Сигнали і їх спектри

СИГНАЛИ І ЇХ СПЕКТРИ

З допомогою радіоелектронних пристроїв і ЕОМ найбільш часто виконуються задачі пов’язані з передачею, отриманням і обробкою інформації. Фізичний процес – носій інформації – наз. сигналом. У комп’ютерній техніці і в техніці зв’язку сигнал – це змінюючий в часі електричний струм або напруга. Аналітичний опис сигналу дає  деяка дійсна або комплексна ф-ія часу. Ми розглядаємо детерміновані С, значення яких точно відомі у любий момент часу. Результати одержані для детермінованих С дуже часто використовують і для аналізу випадкових С.   

Детермінованими С  є аналогові С, які мають значення в любій точці вісі часу. Наприклад, послідовність імпульсів – є аналоговий С. У проміжках між імпульсами значення С задано і рівне нулю.

Дискретні С, які задані на рахунковій множині часових точок, які , як правило, рівномірно розміщені на вісі часу. Провівши квантування дискретного С, ми отримаємо відліки або точки, які утворюють цифровий С.

Періодичнi С, це С які повторяються через інтервал часу Т, який наз періодом. f(t)=f(t+T).

Всі С можно розділити на прості і складні. До простих С відносяться гармонічний струм і напруга, окремий випадок гармонічного С – постійна напруга та струм, випробувальні С: одинична ф-ія 1(t) і дельта ф-ія δ(t).

Одинична ф-ія при t>0 рівна одиниці, а при  t<0  -  нулю.

1,  t>0  

1(t)= 0,  t<0  

В т. розриву при t=0  одинична ф-я визначається, в основномy , як рівна 0,5.

Дельта ф-я визначається виразом

На рис показано графіки зміщення на час τ одичної та дельта ф-ій.

Складні С – мовні , цифрові, телевізійні, радіолокаційні і т.д.

Ми вже не один раз записували ф-ли за допомогою яких розкладали ф-ію в дійсний чи комплексний ряд Фур’є  і визначили зв’язок між комплексними і дійсними коефіцієнтами ряду Фур’є. Сукупність коефіцієнтів Ск  чи Ак  наз. спектральною характеристикою або просто спектром сигналу. Спектр С дає повне і точне описання довільного С з допомогою рахованої множини коефіцієнтів Ск. Для множини С набори коефіцієнтів Ск у свою чергу утворюють дійсний або комплексний числовий простір, причому скалярні добутки у функціональному і числовому просторах одинакові.

Ми знаємо, що ряд Ф використовується, якщо С поданий на обмеженому часовому відрізку [0, Т], або він є періодичним з періодом Т. При цьому ф-ія f(t)  повинна задовільняти умовам Діріхле  - період ф-ії Т можно розбити на кінцеве чuсло інтервалів, в яких ф-ія монотонні і неперевна; в любій точці розриву існують границі зліва і справа. Реальні С . як правило, задовільняють цим вимогам. Ряд Ф записується в різних видах, але вихідною формою є математична форма ряду. яка приводиться у всіх довідниках:

Запишемо зв’язок між дійсними і компл. коефіц. ряду Ф.

Від’ємним к  в комплексній формі ряду Ф відповідають від’ємні частоти комплексного гармонічного С еіωкt . Вектор, який зображує комплексний гармонічний С на комплексній площині, обертається при k<0 по годинниковій стрілці, а при     k >0  - проти год. стрілки. Спектр С стає двохстороннiй: для кожної гармоніки з додатньою частотою є гармоніка –дублер з від’ємною частотою. Виключенням є лише постійна складова – для неї нема дублера. При використанні гармонічної базисної системи спектр С розділюється на амплітудний – сукупнсть Ак або модулів Ск , і фазовий спектр – множина φк початкових фаз гармонік. Із-за наявності дублерів при к≠ 0 амплітуда |Ск|= Ак/2 і тільки при к=0 маємо С0=А0.

Односторонній (фізичний) амплітудний спектр, який виникає при використанні радіотехнічної форми ряду Ф ми бачимо на рис. Бачимо, що спектр має лінійчатий або дискретний характер. Такий спектр відображає той факт, що нескінченний простір аналогових С перетворено в дійсний простір де є в загальному випадку нескінченна, але рахована множина коефіцієнтів ряду Ф. Лінійчатим буде і фазовий спектр періодичного С.

Приклад. Знайдемо спектр періодичної послідовності імпульсів, які зображені на рис.  Амплітуда - Sm, протяжність імпульсів - τ , період повторення  -   T.  Ми вже обраховували Ск (компл.коефіц) і отримали  комплексні амплітуди гармонік ряду Ф   :

  Ck= Smτ/T* sin(kωτ/2)/ kωτ/2   (1)

Ми отримали дійсні значення амплітуд Ск, які на деяких частотах можуть бути відємними. У цьому випадку початкові фази гармонік рівні ±180 градусів. На рис. показано двухсторонній амплітудний і фазовий спектри періодичного сигналу. В амплітудному спектрі міститься постійна складова, величина якої рівна   

  С0= Smτ/T

і нескінченне велике число гармонік з кратними частотами.

Амплітуди деяких гармонік можуть бути рівні нулю, якщо на частоті kω, синус у ф-лі  (1) буде =0. Початкова фаза гармонік або дорівнює 0, якщо Ck>0  , або рівна ±180 градусів , якщо Ck<0.

Якщо розкласти С у ряд Ф і проаналізувати його спектр, то  можемо виявити особливості С, які не були помічені раніше.

Експериментти показали, що гармоніки в ряді Ф реально існують. Їх можна виділити і виміряти з допомогою вимірювального приладу – аналізатора спектру. Аналізатор спектру складається із множини фільтрів (див. рис.). По потужності С на виході фільтру, що пропускає С тільки певної частоти можемо визначити, яка доля цієї частотної складової міститься у С. Встановивши фільтри різних частот ми одержуємо спектр усього сигналу в цілому. Або ще така проста схема аналізатора спектру – в якості основного елементу стоїть коливальний контур або смуговий фільтр з високою вибірковою здатністю і можливістю перестроювати центральну частоту. До вихідних зажимів фільтра підключається чутливий індикатор –

це може бути мілівольтметр чи осцилограф. Центральна частота фільтра перестрoюється автоматично. При співпаданні частоти гармоніки, яка міститься у вхідному сигналі, з центральною частотою фільтра індикатор показує амплітуду окремої гармоніки в ряді Фур’є.

У теперішній час загальноприйнятими стали методи обробки С з допомогою комп’ютерів. Oцифровані С у вигляді послідовності цифрових значень вводять у комп’ютер і провівши відповідні обчислення отримують коєфіцієнти Фурє. Обробка цифрових  С  з допомогою К у порівняні з методом отримання спектрів з допомогою електронних засобів і устyпає у швидкості, але сильно виграє у степені точності. Ввівши у К сигнал у вигляді цифрових даних, то в залежності від програми з допомогою якої проходить обробка С, можно провести згладжування С, отримати частотний спектр чи автокорреляцію. Тобто техніка обробки цифрових С дає можливість реалізувати різні види обробки. Існує дуже багато різновидів інтегральних схем, які реалізубть алгоритми обробки С і якраз завдяки цьому обробка С цифровими методами стала загальноприйнятою.

Модульовані сигнали та їх спектри

В пристроях зв’язку і в комп’ютерних мережах широко використовується частотний принцип розділення сигналів. У відповідності із цим принципом сигналам відводяться вузькі смуги які не перекриваються із усього діапазону частот, який відводиться системі передачі інформації. З допомогою вузькосмугових сигналів легко можна організувати передачу інформації від великого числа джерел до великого числа отримувачів, і при цьому джерела не будуть мішати одне одному.

Крім частотного принципу у зв’язку використовується і часовий принцип розділення сигналів, коли кожному сигналу відводиться невеликий проміжок часу із деякого великого повторюючогося часового інтервалу, відведеного множині повідомлень. Такий принцип розділення часто використовується в телефонії.

Частотний принцип використовується в радіо- і телебаченні, в пристроях мобільного зв’язку, при передачі інформації з допомогою модемів.. Більшість вузькосмугових сигналів. розміщені в області високих частот системи зв’язку і є високочастотними коливаннями. Дуже важлива перевага високочастотних сигналів в тому, що вони добре випромінюються невеликими по розміру антенними пристроями і можуть поширюватись на великі відстані.

Голосові  і музикальні сигнали, відеосигнали,  сигнали які містять цифрову інформацію і т.д. є відносно низькочастотними сигналами. Їх спектр займає діапазон відносно низьких частот. який починається поблизу нуля і закінчується деякою верхньою частотою. Телефонний голосовий сигнал займає діапазон частот від 300 Гц до 3400 Гц.

Проблема передачі інформації, що міститься в багатьох низькочастотних сигналах. з допомогою великої кількості вузькосмугових каналів звязку з різними частотами вирішується використанняи модульованих сигналів.

 Модульований сигнал  - це вузькосмуговий сигнал, параметри якого змінюються пропорційно низькочастотному інформаційному сигналу. Як правило, модульований сигнал є високочастотним коливанням. Для отриманна модульваного сигналу використовується гармонічний сигнал  у(t)= Um cos( ω0t + φ0)  який в даному випадку наз. несучим коливанням (несучою частотою). Інформація вноситься в несуче коливання з використанням модуляції  -  зміни деякого із параметрів високочастотного коливання пропорціонально низькочастотному сигналу s(t). Розрізняють три основні види модуляції.

При амплітудній модуляції (АМ) амплітуда сигнала змінюється прямо пропорційно низькочастотному інформаційному сигналу s(t).

Um(t)= Um0  +  kAMs(t)   (1)

Тут Um0  - початкове значення амплітуди несучого колив.,  kAM  - коефіцієнт, що залежить від конструкції амплітудного модулятора. По визначенню амплітуда гармонічного сигналу є додатньою величиною і тому в модуляторі Um0   і     kAM    повинні бути такими, щоби завжди Um(t)≥ 0.  Інакше виникне перемодуляція.

Враховуючи (1), сигнал з АМ записується слідуючим чином

yAM(t) = [Um0  +  kAMs(t)] cos(ω0t + φ0)   (2) φ0-початкова фаза.

Для аналізу амплітудної модуляції зручно використовувати самопросте повідомлення  -  гармонічний сигнал s(t) = Smcos(Ωt +ψ)(рис.а).  Тоді формула (2) прийме слідуючий вид

yAM(t) = Um0[ 1  + m cos(Ωt +ψ) ] cos(ω0t + φ0)        (3)

m=kAMSm/Um0  - коефіцієнт амплітудної модуляції

На  рис. показані модульовані сигнали з коефіцієнтами АМ рівними m=0,5 і m= 1. При стопроцентній АМ (m= 1) ми маємо максимальні зміни АМ сигналу: амплітуда змінюється від нуля до подвійного значення.

Використовуючи тригонометричну формулу для добутку косинусів, вираз (3) можна переписати у слідуючому виді:

yAM(t) = Um0 cos(ω0t + φ0) + 1/2  m Um0 cos((ω0 +Ω)t + φ0 +ψ) +  

1/2  m Um0 cos((ω0  - Ω)t + φ0 - ψ)       (4)

Всі три доданки у правій частині формули (4) – гармонічні коливання, перший доданок являє собою вихідне немодульоване коливання(несуче), другий і третій доданок наз. відповідно верхня і нижня бокова складова. Формула (4) дає спектральний розклад АМ-коливання. Амплітудний спектр АМ сигналу ми бачимемо на 2а рис. Ширина спектру цього АМ-коливання рівна подвійній частоті модулюючого сигналу.    

Якщо модуляція здійснюється складним періодичним сигналом, у спектрі якого міститься багато гармонік, то кожна із цих гармонік дасть дві бокові складові у спектрі модульованого сигналу. У спектрі появляться верхня і нижня бокові смуги так як ми бачимо на рис.2б. Ширина спектра буде  визначатися модулюючою гармонікою з максимально високою частотою. Аналогічні результати ми отримаємо і для складного неперіодичного сигналу, використовуючи теорему про спектр сигналу помноженого на комплексний гармонічний сигнал.

Необхідно відмітити, що обі бокові складові несуть повну інформацію про низькочастотний модульований сигнал. Тому в техніці звязку часто використовують сигнали з однією боковою смугою (ОБС-сигнали). Нижня бокова смуга виділяється з допомогою фільтра. Друга бокова смуга (іноді сюди включають і несучу) подавляється. ОБС- сигнали займають меньшу полосу частот і при однакових інших умовах вони потребують меншої потужності передатчика.

 Фазова модуляція (ФМ)  -  це зміна початкової фази високочастотного сигналу прямо пропорційно низькочастотному сигналу:

φ(t) = kфм s(t) + φ0,    (5)

де kфм – коефіцієнт, що залежить від конструкції фазового модулятора,

φ0  -  початкова фаза. На практиці найбільш часто використовується чодуляція з великим відхиленням фази від початкового значення.

З врахуванням (5) повна фаза (аргумент косигуса) при ФМ буде рівна

Ф(t) = ω0t + kфмs(t) + φ0.   З аналізу цієї ф-ли слідує, що швидкість збільшення повної фази при ФМ не рівна частоті несучої ω0  , але поняття частоти при ФМ потребує деякого уточнення.

Митєвою частотою сигнала наз. похідну ω(t) = dФ(t)/dt. У ідеального гармонічного сигналу миттєва частота постійна: ω(t) = ω0 . При ФМ миттєва частота дорівнює ω(t) = ω0 + kфм [ds(t)/dt]. Із ції формули слідує, що при ФМ в загальному випадку виникає зміна миттєвої частоти сигналу.

При частотній модуляції (ЧМ) миттєва частота високочастотного С змінюється прямо пропорційно низькочастотному С:

ω(t) = ω0 + kчмs(t)  (6)

де kчм  -  коефіцієнт, який залежить від конструкції частотного модулятора. Графік С з ЧМ при гармонічному модулюючому  С має слідуючий вид рис.б.

Амплітуда С з ЧМ не змінюється.  Збільшення рівня модулюючого С викликає збільшення миттєвої частоти С. На рис.б цьому відповідає збільшення числа максимумів і мінімумів коливання на фіксованому відрізку. При зменшенні миттєвої частоти С збільшується період квазігармонічного С. Необхідно відмітити, ща графік (б) буде відповідати С з фазовою модуляцією  -  при ФМ виникає чармонічна ЧМ. Крива (а) в цьому випадку відповідає похідній від модулюючого С.  Другий доданок у ф-лі (6), який містить С -s(t)  , як правило, набагато менший частоти несучої ω0. Тільки в такому випадку модульований С буде відносно вузькосмуговим і не буде мішати іншим модульованим С.

При ЧМ повна фаза С визначається по ф-лі

Ф(t) = ∫ω(τ)dτ +  φ0 = ω0t + kчм ∫s(τ)dτ +  φ0  

Бачимо, що при ЧМ в загальному випадку змінюється початкова фаза С. Скоріше ми відмічали, що при ФМ є зміни миттєвої частоти. Тому ФМ і ЧМ -  два тісно повязані один з одним типи модуляції, які відносять до кутової модуляції (КМ). Так як при модуляції високочастотний С близький до ідеального гармонічного С, то модульований С наз. також квазігармонічним С. Модульований С з ФМ записують слідуючим чином:

 

 уФМ(t) = Um0 cos[ω0t + kФМ s(t) +  φ0  ] (7)

Якщо у ф-лі (7) С   s(t) = SmcosΩt , то тоді

 уФМ(t) = Um0 cos(ω0t + βcosΩt +  φ0  )  (8)

де β= Sm kФМ  -   індекс фазової модуляції. Цей індекс у (8) -  основний показник С з гармонічною ФМ. У системах звязку, як правило. використовуються модульовані С з великим значенням індекса фазової модуляції  β>>1.

Модульований С з ЧМ  із використанням поняття миттєвої частоти, можна записати у слідуючому вигляді:

    уЧМ(t) =  Um0 cos(ω0t + kчм ∫s(τ)dτ +  φ0  )   (9)

Якщо для модуляції використати простий С s(t) = SmcosΩt  , то

ω(t)= ω0 + ∆ω cosΩt  де   ∆ω= kчмSm   і наз. девіацією частоти, яка рівна максимальному відхиленню миттєвої частоти ω(t) від  ω0.  Девіація частоти ∆ω  -  основний показник С з гармонічною ЧМ. Ф-ла (9) при гармонічній ЧМ має вигляд:

      уЧМ(t) =  Um0 cos(ω0t + ∆ω/Ω sinΩt  +  φ0  )   (10)

Тобто, при гармонічній ЧМ виникає гармонічна ФМ з індексом β=∆ω/Ω.

Для визначення спектра С з гармонічною (кутовою) КМ  використаємо ф-лу (8) для С з ФМ. Вираз (10) теж можна було би використати для розрахунку спектра С з КМ лише необхідно синус поміняти на косинус з додатковою початковою фазою = 90о.

Для полегшення обчислень спектру з КМ початкову фазу φ0 у (8) приймемо =0. Використавши тригономeтричні відношення для косинуса суми двох кутів, ф-лу (8) можна записати слідуючим чином:

 уФМ(t) = Um0 cos(ω0t)cos( βcosΩt)  - Um0 sin(ω0t)sin( βcosΩt)   )  (11)

В теорії бесселевих функцій доказано, що

cos( βcosΩt)   і    sin( βcosΩt)  можна записати через бесселеві ф-ії.

cos( βcosΩt) =J0(β) - 2 J2(β)cos2Ωt + 2 J4(β)cos4Ωt - .......

sin( βcosΩt)  =2 J1(β)cosΩt - 2 J3(β)cos3Ωt + 2 J5(β)cos5Ωt + 2 J7(β)cos7Ωt - ....

Де Jn(β) – бесселева ф-ія першого роду n  -ого порядку. Графіки перших восьми ф-ій Бесселя приведені на рис.

Тоді для визначення спектру С з гармонічною КМ  із використанням бесселевих ф-ій і враховуючи ф-ли для добутку тригонометричних ф-ій отримаємо:

уКМ= J0(β)Um0cos(ω0t) – J1(β)Um0sin(ω0 + Ω)t  - J1(β)Um0sin(ω0 - Ω)t 

 

  •  J2(β)Um0cos(ω0 +2 Ω)t  - J2(β)Um0cos(ω0 +2 Ω)t  +  J3(β)Um0sin(ω0 + 3Ω)t  + 

J3(β)Um0sin(ω0 -3Ω)t  + J4(β)Um0cos(ω0 + 4Ω)t  + J4(β)Um0cos(ω0 - 4Ω)t  -  ...

Значить при ФМ спектр коливань містить несучу і нескінчене число гармонічних складових, розміщених симетрично відносно несучої частоти.  При використанні ф-ли (10) спектр ЧМ-С буде відрізнятися від ФМ-С тільки початковими фазами окремих спектральних компонент.   

Амплітуда несучої і амплітуда бокових складових у спектрі С з КМ визначається ф-іями Бесселя. Якщо індекс КМ β<1, то J0(β)≈1 і J1(β)≈ 0,5 β. Інші ф-ії Бесселя будуть дуже малі і в цьому випадку у ф-лі 13 залишаються тільки дві бокові гармоніки і спектр коливання з КМ подібний на спектр з ФМ. Ширина спектру сигналу при β<1 приблизно рівна 2 Ω (див рис.)

Якщо індекс β>1, то додаткові бокові складові утворюють верхню і нижню бокові смуги. Причому Ампл. несучої зменшується, а при β≈2,4 , 5,5 , 8,7 і т.д. ця амплітуда рівна нулю. У цьому випадку вся енергія модульованого С міститься в бокових складових. Ампл. спектр коливання з КМ при  β≈2,4 і 5 приведений на рис.  Із аналізу спектрів виходить. що ширина спектру С з інтенсивною кутовою модуляцією при β>1 приблизно рівна подвійній девіації частоти, тобто (2∆ω).

Відмітимо. що використання КМ з великим індексом β дозволяє отримати збільшену стійкість до різного тиnу перешкод при передачі складних повідомлень. С з КМ менше підаються впливу імпульсних перешкод, які виникають в промислових електроустановках, при бурях, в транспорті з електричним живленням і т. д. Тому фазова і частотна модуляції в теперішній час широко використовується в радіомовленні, в космічному зв’язку, в пристроях сотового зв’язку і в інших система передачі інформації з малим спотворенням.

Для збільшення швидкості передачі повідомлень у сучасних системах зв’язку і передачі інформації використовуються змішані види модуляції.

9

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Файл

Модул.сигнали.doc

Модул.сигнали.doc
Размер: 899 Кб

.

Пожаловаться на материал

Модульовані сигнали та їх спектри. З допомогою радіоелектронних пристроїв і ЕОМ найбільш часто виконуються задачі пов’язані з передачею, отриманням і обробкою інформації.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Изучение проблем наркомании и описание форм и методов социальной работы с наркозависимыми людьми

Курсовая работа. Наркомания как социальная проблема. Понятие, формы и причины наркомании. Социальные последствия наркомании. Формы и методы социальной работы с наркозависимыми людьми. Направления социальной работы по профилактике наркомании. Реабилитация наркозависимых людей средствами социальной работы.

Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Технология туроператорской и турагентской деятельности»

Понятие туристского рынка. Дайте опредление терминам «туроператор», «турагент», «турист» Сущность туроператорской деятельности. Роль туроператора в составлении тура. Классификация и функции туроператоров

Намаз оқудың дұрыс үлгісі (таң намазының парызы).

Языкознание

Языкознание как научная дисциплина Фонетика и фонология Лексикология Грамматика

Превращение энергии при механических колебаниях. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс

Определение  колебательного  движения. Свободные колебания. Превращения энергии. Вынужденные колебания.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok