Анализ цепей постоянного тока методом эквивалентного генератора

Практическое занятие 5

5. Анализ цепей постоянного тока методом эквивалентного генератора

1. Основные теоретические сведения

Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца – Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны.

Теорема Гельмгольца-Тевенена формулируется следующим образом: любая электрическая цепь, имеющая два вывода и состоящая из комбинации источников напряжения, источников тока и резисторов (сопротивлений), с электрической точки зрения эквивалентна цепи с одним источником напряжения E и одним резистором R, соединенными последовательно.

Часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами называется двухполюсником.

Двухполюсники, не содержащие источников, называются пассивными. На эквивалентной схеме пассивный двухполюсник может быть заменен одним элементом - внутренним или входным сопротивлением пассивного двухполюсника Rвх. На рис. 1, а условно изображен пассивный двухполюсник, а на рис. 1, б − его эквивалентная схема.

а б

Рис. 1. Условное графическое изображение пассивного двухполюсника (а) и его схема замещения(б)

Двухполюсники, содержащие источники энергии, называются активными. На рис. 2, а показано условное обозначение активного двухполюсника.

Рис 2. а – активный двухполюсник, б – эквивалентный генератор как источник ЭДС (напряжения), в – эквивалентный генератор как источник тока

Общий подход к анализу электрических цепей методом эквивалентного генератора состоит в следующем.

Дана электрическая цепь. Необходимо определить ток I1 в ветви с сопротивлением R1 в этой цепи. Выделим эту ветвь, а оставшуюся часть схемы заменим активным двухполюсником (см. рис. 2, а).

Выбор схемы замещения эквивалентного генератора определяется схемой цепи, в которой рассчитывается ток.

Если эквивалентный генератор представляется источником ЭДС (рис. 2, б), то искомый ток I1 в заданной ветви определяется по закону Ома:

.

Если эквивалентный генератор представляется источником тока (рис. 2, в), ток в заданной ветви находится по правилу "чужого сопротивления":

.

Если в заданной ветви, кроме резистора, есть источник ЭДС и для расчета используется последовательная схема замещения эквивалентного генератора (рис. 3), при этом

Рис. 3. Последовательная схема замещения эквивалентного генератора

ток можно определить из выражения

.

ЭДС Е1 учитывается с положительным (отрицательным) знаком, если напряжение Uхx и ЭДС Е1 совпадают (противоположны) по направлению.

В приведенных формулах Uхx − напряжение холостого хода активного двухполюсника на зажимах ветви, в которой определяется ток; IK − ток короткого замыкания активного двухполюсника при закороченной заданной ветви; RBX − входное сопротивление пассивного двухполюсника, найденное относительно зажимов заданной ветви; R1 − сопротивление заданной ветви.

Параметры эквивалентного генератора (напряжение холостого хода и входное сопротивление) можно определить экспериментально или расчетным путем.

Для определения параметров эквивалентного генератора экспериментальным путем необходимо выполнить опыты холостого хода и короткого замыкания.

При проведении опыта холостого хода от активного двухполюсника отключают сопротивление R1, ток I1 в котором необходимо определить. К зажимам двухполюсника 1-1' подключают вольтметр и измеряют напряжение холостого хода Uxx (рис. 4.11).

При выполнении опыта короткого замыкания соединяют проводником зажимы 1-1' активного двухполюсника и измеряют амперметром ток короткого замыкания I1кз (рис. 4.12).

а б

Рис. 4. Проведение опытов холостого хода и короткого замыкания активного двухполюсника

откуда

.

Способ вычисления этих параметров расчетным путем рассмотрим на примере схемы, приведенной на рис. 5. Здесь нагрузка представляется резистором .

Рис. 5. Схема электрической цепи для определения параметров холостого хода и короткого замыкания

Для определения напряжения холостого хода представим ее в виде, показанном на рис. 6. В этой схеме ветвь с сопротивлением R2 разорвана, это сопротивление удалено из схемы. На разомкнутых зажимах появляется напряжение холостого хода.

Рис. 6. Представление электрической цепи рис. 5 для определения напряжения холостого хода

Для определения этого напряжения составим уравнение для второго контура по второму закону Кирхгофа

,

откуда находим

,

где определяется из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для первого контура

Так как вторая ветвь разорвана, ЭДС Е2 не создает ток. Падение напряжения на сопротивлении R02 отсутствует.

На рис. 7 изображена исходная схема (см. рис. 5), предназначенная для определения входного сопротивления.

Рис. 7. Представление электрической цепи рис. 5 для определения тока короткого замыкания

Здесь из схемы на рис. 5 удалены все источники (Е1 и Е2), т.е. эти ЭДС мысленно закорочены. Входное сопротивление Rвх определяют, свертывая схему относительно зажимов 1-1'

.

Алгоритм метода эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

1. Разомкнуть (или закоротить – в случае с ЭГ с источником тока) заданную ветвь с искомым током.

2. Определить напряжение холостого хода (ток короткого замыкания – в случае с ЭГ с источником тока) активного двухполюсника относительно заданной ветви.

3. Исключая из активного двухполюсника все источники энергии, определить входное сопротивление двухполюсника относительно зажимов заданной ветви. При исключении источников в схеме должны быть сохранены их внутренние сопротивления.

4. Используя закон Ома (правило "чужого сопротивления"), найти ток в заданной ветви. Направление тока определяется направлением напряжения холостого хода /тока короткого замыкания"/

2. Примеры решения задач

Пример 1. В электрической цепи, приведенной на рисунке параметры элементов имеют следующие значения: R1 = 5 Ом, R2 = 7 Ом, R3 = 10 Ом, Rab = 3 Ом, E = 10 В.

Определить ток Iab, протекающий по резистору Rab.

Решение. В соответствии с методом эквивалентного генератора исходную схему следует преобразовать к виду, показанному на следующем рисунке,

откуда искомый ток Iab находится по закону Ома для полной цепи

.

Для нахождения тока нужно узнать ЕЭГ и RЭГ с помощью режимов эквивалентного генератора.

Для того чтобы найти эквивалентную ЭДС, нужно рассмотреть режим холостого хода генератора, другими словами нужно отсоединить исследуемую ветвь ab, тем самым избавив генератор от нагрузки, после чего он будет работать на так называемом холостом ходу.

Напряжение холостого хода UXX, будет равно эквивалентной ЭДС ЕЭГ. Таким образом мы можем найти ЕЭГ.

.

Следующим этапом решения задачи будет нахождение эквивалентного сопротивления RЭГ. Можно воспользоваться режимом короткого замыкания генератора, при котором сопротивление Rab отсутствует, но в более сложных схемах это может привести к более громоздким расчётам, поэтому найдем RЭГ как входное сопротивление пассивного двухполюсника. Другими словами, нужно убрать во внешней цепи источник ЭДС и найти сопротивление цепи.

Эквивалентное сопротивление RЭГ равно

.

Найдя эквивалентные ЭДС и сопротивление, мы можем найти силу тока в ветви ab

.

Задача 5.2. Для схемы цепи (рис. 5.9) методом эквивалентного генератора найти ток ветви с сопротивлениемR3 если E1=25В, E2=3 B,  Ik=0,1 A, R1=20 Oм, R2=30 Oм, R3=18 Ом,R4=3000 Oм.

Рис. 5.9. Рис. 5.10.

Решение.

1. Выделим ветвь с сопротивлением R3, и обозначим ток  I3, (рис.5.9) .

2. Всю цепь, рис. 5.9, относительно ветви с сопротивлением R3, представим эквивалентным генератором с источником ЭДС, равным  Er, и сопротивлением Rr, (рис. 5.10).

Согласно схеме (рис. 5.10), интересующий ток в ветви определиться как

I3=ErRr +R3,

т.е. решение задачи сводится к определению двух параметров эквивалентного генератора Er и Rr.

3. Найдем ЭДС генератора. По определению  Er, равно напряжению U12, между узловыми точками 1 и 2 разомкнутой ветви с сопротивлением R3, (рис. 5.11).

Рис. 5.11. Рис. 5.12.

Для этого в схеме (рис. 5.11) определим токи  I1'и I2',. На основании законов Кирхгофа получим систему:

I1'-I2'+Ik=0;I1'R1+I2'R2=E1+E2.

Из системы найдем

I1'=E1+E2+IkR2R1+R2=25+3-0,1∙3050=0,5A,

I2'=I1'+Ik=0,5+0,1=0,6 A

На основании второго закона Кирхгофа для указанного в схеме (рис. 5.11) направления обхода контура получим:

U12=I2'R2-E2=0,6∙30-3=15 B.

4. Найдем сопротивление генератора. По определению,Rrравно входному сопротивлению  R12 между узловыми точками 1 и 2 разомкнутой ветви с R3 (рис. 5.11). Расчет сопротивления Rr=R12 производим при закороченных источниках ЭДС E1,E2, и разомкнутом источнике тока Ik(рис. 5.12).

Rr=R12R1R2R1+R2

5. Окончательно определяем ток :I3:

I3=U12R12+R3=1512+18

Пример 2. В схеме электрической цепи, приведенной на рисунке, амперметр показывает 0,5 А.

Определить его показания в схеме, показанной на следующем рисунке.

Решение. Можно считать, что в схеме на последнем рисунке резистор R5 подключен к зажимам эквивалентного генератора, который в предыдущей схеме работает в режиме короткого замыкания.

Определим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора. Для этого заменим треугольник сопротивлений

R1R3R0 эквивалентным соединением звездой (показано пунктиром):

Входное сопротивление эквивалентного генератора равно

ЭДС эквивалентного генератора определим из формулы

I = EЭГ/(RЭГ + R5).

При коротком замыкании

I = EЭГ/RЭГ,

откуда ЭДС эквивалентного генератора

= I RЭ =0,5⋅2,86 = 1,43 В.

Ток I5 во второй схеме по методу эквивалентного генератора (методу эквивалентного источника ЭДС) равен

.

Пример 3. Для цепи, приведенной на рисунке найти ток на резисторе R2 методом эквивалентного генератора, если Е1 = 9 В; Е2 = 13 В; Е3 = 15 В; J = 1,4 А; R1 = 12 Ом; R2 = 16 Ом; R3 = 9 Ом; R4 = 5 Ом; R5 = 10 Ом.

Решение. По теореме об эквивалентном генераторе ток в нагрузке можно найти по формуле:

,

где Uхх — напряжение холостого хода генератора;

— сопротивление нагрузки;

Rэг — сопротивление генератора относительно зажимов нагрузки.

Найдем сопротивление генератора и напряжение холостого хода. При расчете эквивалентного сопротивления учтём, что внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю, а сопротивление источника тока бесконечно. Рисуем схему эквивалентного генератора

и схему для нахождения сопротивления

Ответ: I2 = –0,076 А.

Пример 4. Для электрической цепи, приведенной на рисунке методами эквивалентных генераторов тока и ЭДС определить ток в ветви содержащей сопротивление R4 при следующих значениях параметров элементов: R1 = 6 Ом, R2 = 5 Ом, R3 =4 Ом, R4 =2 Ом, R5 = 10 Ом, R6 =1 Ом, R7 = 3 Ом, E1 = 18 В, E6 = 12 В, J2 = 1 A.

Решение.

I. Метод эквивалентного генератора тока.

1. Определяем эквивалентное сопротивление цепи относительно точек 1 и 2 подсоединения нагрузки. Закорачиваем идеальные источники ЭДС, разрываем ветви с идеальными источниками тока, получаем исходную схему цепи

и производим ее эквивалентные преобразования:

,

2. Замкнем узлы 1 и 2, определим ток короткого замыкания Iкз1 при Е1 ≠ 0.

2. Замкнем узлы 1 и 2, определим ток короткого замыкания Iкз2 при Е6 ≠ 0.

Выполнив расчет последней схемы методом контурных токов получим

3. Замкнем узлы 1 и 2, определим ток короткого замыкания Iкз3 при J2 ≠ 0.

4. Заменим исходную схему эквивалентным генератором тока

Тогда ток в нагрузке

Ответ: I4 = 2 А.

II. Метод эквивалентного генератора ЭДС.

1. Величина эквивалентного сопротивления схемы относительно точек подключения нагрузки была определена выше.

2. Определим величину составляющей эквивалентной ЭДС, определяемой источником Е1. Для этого закорачиваем источник ЭДС Е6 и удаляем цепь с источником тока J2. При этом эквивалентная схема цепи приобретает вид, показанный на следующем рисунке

.

3. Определим величину составляющей эквивалентной ЭДС, определяемой источником Е6. Для этого закорачиваем источник ЭДС Е1 и удаляем цепь с источником тока J2. При этом эквивалентная схема цепи приобретает вид, показанный на следующем рисунке

.

.

4. Определим величину составляющей эквивалентной ЭДС, определяемой источником тока J2. Для этого закорачиваем источники ЭДС Е1 и Е6. При этом эквивалентная схема цепи приобретает вид, показанный на следующем рисунке

.

ЭДС эквивалентного генератора равна сумме ЭДС в точках присоединения нагрузки, создаваемых каждым источником цепи

Тогда ток в нагрузке

,

что в точности совпадает с предыдущим ответом.

Задача 5.3. Определить методом эквивалентного генератора ток в ветви с источником ЭДС  E1(рис.5.13).Дано: E1=10 B, E2=60 B, R1=60 Ом, R2=12 Ом, R3=30 Ом, R4=10 Ом, R5=24 Ом .

Рис. 5.13. Рис. 5.14.

Решение.

1. Обозначим ток I в ветви с источником ЭДС  E1 (рис. 5.13).

2. Применив теорему об эквивалентном генераторе, ток в ветви, имеющей нулевое сопротивление согласно схеме (рис.5.14):

I=ErRr

3. Найдем ЭДС генератора. Разомкнем ветвь с источником  E1 (рис.5.15) и найдем напряжение  U12 между точками 1 и 2.

Предварительно выполним расчет токов I2' и I3' в схеме (рис. 5.15).

Рис. 5.15. Рис. 5.16.

Ток  I1' в неразветвленной  части схемы

I1'=E2R1+R3+R4R2+R5R2+R3+R4+R5=6060+30+10∙12+2412+30+10+24=6079=0,76 A

Токи I 2'и I3' в разветвленной части схемы:

I2'=I1'R3+R4R2+R3+R4+R5=0 ,76∙4076=0,4 A

I3'=I1'-I2'=0,76-0,4=0,36 A

На основании второго закона Кирхгофа для обозначенного на схеме (рис. 5.15) контура запишем:

I3'R3-I2'R2-U12=-E1

откуда

U12=E1+I3'R3-I2'R2=10+0,36∙30-0,4∙12=16 B.

4. Найдем сопротивление генератора Rr, которое равно входному сопротивлению  R12 между точками 1 и 2 (рис. 5.16) при замкнутых источниках ЭДС E1, E2

Преобразуем треугольник сопротивлений ,R1  R3и  R4(рис.5.16) в эквивалентную звезду (рис. 5.17).

Рис. 5.17.

Величины сопротивлений эквивалентной звезды (рис. 5.17):

R13=R1R3R1+R3+R4=60∙3060+30+10=18 Ом

R41=R4R1R1+R3+R4=10∙6060+30+10=6 Ом

R34=R3R4R1+R3+R4=30∙6060+30+10=3 Ом

Согласно выполненным преобразованиям окончательно получим (рис.5.17):

R12=R34+R41+R5R13+R2R41+R5+R13+R2 =3+6+24∙18+126+24+18+12=18 Ом

5. Ток в ветви с источником  E1определится как

I=U12R12 = 1618=0,89 A.

Пример 5. Методом эквивалентного генератора найти ток в нагрузке цепи, приведенной на рисунке при следующих значениях параметров элементов схемы: R1 = 15 Ом, R2 = 150 Ом, R3 = 160 Ом, R4 = 180 Ом, R5 = 200 Ом, R6 = 220 Ом, R7 = 160 Ом, R8 = 50 Ом, E1 = 60 B, J2 = 3 A.

Решение. Для определения тока в нагрузке необходимо найти параметры эквивалентного генератора (Uxx и RЭКВ), образованного рассматриваемой цепью при удаленной нагрузке. Схема содержит один источник ЭДС E1 и один источник тока J2.

1. Предварительно упростим схему, заменив последовательно соединенные резисторы R1 и R2 и параллельно соединенные резисторы R6 и R7 резисторами R12 и с R67 эквивалентными сопротивлениями

R12 = R1 + R2 = 15 + 150 = 165 Ом;

R67 = R6∙R7/(R6 + R7) = 220∙160/(220 + 160) = 92,63 Ом.

2. Для определения эквивалентной ЭДС Uxx выполним анализ цепи при удаленной нагрузке. Для этого воспользуемся методом контурных токов. Указав произвольно направление токов в резисторах схемы, например, как показано на следующем рисунке,

составляем уравнения по второму закону Кирхгофа

Упорядочивая переменные и подставляя численные значения параметров элементов, находим контурные токи.

или

откуда

Зная величины контурных токов, можем определить токи и определяемые ими напряжения на элементах цепи, определяющих значение ЭДС эквивалентного генератора. Поскольку Uxx можно определить, как суммарное падения напряжения на резисторах R5 и R6, то необходимо знать токи, протекающие через эти резисторы.

Проверка:

186 = 186;

6. Для расчета внутреннего сопротивления эквивалентного генератора определим сопротивление двухполюсника относительно выходных зажимов Rвх. Для этого исключим из схемы источники ЭДС, полагая его сопротивление равным нулю, и источник тока, полагая его сопротивление равным бесконечности.

7. Преобразуем треугольник сопротивлений R3-R4-R5 в звезду R34-R45-R35

и по законам последовательно-параллельного соединения определим входное сопротивление.

;

;

;

;

;

;

8. Заменяя двухполюсник эквивалентным генератором, получим схему

ток в которой определим по закону Ома для активной цепи

3. Задачи для самостоятельного решения в аудитории

Задача 1. Методом эквивалентного генератора получить общее выражение для определения тока I5.

Задача 2. Методом эквивалентного генератора получить общее выражение для определения напряжения U5.

Задача 3. Методом эквивалентного генератора получить общее выражение для определения токов ветвей цепи.

Задача 4. Методом эквивалентного генератора найти ток I0, если E0 =40 В, E1= E2 = E3 =10 В, R1 = R2 = R3 = 4 Ом, R4 =10 Ом.

Задача 5. Методом эквивалентного генератора вычислить ток I 2, если E = 144 В, R1 = R5 = 24 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = R4 = 12 Ом.

Задача 6. Методом эквивалентного генератора вычислить ток I6, если Е = 40 В, J = 3 A, R1 = Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 2 Ом, R5 = 3 Ом, R6 = 2,8 Ом.

4. Домашнее задание

Методом эквивалентного генератора ЭДС определить величину тока, протекающего через резистор R1 при заданных значениях параметров элементов схемы электрической цепи. Схема и параметры элементов цепи выбираются из таблицы 1. Номер варианта задает преподаватель.

Таблица 1

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Файл

5.docx

5.docx
Размер: 3.9 Мб

.

Пожаловаться на материал

Практическое занятие. Основные теоретические сведения. Алгоритм метода эквивалентного генератора. Примеры решения задач. Метод эквивалентного генератора. Двухполюсники

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Физиология крови

Тесты и ответы. Физико-химические свойства крови. Физиология эритроцита. Физиология лейкоцитов. Группы крови. Резус фактор. Физиология тромбоцита. Физиология гемостаза. Антисвёртывающие системы крови.

Расчетно-графическая работа по дисциплине «Теоретическая механика»

Кафедра «Прикладная механика» Расчетно-графическая работа №1 по дисциплине «Теоретическая механика» Специальность 1 – 36 09 01 Машины и аппараты пищевых производств Специализация 1 – 36 09 01 01 Оборудование предприятий пищевых производств

Федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС)

Федеральный образовательный стандарт второго поколения. В чем отличие новых стандартов от ныне действующих? Какие требования к результатам обучающихся устанавливает Стандарт? Что такое внеурочная деятельность, каковы её особенности? Как будет оцениваться работа школьников?

Латынь в эпоху Возрождения

Реферат. Латинский язык. Национальные языки. Грани латинского языка в эпоху Возрождения. Гуманисты. Собиратели классической латыни. Латынь в науке.

Экологические преступления

Понятие и виды экологических преступлений. Преступные нарушения правил экологически значимой деятельности. Преступления, посягающие на отдельные элементы окружающей среды. Преступления, посягающие на объекты флоры и фауны

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok