Метод контурных токов

1g21 + 2g22 = E2g23 .

Найдем собственную проводимость первого узла

g11 = 1/R6 + 1/(R1 + R′1) + 1/RИТ + 1/R2 + 1/R5 =

= 1/20 + 1/25 + 1/ 25 + 1/40 = 0,155  См.

Проводимость ветви с идеальным источником тока равна нулю, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока RИТ равно бесконечности.

Собственная проводимость узла 2

g22 = 1/R2 + 1/R3 + 1/R4 = 1/25 + 1/30 + 1/35 =0,102  См.

Взаимные проводимости между узлами

g13 = 1/R6 + 1/(R1 + R′1) = 1/20 + 1/25 = 0,09  См;

g21 = g12 = 1/R2 = 1/25 = 0,04  См;

g23 = 1/R3 = 1/30 = 0,033  См.

Подставив в уравнения известные величины, получим

Для решения этой системы используем метод определителей. Главный определитель системы

Частные определители

Находим потенциалы узлов

1 = Δ1/Δ = 4,242/0,01421 = 298,6   В;   

2 = Δ2/Δ = 2,583/0,01421 = 181,8   В.

Определяем токи в ветвях (положительные направления токов в ветвях с ЭДС выбираем по направлению ЭДС, в остальных ветвях произвольно)

I1 = (3 − 1 + E1)/( R1 + R′1) =

= (200 − 298,6 + 150)/(10+15) = 2,056  А.

В числителе этого выражения от потенциала узла 3, из которого вытекает ток I1, вычитается потенциал узла 1, к которому ток притекает. Если ЭДС ветви совпадает (не совпадает) с выбранным направлением тока, то она учитывается со знаком плюс (минус). В знаменателе выражения учитываются сопротивления ветви.

Аналогично определяем другие токи (направления токов указаны на схеме)

I6 = (3 − 1)/R6 = (200 − 298,6)/20 = −4,93  А;

I2 = (1 − 2)/ R2 = (298,6 − 181,8)/25 = 4,67  А;

I3 = (3 − 2)/ R3 = (200 − 181,8)/30 = 0,607  А;

I4 = (2 − 4)/ R4 = (181,8 − 0)/35 = 5,194  А.

Для определения тока в ветви с идеальной ЭДС зададимся направлением тока I7. По первому закону Кирхгофа для узла 3 составим уравнение

I7 + I3 + I1 + I6 =0,

откуда

I7 = I3 + I1 + I6 = 0,607 + 2,056 − 4,98 = −2,317  A.

Задача 4. Определить токи в схеме методом узловых потенциалов при E1 = 32 B, J = 18 A, R1 = 1 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 2 Ом.

Решение.

1. Находим напряжение между двумя узлами по методу двух узлов

Uab = ab = (E1g1 +J)/(g1 + g2 + g3) =

= ((32∙1 /1) + 18)/(1/1 + 1/6 + 1/2) = 30   B.

Практическое занятие 3

Метод контурных токов

1. Основные теоретические сведения

Универсальными законами, позволяющими рассчитать любую электрическую цепь, являются законы Кирхгофа. Для упрощения математических расчетов, уменьшения порядка системы линейных алгебраических уравнений, Максвеллом были предложены методы контурных токов и узловых потенциалов.

Метод контурных токов (метод Максвелла) заключается в том, что электрическая цепь разделяется на независимые контуры, в каждом из которых вводятся в рассмотрение расчётные, реально не существующие, "контурные токи", которые как бы протекают в произвольном контуре сложной электрической цепи. Если рассматриваемая цепь содержит источники тока, то токи этих источников принимают за известные контурные токи, замыкающиеся по некоторому контуру. Реально существующие токи в ветвях определяют через вышеуказанные контурные токи путем их алгебраического суммирования.

Фактически метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа, что позволило уменьшить число уравнений. Количество уравнений N, составляемых для цепи по второму закону Кирхгофа определяется выражением

,

где NB – количество ветвей;

− количество узлов;

NИТ – количество источников тока.

При этом контуры не должны содержать источников тока, хотя учет падений напряжения, вызванных ими, обязателен. Для этого необходимо преобразовывать источники тока к источникам напряжения. Источник тока не может включаться в несколько контуров.

В общем случае эта система уравнений имеет следующий вид:

R11·I+R12·I+…+R1n·I(n)+R1,I1·I1+R1,I2·I2+…+R1,Im·Im = E

R21·I+R22·I+…+R2n·I(n)+R2,I1·I1+R2,I2·I2+…+R2,Im·Im = E


Ri1·I+Ri2·I+…+Ri,n·I(n)+Ri,I1·I1+Ri,I2·I2+…+Ri,Im·Im = E(i)


Rn1·I+ Rn2·I+…+ Rn,n·I(n)+ Rn,I1·I1+ Rn,I2·I2+…+Rn,Im·Im = E(n)

где n – количество контурных токов;

m – количество источников тока;

I(j) – j -ый контурный ток (j = 1,2,3,…,n), А;

Ik – ток к-го источника тока (к = 1,2,…,m), А;

Rij , Ri,Ik – расчетные сопротивления (i =1 ,2,...,n;), Ом;

E(i) i -ая контурная ЭДС (i=1,2,...,n), В.

Условные положительные направления контурных токов могут выбираться произвольно.

Расчётные сопротивления резисторов Rij могут быть двух типов.

Если эти резисторы имеют одинаковые индексы, т.е. если i = j, то они называются «собственными» резисторами контуров. Сопротивления собственных резисторов контуров вычисляются, как сумма сопротивлений всех резисторов, входящих в рассматриваемый контур.

Если расчетные сопротивления имеют разные индексы, т.е. i ≠ j, то Rij = Rji и они называются «взаимными» резисторами контуров. Сопротивления этих резисторов равны сопротивлению ветви, являющейся общей для i-го и j-го контуров. Причём, если направления контурных токов в рассматриваемой ветви совпадают, то сопротивление взаимных резисторов принимается положительным, а в противном случае - отрицательным. Если условные положительные направления всех контурных токов принимать одинаковыми (по часовой стрелке или против часовой стрелки), то сопротивления взаимных резисторов контуров всегда будут отрицательными. Резисторы Ri,Ik представляют собой взаимные резисторы i-го контура с к-ым током источника тока Ik, который принимается в качестве известного контурного тока, их сопротивления вычисляются по вышеуказанному правилу.

Контурные ЭДС Е(i) также представляют собой некоторые расчётные ЭДС, равные алгебраической сумме ЭДС в ветвях, обтекаемых контурным током I(j). Если направление ЭДС Ek совпадает с направлением контурного тока, то при суммировании соответствующая ЭДС входит со знаком «+», а в противном случае − со знаком «–».

Решение системы (2) позволяет определить все контурные токи. Реально существующие токи в ветвях схе-мы вычисляются путём алгебраического суммирования контурных токов, протекающих по данной ветви. При этом контурный ток, направление которого совпадает с выбран-ным положительным направлением тока в ветви, принимается со знаком «+», а в противном случае – со знаком «–». Если же в некоторой ветви протекает лишь один контурный ток, то ток в этой ветви равен контурному току, взятому со знаком «+», если условные положительные направления тока ветви и контурного тока одинаковые, а в противном случае – со знаком «–».

Дадим обоснование указанного метода.

Любая разветвленная электрическая цепь состоит из нескольких смежных контуров. Например, в электрической цепи рис. 1 таких контуров три: аbcа, bдcb и аbдеа.

Каждый контур имеет несмежные ветви, принадлежащие лишь данному контуру, и смежные ветви, принадлежащие также соседним контурам. Так, контур аbcа имеет несмежную ветвь и две смежные ветви аb и bc.

Допустим, что в каждом контуре рис. 1 имеется некоторый контурный ток, одинаковый для всех элементов контура. На рис. 1 контурные токи обозначены J1, J2 и J3.

Рис. 1. К пояснению метода контурных токов

Положительные направления контурных токов могут быть выбраны произвольно. Наложим на контурные токи следующее условие: контурные токи должны быть равны по абсолютному значению токам несмежных ветвей соответствующих контуров.

Если удастся найти контурные токи, то через них легко определить и токи всех ветвей. В силу наложенного условия токи несмежных ветвей следует определять так: если выбрать положительное направление тока несмежной ветви совпадающим с контурным током, то ток ветви должен быть равен контурному току; если же направить ток несмежной ветви против контурного тока, то он должен быть равен контурному току со знаком «−». Так, токи в несмежных ветвях цепи (рис. 1) будут равны

Чтобы выяснить, как определять токи смежных ветвей, выразим ток в узле а через токи I1, I2 и I3 и заменим последние контурными токами:

Аналогично найдем

Как видно, со знаком «+» должен быть взят тот контурный ток, направление которого совпадает с направлением тока смежной ветви; контурный току направленный в противоположную сторону, должен быть взят со знаком «−».

Нетрудно показать, что контурные токи могут быть определены путем совместного решения системы уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, в которые вместо падения напряжения от токов ветвей следует ввести падения напряжения от контурных токов с соответствующими знаками.

Уравнения по второму закону Кирхгофа при включении в него контурных токов в общем случае имеет вид

Для рассматриваемой цепи (рис. 1) уравнения будут:

При решении задач рассмотренным методом целесообразно выбирать положительные направления токов ветвей после определения контурных токов. В этом случае можно выбрать положительные направления токов ветвей так, чтобы все они совпадали с их действительными направлениями.

Алгоритмом метода контурных токов:

1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме.

2. Определяют независимые контуры и их нумеруют. При наличии в схеме источников тока независимые контуры, для которых составляются уравнения метода контурных токов, можно определить, если мысленно удалить источники тока.

3. Выбирают направление контурных токов (целесообразно в одну сторону) и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока. Контурный ток, проходящий через источник тока, известен и равен току источника тока (через источник тока проходит только один контурный ток!).

4. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов.

5. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам.

2. Примеры решения задач

Пример 1. Определить токи в ветвях схемы, показанной на рисунке при R1 – R5 = 10 Ом, Е1 = 10 В, Е2 = 50 В, J1 – 1 A.

Решение. Количество уравнений для схемы равно

.

Эти уравнения необходимы для определения неизвестных контурных токов и . Составим их непосредственно по схеме

Подставим численные значения параметров элементов:

Совместное решение уравнений дает , .

Теперь определяем токи ветвей

.

Выполним проверку правильности решения путем составления баланса мощностей. Мощность источников

Мощность приемников

Таким образом, расчет выполнен верно.

Пример 2. Методом контурных токов определить токи в ветвях схемы (рисунок 1) если Е1 = 145 В, Е2= 140 В, R1 = R2 = R6 = 1 Ом, R3= 0.5 Ом, R4= 10 Ом, R5= 4 Ом, R7= 8 Ом, R8= 5 Ом.

Рис. 1

Решение:

Определяем количество уравнений системы:

.

Выбираем контуры и записываем для каждого контура

уравнения по второму закону Кирхгофа:

Решив систему одним из численных методов, получим значения контурных токов:

Затем выражаем токи ветвей из контурных токов:

Составляем баланс мощностей:

Расчет выполнен верно.

Пример 3. Методом контурных токов определить токи в ветвях схемы (рисунок 2), если Е1= 30 В, Е2= Е5= 10 В, J = 7 A, R1= R3= R4= 10 Ом, R2= R5= 5 Ом.

Рис. 2

Решение. Определяем количество уравнений системы:

.

Первый независимый контур выбираем так, чтобы он был образован ветвью с идеальным источником тока J, и контурный ток данного контура считаем равным току источника тока J3 = J, остальные контуры выбираем так, чтобы ветвь с источником тока не являлась образующей (рисунок 2).

Запишем систему уравнений:

Так как ток первого контура известен, то его произведение на взаимное сопротивление контуров можно перенести в правую часть уравнения, и система уравнений будет иметь следующий вид:

Решив систему уравнений, получим значения контурных токов:

Методом наложения определяем токи в ветвях схемы:

Составляем уравнение баланса мощностей:

.

где UJ − напряжение на зажимах источника тока.

Для схемы рисунка 2 напряжение UJ выразим из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для контура 1-2-4-1:

,

откуда

Тогда

Пример 4. Методом контурных токов определить токи в ветвях схемы (рисунок 3), если Е1= 50 В, J1= 1 A, J2= 2 A, R1= R2=R3= R4= 10 Ом, R5= R6= 5 Ом.

Рис. 3

Решение. Данная электрическая цепь содержит две ветви с идеальными источниками тока Ĵ1 и J2. Выбираем контуры таким образом, чтобы эти ветви являлись образующими, будем считать контурные токи равными токам источников тока: J1 = ˆJ1 и J22 = ˆJ2. Неизвестным является контурный ток J3.

Запишем уравнение для третьего контура:

Так как величины токов J1 и J2 известны, то их произведения на взаимные сопротивления контуров можно перенести в правую часть уравнения. Тогда уравнение примет вид:

Выразим контурный ток J3:

Методом наложения определим неизвестные токи в ветвях:

Напряжение на зажимах источников тока UJ1 и UJ2 определим из уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа:

,

откуда

Точно также

,

откуда

Определяем мощность источников энергии:

Мощность потребителей определим по формуле:

Пример 5. Методом контурных токов определить токи в ветвях схемы (рисунок 4), если Е1= 10 В, Е2= 30 В, J= 2 A, R1= R2= R3= R4= R5= 5 Ом.

Рис. 4

Решение. Выражаем контурный ток J2:

Определим величины токов в ветвях схемы.

Уравнение мощности источников для данной схемы выглядит следующим образом:

Для определения напряжения на зажимах источника тока запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 1-3-2-1:

Отсюда

Подставим полученное значение напряжения в формулу и определим мощность источников:

Определим мощность потребителей:

Пример 6. Задача: Для электрической схемы, изображенной на рис. 5

Рис. 5.

параметры элементов которой равны R1 = 9 Ом, R2 = 7.5 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 21 Ом, R5 = 10.5 Ом, R6 = 12 Ом, E2 = 15 В, E3 = 33 В, J2 = 2 А, J3 = 1 А, выполнить следующие действия:

1. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.

2. Составить баланс мощностей, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

3. Построить потенциальную диаграмму для любого контура, включающего оба источника ЭДС.

Решение. Преобразуем источники тока в источники ЭДС (рис. 6). При расчете задаемся положительными направлениями токов ветвей и обозначаем их на схеме. Определяем независимые контуры и обозначаем направления их обхода. Составляем систему уравнений по методу контурных токов для электрической схемы на рис. 6.

Рис. 6.

где R11, R22, R33 – полные сопротивления первого, второго и третьего контуров, соответственно, Ом;

R12, R13, R21, R23 - сопротивления, принадлежащие двум контурам одновременно, Ом. Если направления контурных токов в общей для контуров ветви совпадают, то взаимное сопротивление положительно;

Ek1, Ek2, Ek3 - алгебраическая сумма ЭДС, входящих в первый, второй и третий контуры, соответственно, В.

Определяем вид и значения компонентов уравнений системы.

Подставив полученные значения в исходную систему уравнений и решив ее, получим значения контурных токов.

Теперь определяем токи ветвей цепи.

Составим баланс мощностей. Рассчитаем токи I2 и I3 в исходной схеме и определим напряжения на зажимах источников тока.

Определяем мощности источников

и потребителей

Построим потенциальную диаграмму для внешнего контура. Для построения рассчитываем потенциалы после каждого элемента внешнего контура.

Пусть φа = 0, Ra = 0, тогда

Строим потенциальную диаграмму (рис. 7).

Рис. 7.

3. Задачи для самостоятельного решения в аудитории

Задача 1. Электрическая цепь (рисунок 8) питается двумя источниками тока. Определить напряжение на каждом из источников, если их токи J1 = 20 мА, J2 = 10 мА, R1 = 2 кОм, R2 = 4 кОм, R3 = 6 кОм, R4 = 4 кОм

Рис. 8

Задача 2. Определить токи в ветвях схемы, рисунок 9, методом контурных токов, если известно: E1 = 120 B, E2 = 88 B, J = 10 А, R1 = 2 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = R4 = 12 Ом, R5 = 4 Ом, R6 = 2 Ом.

Рис. 9

Задача 3. Определить токи в ветвях электрической цепи, изображенной на рисунке 10, используя метод контурных токов. Параметры элементов цепи: E1 = 168 B, E2 = 210 B, R1 = R5 = 45 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = R4 = 30 Ом, R6 = 75 Ом, R7 = 27 Ом.

Рис. 10

Задача 4. Рассчитать электрическую цепь методом контурных токов (рисунок 11) при известных параметрах элементов: E = 50 B, J = 20 А, R1 = R2 = R3 = 8 Ом, R4 = 12 Ом.

Рис. 11

Задача 5. Методом контурных токов определить токи в цепи (рисунок 12), если Е1 = Е2 = Е4 = 30 В, Е3 = 20 В, J1 = J4 = 1 A, J2 = 2 A, J3 = 3 A, R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 10 Ом.

Рис. 12

4. Домашнее задание

Для электрических цепей, схемы которых изображены ниже на рис. 1 – 8, по заданным в соответствии с вариантом задания в табл. 1 сопротивлениям резисторов и ЭДС источников выполнить следующее:

1.1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.

1.2. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.

1.3. Составить баланс мощностей в исходной схеме (схеме с источником тока), вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

1.6 Определить ток I1 в заданной по условию схеме.

1.7 Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

Величины сопротивлений, ЭДС и токов источников тока для каждого варианта даны в таблице 1.1.

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Практическое занятие. Основные теоретические сведения метода контурных токов (метод Максвелла). Алгоритмом метода контурных токов. Примеры решения задач. Универсальными законами, позволяющими рассчитать любую электрическую цепь, являются законы Кирхгофа

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok