо значение случайным образом.

Во всех перечисленных испытаниях мы сталкиваемся с так называемыми случайными величинами.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.

Далее будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – соответствующими строчными x, y, z. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так: , , .

Итак, примерами случайных величин могут быть:

1) количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика:

2) число тузов, при взятии из колоды 6 карт;

3) количество зарегистрированных преступлений за день или месяц;

4) число попаданий в мишень при четырех выстрелов из пистолета;

5) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия;

6) рост случайно взятого человека.

Можно заметить, что в первом примере случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Во втором и четвертом примерах число возможных значений случайной величины пять: 0, 1, 2, 3, 4. В третьем примере значением случайной величины может быть любое (теоретически) натуральное число или 0. В пятом и шестом примерах случайная величина может принимать любое действительное значение из определенного промежутка (а, b).

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для задания случайной величины недостаточно перечислить ее всевозможные значения. Например, во втором и в третьем примерах случайные величины могли принимать одни и те же значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Однако вероятности, с которыми эти случайные величины принимают свои значения, будут совершенно разными. Поэтому для задания дискретной случайной величины кроме перечня ее всех возможных значений нужно еще указать их вероятности.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.

Определение. Случайной величиной, связанной  с данным опытом называется величина, которая при данном осуществлении данного опыта принимает то или иное числовое значение, заранее не известное какое именно.

Случайные величины обозначаются  Х, Y и т.д.

Примеры.

1) Опыт - бросается игральная кость один раз. Случайная величина Х - число выпавших очков. Множество значений случайной величины Х={1,2,3,4,5,6}.

2) Опыт стрельба по цели до первого попадания. Случайная величина Y  -  число израсходованных патронов – имеет множество значений {1,2,3,…}=N.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений.

Определение Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого промежутка.

Разные случайные величины могут иметь одно и тоже множество возможных значений.  Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину,  кроме множества значений необходимо указать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное своё значение.

Определение. Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Для дискретной случайной величины Х закон распределения может быть задан  виде таблицы.

В верхней строке перечисляются все возможные значения  случайной величины Х (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке указываются  вероятности  соответствующих значений:  - это вероятность того, что случайная величина Х принимает значение .

…(…)…(…)

Так как в результате каждого опыта  случайная величина Х обязательно  принимает только одно из значений: ,,…,,(…), то события  ,…,,(…) образуют полную группу попарно несовместных событий. Значит, .

Определение. Дискретная случайная величина Х считается заданной, если указано конечное или счетное множество чисел ,,…,,(…), и  каждому из них поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем .

Для наглядности закон распределения можно изобразить графически – на плоскости отмечаются точки с координатами  и соединяются отрезками. Полученная ломаная называется  многоугольником распределения случайной величины.

14. Законы распределения непрерывных случайных величин. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения

Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, для непрерывной случайной величины все её значения перечислить невозможно. Кроме того, каждое свое определенное значение непрерывная случайная величина принимает с нулевой вероятностью, поэтому непрерывная случайная величина характеризуется не вероятностями отдельных значений, а вероятностями того, что случайная величина принимает значение из некоторого интервала.

Пусть дана произвольная случайная величина Х. Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайная величина Х принимает значение, меньшее некоторого числа х: . Вероятность этого события является функцией от х и обозначается F(x). Таким образом,

.        (1)

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), определяемая вероятностью того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее х.

Следует отметить, что формула (1) связывает математический анализ (слева в формуле - функция одной действительной переменной) и теорию вероятностей (справа  - вероятность события).

Функцию F(x) иногда называют интегральным законом распределения случайной величины Х.

 Математическое ожидание дискретной случайной величины

В некоторых задачах теории вероятности не обязательно знать весь закон распределения. Их можно решать, оперируя только некоторыми числовыми характеристиками.

Основными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Пусть Х – дискретная случайная величина,  возможные значения которой  принимаются с вероятностями соответственно  , причем  .

Определение. Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной  величины  Х называется число

,                  (1)

равное сумме произведений возможных значений величины X на вероятности этих значений.

Причем если в правой части равенства (1) находится ряд, то он должен сходиться абсолютно (чтобы М[Х] было неизменным при перестановке столбцов в таблице распределения величины Х). Если ряд расходится, то М[Х] не существует. Смысл числа М[Х]: около числа М[Х] колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых величиной Х в больших сериях опытов.

Для непрерывной случайной величины нельзя применить определение  математического ожидания дискретной величины (вероятность каждого отдельного значения  непрерывной случайной величины равна нулю).

Определение. Пусть Х  – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности  . Если сходится интеграл , то математическим ожиданием непрерывной случайной величины  X называется число

.

 Таким образом, выяснен теоретико-вероятностный смысл параметра a, входящего в выражение для нормального закона: параметр а является математическим ожиданием величины  Х.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины совпадает с самой постоянной: .

Справедливость этого свойства очевидна, если рассмотреть постоянную величину как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение с вероятностью единица. Тогда .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М[cХ]=сМ[Х] .

Так как определение математического ожидания для дискретной случайной величины и для непрерывной случайной величины разное, то доказательство необходимо провести для каждой из этих величин отдельно.

Пусть X – дискретная случайная величина, то есть её закон распределения и закон распределения величины сХ можно представить в виде таблицы:

Значения Х…(…)Вероятность…(…)Значения сХсс…с(…)

Тогда .

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности :

.

3. Для любых случайных величин X и Y  .

                                       Дисперсия случайной величины

Различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание, которое характеризует среднее значение случайной величины.

 Чтобы охарактеризовать отклонение случайной величины от ее среднего значения (т.е. разброс значений этой величины), вводят другую ее числовую характеристику дисперсию (или рассеяние).

На первый взгляд наиболее естественно характеризовать рассеивание с помощью разности между случайной величиной и ее средним значением. Эта разность Х-М[Х] то же является случайной величиной называется отклонением. А если взять ее математическое ожидание М[Х] – М[М[Х]]= М[Х]- М[Х]=0

   

  Свойства математического ожидания:

Среднее значение отклонения получилось равным нулю, потому что положительное и отрицательное отклонения (т.е. отклонение в ту или иную сторону от среднего) взаимно уравновешиваются.

В действительности, степень рассеивания должна определяться его абсолютной величиной . Но с трудно ориентировать. Поэтому рассмотрим квадраты отклонения.

Определение: Дисперсией сложной величины х называется число D[Х]=  

   М[(Х-М[Х])2] (1)

Число  - называется средним квадратичным отклонением случайной величины х.

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения, то средний квадрат отклонения характеризует само отклонение, а точнее .

Свойства дисперсии:

10 D[cХ]=M[c-M[c]]2=(c-M[c])2•1=0

Дисперсия постоянной величины равна нулю.

           20 D[cХ]=c2D[Х]

          30 D[Х]=M[Х2]-M2[Х]       (2)

Формула (2) более удобна для вычисления дисперсии, чем формула (1).

           40 Х,  -  независимых случайных величин D[Х]=D[x]+D[]!

Заметим, что чем меньше дисперсия, тем лучше значения случайной величины характеризуется ее математическим ожиданием.

D[Х] и D[Y] проще было считать по формуле (2)

Таким образом, D[Х]=. Следовательно, смысл параметра , входящего в выражение для нормального закона, заключается в том, что  является средним квадратичным отклонением величины Х.

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Скачать

12, 14.doc

12, 14.doc
Размер: 175.5 Кб

Бесплатно Скачать

Пожаловаться на материал

Законы распределения непрерывных случайных величин. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Теории управления персоналом Тейлор

Тейлор разработал систему, которая является совокупностью методов распределения норм труда, организации и управления производством.

Отчет о прохождении производственной практики. Преподавание в области музыкальной деятельности

Правила предоствления гостиничных услуг

Правила предоставления гостиничных услуг в Российской Федерации (Утверждены постановлением Правительства Российской Федерации от 25 апреля 1997 г. № 490)

Актуальные тренды и направления сотрудничества между КНР и КСА

Цель дипломной работы – всесторонне раскрыть актуальные тренды и направления сотрудничества между КНР и КСА и их значимость в современном мире. Цель исследования осуществляется исходя этапности с исторического момента, то есть с момента установления первых дипломатических взаимоотношений между КНР и КСА и до наших дней.

Заходи протидії екстремальним явищам

Дисциплінарна відповідальність за посягання на майно і особу підприємця. Тестові завдання. Принцип компетентності. Суть інформаційно-аналітичної функції

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok