Теория вероятностей и математическая статистика

Манжиров А.В.

 Михин М.Н.

Теория вероятностей и математическая статистика

(решение задач)

Редактор: Выборнов А.Н.

Глава 1. Случайные события и их вероятности

§1. События. Действия с событиями

Рассмотрим основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.

Определение. Суммой событий  и  называется событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий  или .

Определение. Произведением событий  и  называется событие , состоящее в совместном (одновременном) наступлении этих событий.

Определение. Разностью событий  и  называется событие , состоящее в том, что событие  произошло, а событие  не произошло.

Определение. Событие, состоящее в том, что событие  не происходит, называется противоположным событию  и обозначается .

Определение. Событие  влечет событие  ( является подмножеством множества ), если из того, что происходит событие , следует, что происходит событие ; записывают .

Определение. Если одновременно  и , то в этом случае события  и  называют равносильными, при этом пишут.

Пример 4. Если — событие, состоящее в том, что взятое наудачу изделие первого сорта, а  — изделие качественное (не брак), то в том событие влечет событие : .

Свойства операций над событиями:

  •  ,  (коммутативность);
  •  ,  (дистрибутивность);
  •  ,  (ассоциативность);
  •  , ;
  •  , ;
  •  , ;
  •  , , ;
  •  ;
  •  ,  (законы де Моргана).

Определение. События  называют несовместными, если при наступлении одного из событий, второе  событие в данном испытании наступить уже не может.

Так, например, если при бросании игральной кости выпала грань «2», то это означает, что при том же бросании не могла появиться грань «4».

Определение. События  образуют полную группу событий, если в результате опыта, одно из событий обязательно происходит.

Например, при однократном бросании игральной кости полная группа попарно несовместных событий состоит из событий

,

которые состоят в выпадении 1,2,3,4,5,6 очков, соответственно.

Определение. Полная группа попарно несовместных, равновозможных событий образует множество элементарных исходов. Чаще всего в качестве элементарных исходов рассматривают множество простейших «неделимых» исходов некоторого опыта. Равновозможность означает намерение приписать исходам одинаковую вероятность. Здесь обычно руководствуются соображениями симметрии.

Элементарные исходы будем обозначать символами .

Определение. Пространством элементарных исходов называется множество всех элементарных исходов, которое будем обозначать символом .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Описать пространство элементарных исходов при подбрасывании монеты.

 Решение. Очевидно, что при подбрасывании монеты возможны два элементарных исхода:

— появление «герба»;

— появление «решки».

Таким образом, пространство элементарных исходов содержит два элемента

. 

Пример 2. Описать пространство элементарных исходов при подбрасывании игрального кубика.

 Решение. Очевидно, что при подбрасывании игрального кубика элементарными исходами является число, выпавших очков, т.е.

— выпало ровно  очков;   .

Таким образом, пространство элементарных исходов содержит шесть элементов

или . 

Пример 3. На отрезке  случайным образом отмечается точка. Описать пространство элементарных исходов.

 Решение. В этом случае результатом является координата , удовлетворяющая условию . Очевидно, что координата  меняется непрерывно, пространство элементарных исходов имеет вид

.

Пространство элементарных исходов имеет бесконечно много элементов. 

Определение. Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти.

Достоверное событие обозначают символом , так как оно состоит из тех же элементарных исходов, что и пространство элементарных исходов. Событие, состоящее в появлении менее 7 очков при бросании игрального кубика, является достоверным.

Определение. Событие называется невозможным, если в результате опыта оно не может произойти.

Невозможное событие обозначают символом . Событие, состоящее в появлении 7 очков при бросании игрального кубика, является невозможным.

Замечание. Каждое случайное событие   можно рассматривать как некоторое подмножество множества .

Определение. Элементарные исходы, принадлежащие подмножеству , называются благоприятствующими событию .

При наступлении каждого элементарного исхода благоприятствующего событию , наступает и само событие , то есть каждый благоприятствующий  исход влечет событие .

Замечание.

Элементарными исходами суммы событий  являются элементарные исходы, принадлежащие хотя бы одному из событий  и .

Элементарными исходами произведения событий  являются те элементарные исходы, которые одновременно принадлежат событиям  и .

Элементарными исходами разности событий  являются те элементарные исходы события , которые не принадлежат событию .

Элементарными исходами противоположного события  являются те элементарные исходы, которые не принадлежат событию .

§2. Общее определение и свойства вероятности

Определение. Вероятностью  события  называется функция, определенная на пространстве элементарных исходов и удовлетворяющая трем условиям:

  •  Для каждого события

(условие неотрицательности);

  •  Для достоверного события

(условие нормировки);

  •  Если , то

(теорема сложения для несовместных событий).

Свойства вероятности:

  1.  Вероятность события , противоположного событию , равна

.

Доказательство. Используем очевидное свойство суммы противоположных событий  . Тогда, используя условие нормировки и теорему сложения для несовместных событий, получим:

,

Из двух последнего равенства следует, что

. 

  1.  Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

Доказательство. Используем очевидное свойство  и теорему сложения для несовместных событий, получим:

,

откуда и следует данное свойство. 

  1.  Если событие  влечёт за собой событие  , то

.

Доказательство. Представим событие  в виде суммы двух несовместных событий , .

Используя теорему сложения для несовместных событий, получим:

. 

  1.  Для каждого события , справедливо неравенство

.

Доказательство. Данное свойство следует из условий нормировки и теоремы сложения для несовместных событий. 

ГЛАВА 2. Классическая и геометрическая вероятности

§1. Классическое определение вероятности

Рассмотрим опыт с бросанием монеты. Пространство элементных исходов  содержит два элементарных исхода:

— появление «герба»;

— появление «решки».

В силу того, что монета симметрична, нельзя предпочесть «герб» «решке» (или наоборот). Следовательно, обоим элементарным исходам необходимо сопоставить одинаковую вероятность . Далее очевидно, что

.

Откуда получаем:

.

Рассмотрим общий случай. Пусть пространство  состоит из  всевозможных равнозначных исходов . Теперь каждому элементарному исходу  поставим в соответствие вероятность .

Далее рассмотрим некоторое событие , которому соответствует ровно  (благоприятных) элементарных исходов .

Положим

. (2.1.1)

Таким образом, в классической схеме вероятность любого события определяется как отношение числа  благоприятных для события  элементарных исходов к общему числу элементарных исходов .

Пример 1. В урне находятся  белых и  черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый (событие ).

 Решение. Число всевозможных исходов равно

.

Число благоприятных исходов равно

.

Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем

. 

Пример 2.  Имеются две урны: в первой –  белых  и  черных шаров; во второй –  белых и  черных шаров. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми (событие А).

 Решение. Каждый  шар из первой урны может комбинировать с каждым шаром из второй урны. Следовательно, число всевозможных исходов:

.

Аналогично, число благоприятных исходов:

.

Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:

. 

Пример 3. Из колоды карт (36 листов) наудачу выбирается одна карта. Определить вероятность того, что она окажется тузом (событие А).

 Решение.  Число всевозможных исходов равно:

.

Число благоприятных исходов равно числу тузов, т.е.

.

Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:

. 

§2. Применение комбинаторного анализа

Теорема. Из  элементов  и  элементов  можно образовать  пар .

Доказательство. Составим из этих пар прямоугольную таблицу, состоящую из  строк и  столбцов, так, чтобы пара  стояла на пересечении i-ой строки и j-го столбца. В этом случае каждая пара появляется один и только один раз. Число элементов такой таблицы равно . 

Пример 4. Найти число всевозможных исходов при бросании двух игральных костей.

 Решение. Очевидно, что каждый элемент пары принимает шесть значений. Следовательно, существует  возможных комбинаций. 

Определение. Перестановкой из  различных элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Теорема.  Число различных перестановок из  различных элементов вычисляется по формуле:

. (2.2.1)

Доказательство.  Первый элемент можно выбрать  способами, второй элемент можно выбрать  способами (т.к. один элемент уже выбран), третий —  способами и т.д. В итоге получим:

. 

Определение. Размещением из  различных элементов по  называется любой упорядоченный набор из  элементов, выбранных из общей совокупности в  элементов.

Теорема. Число различных размещений из  элементов по  вычисляется по формуле:

. (2.2.2)

Доказательство. Данная теорема доказывается аналогично предыдущей теореме.

Определение. Сочетанием из  различных элементов по  называется любой неупорядоченный набор из  элементов, выбранных из общей совокупности в  элементов.

Теорема. Число сочетаний из  элементов по  вычисляется по формуле:

. (2.2.3)

Доказательство.  Число сочетаний отличается от числа размещений только тем, что входящие в него элементы неупорядочены;  различных элементов можно упорядочить  способами. Следовательно, каждому размещению  соответствует  сочетаний. Отсюда:

или . 

Способ выбора, приводящий к перестановкам, размещениям и сочетаниям, называется выборкой без возвращения.

Рассмотрим выборку с возвращением. В этом случае каждый взятый элемент из общей совокупности возвращается обратно. Таким образом, один и тот же элемент может быть выбран несколько раз.

Теорема. Число выборок  элементов с возвращением из  различных элементов равно .

Доказательство.  Первый элемент может быть выбран  способами, второй также  способами и т.д. В итоге

. 

Пример 5. (Гипергеометрическое распределение). Предположим, что имеются  шаров:  красных и  черных. Случайным образом выбираются  шаров. Найти вероятность того, что выбранная группа будет содержать ровно  красных и  черных шаров (событие А).

 Решение.  Число способов, которыми можно выбрать,  красных шаров из  шаров ровно . Аналогично, число способов, которыми можно выбрать  черных шаров из  равно . Так как любой выбор красных шаров может комбинировать (составлять пару) с любым выбором черных шаров, имеем число благоприятных исходов, равное .

Число всевозможных исходов равно .

Используя классическое определение вероятности, получаем:

. 

Теорема. Пусть  — целые числа, такие, что . Число способов, которыми множество из  элементов можно разделить на  упорядоченных подмножеств, из которых первое подмножество содержит  элементов, второе –элементов и т.д., равно

. (2.2.4)

Доказательство. Прежде чем доказывать теорему, заметим, что порядок подмножеств существенен в том смысле, что  и  представляет собой разные разбиения; однако, порядок элементов внутри групп игнорируется.

Перейдем к доказательству теоремы. Сначала необходимо выбрать  элементов из ; из оставшихся  необходимо выбрать  элементов и т.д. Получаем:

.

Пример 6. Колода карт (52 листа) делится поровну между четырьмя игроками. Найти вероятность того, что каждый игрок имеет туза (событие А).

 Решение. Используя (2.2.4), найдем число всевозможных исходов:

.

Найдем число благоприятных исходов. Четыре туза можно упорядочить  способами, и каждый порядок представляет одну возможность получения одного туза каждым игроком. Оставшиеся 48 карт, согласно (2.2.4), можно распределить  способами. Таким образом, число благоприятных исходов равно .

Следовательно, искомая вероятность равна

. 

Пример 7. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу несколько карт. Какое минимальное число кар нужно вынуть, чтобы с вероятностью, большей чем , можно было утверждать, что среди них будут карты одной масти.

 Решение. Рассмотрим события  — среди вынутых карт есть хотя бы две карты одной масти. Пусть . В этом случае число всевозможных исходов равно . Число благоприятных исходов получаем следующим образом: выбираем масть (4 способа), затем две карты этой масти , т.е. .

Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:

.

Пусть . В этом случае число всевозможных исходов равно . Число благоприятных исходов получаем следующим образом: у нас либо две карты одной масти, либо три карты одной масти, т.е.

.

Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:

.

Таким образом, необходимо вынуть три карты. 

§3. Геометрическое определение вероятности

Пусть теперь рассматривается непрерывная вероятностная схема, т.е. пространство элементарных исходов представляет собой некоторую ограниченную область (отрезок, круг, шар и т.д.) k

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Файл

Теория вероятности решение задач.doc

Теория вероятности решение задач.doc
Размер: 4.2 Мб

.

Пожаловаться на материал

Теория вероятностей и математическая статистика (решение задач). Случайные события и их вероятности. События. Действия с событиями. Общее определение и свойства вероятности. Классическая и геометрическая вероятности. Классическое определение вероятности. Применение комбинаторного анализа.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Тлумачення норм права

Підготовки фахівців для підрозділів слідствата кримінальної міліціїкурсова робота з навчальної дисципліни: «Теорія Держави та Права»

Раздел «Охрана природы» должен содержать элементы нормативно-правовой базы, существующей в стране

Утверждения должны содержать ссылки на законы и прочие нормативные документы. Следует учесть при постановке задачи раздела «Охрана природы»

Росія - СРСР

Travel фотографія

Реферат з дисципліни «Сучасні тенденції фотомистецтва». Туристична фотографія - це жанр фотографії, предметом якого є враження мандрівника і те, що він спостерігає в ході подорожей

Библиотековедение и библиография.

Учебно-методический комплекс по учебной дисциплине для специальности первой ступени высшего образования. Информационная культура личности Факультет информационно-документных коммуникаций Кафедра теории и истории информационно-документных коммуникаций

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok