Анализ цепей постоянного тока методом узловых потенциалов (узлового напряжения, двух узлов)

Территория рекламы

Практическое занятие 4

4. Анализ цепей постоянного тока методом узловых потенциалов (узлового напряжения, двух узлов)

4.1. Основные теоретические сведения

Данный метод предназначен для расчета разветвленных электрических цепей.

В методе узловых потенциалов за вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. При этом потенциалом одного из узлов задаются, обычно считая его равным нулю (заземляют). Этот узел называют опорным узлом. Затем для каждого узла схемы, кроме опорного узла, составляют систему уравнений методом узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей по обобщенному закону Ома (закону Ома для ветви с ЭДС).

Отметим, что метод узловых потенциалов без предвари-тельного преобразования схемы неприменим к схемам с взаимной индукцией.

Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), не имеющих общего узла нужно применять особые способы составления системы уравнений метода узловых потенциалов.

Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), имеющих общий узел, этот общий узел принимают за опорный узел (заземляют). Тогда потенциалы узлов, соединенных этими идеальными источниками ЭДС без пассивных элементов с опорным узлом, равны ЭДС этих идеальных источников (+E, если идеальный источник ЭДС направлен от опорного узла и –E в противном случае).

Метод узлового напряжения дает возможность весьма просто произвести анализ и расчет электрической цепи, содержащей несколько параллельно соединенных активных и пассивных ветвей, например цепи, схема которой изображена на рис 1 а.

Рис. 1. К пояснению метода узлового напряжения

Пренебрегая сопротивлением проводов, соединяющих ветви цепи, схему рис. 1, а можно заменить более удобной для рассмотрения (рис 1, б).

В зависимости от значений и направлений ЭДС н напряжений, а также значений сопротивлений ветвей между узловыми точками а и b установится определённое узловое напряжение Uab. Предположим, что оно направлено так, как показано на рис. 1, и известно. Зная напряжение Uab легко найти все токи.

Выберем положительные направления токов, например, так, как показано на рисунке 1. Тогда по второму закону Кирхгофа для контура, проходящего по первой ветви,

откуда

(1)

Поступая аналогичным способом, нетрудно получить формулы для токов I2, I3 и I4:

(2)

По закону Ома для пятой ветви

(3)

Для вывода формулы, позволяющей определить напряжение Uab, напишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:

После замены токов их выражениями (1) – (3) и преобразований получим

Формула узлового напряжения в общем случае имеет вид

(4.4)

Перед определением напряжения по формуле (4) следует задаться его положительным направлением. Со знаком « + » в (4) должны входить ЭДС, направленные между точками а и b встречно напряжению Uab и напряжения ветвей, направленные согласно с Uab. Знаки в формуле (4) не зависят от направления токов ветвей.

При анализе и расчете электрических цепей методом узлового напряжения целесообразно выбирать положительные направления токов после определения узлового напряжения.

В этом случае положительные направления токов нетрудно выбрать таким образом, чтобы все они совпадали с их действительными направлениями.

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Он применяется для определения токов в ветвях схемы с двумя узлами и произвольным чис-лом параллельных активных и пассивных ветвей.

4.2. Примеры решения задач

Пример 1. Рассчитать ток через резистор R3 в схеме, изображенной на следующем рисунке (электрический мост) с параметрами элементов: Е1 = 12 В, R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ом, R5 = 2 Ом.

Рис. 2. Схема электрической цепи

Решение. Обычными методами это сделать не удается, так как “развернуть” эту схему для получения последовательного или параллельного соединения резисторов невозможно. Поступим так. Выберем любую точку за точку с нулевым потенциалом, например точку а: . (На самом деле это не точка, а кусок проводника от источника тока вправо до резисторов, ведь проводник имеет во всех точках одинаковый потенциал.) При переходе от точки а к точке b через источник тока (от «−» к «+») потенциал увеличивается на величину равную ЭДС, т.е. на 12 В. Следовательно весь проводник слева от источника тока тоже имеет потенциал 12 В: т.е. . В двух оставшихся точках c и d обозначим потенциалы соответственно как и . Теперь нужно условно выбрать направления токов через сопротивления. Выберем их, как показано на следующем рисунке.

Эти направления могут не совпадать с реальными направлениями токов в резисторах. В этом случае при решении задачи величина тока получится отрицательной. Пугаться этого не следует, просто направление было выбрано неправильно, и на самом деле ток течет в другую сторону, при этом его численное значение останется прежним.

Рис. 3. Выбор направлений токов

Теперь можно записать уравнения, исходя из первого закона Кирхгофа: в узле сумма токов равна нулю, или, что то же самое, сумма входящих токов равна сумме выходящих токов. Запишем уравнение для узлов с потенциалом и .

:  

:  .

Ток будем записывать как

,

причем − потенциал точки у острия стрелки, обозначающей направление тока, а − потенциал точки у другого конца стрелки. Выражая токи через разности потенциалов и сопротивления резисторов получим систему уравнений:

или с использованием численных значений

Решая эту систему, получаем: 

; ..

Отсюда искомый ток 

.

Так как значение тока получилось отрицательным, то ток I3 течет в направлении, противоположным тому, которое указано на рис. 2.

Пример 2. В электрической цепи, приведенной на рис. 1: Е1 =40 В, Е2 = 20 В, r01 = rо2 = 1 Ом, rх = 9 Ом, r2 = 39 Ом, r3 = Ю Ом, r4 = 30 Ом, r5 = 15 Ом, U1 = 45 В, U2 = 30 В.

Пользуясь методом узлового напряжения, определить токи в цепях.

Решение. По формулам (1) – (4) при указанных положительных направлениях напряжения Uab и токов

Пример 3. Рассчитать цепь, показанную на следующем рисунке, методом узловых, потенциалов при следующих значениях параметров элементов цепи: Е1 =150 В, Е2 = 200 В, R’1 = 15 Ом, R1 = 10 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 35 Ом, R5 = 40 Ом, R6 = 20 Ом, R2 = 25 Ом, J = 15 A.

Рис. 4. Электрическая цепь

Решение. В рассматриваемой схеме четыре узла. Заземлим узел 4 (опорный узел)

4 =0.

Тогда

3 = 4 + E2 = 200  B.

Необходимо найти потенциалы узлов 1 и 2. Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для узлов 1 и 2.

Рассматривая узел 1, получим

1g11 − 2g12 − 3g13 = J + E1/(R1 + R′1)

или

1g11 − 2g12 = J + E1/(R1 + R′1) + E1g13 .

В правой части этого уравнения оба слагаемых учтены со знаком плюс, так как J и E1 направлены к узлу 1.

Рассматривая узел 2 (правая часть уравнения равна нулю, так как в ветвях, подсоединенных к узлу 2, нет источников энергии), получим

− 1g21 + 2g22 − 3g23 = 0

или

− 1g21 + 2g22 = E2g23 .

Найдем собственную проводимость первого узла

g11 = 1/R6 + 1/(R1 + R′1) + 1/RИТ + 1/R2 + 1/R5 =

= 1/20 + 1/25 + 1/ 25 + 1/40 = 0,155  См.

Проводимость ветви с идеальным источником тока равна нулю, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока RИТ равно бесконечности.

Собственная проводимость узла 2

g22 = 1/R2 + 1/R3 + 1/R4 = 1/25 + 1/30 + 1/35 =0,102  См.

Взаимные проводимости между узлами

g13 = 1/R6 + 1/(R1 + R′1) = 1/20 + 1/25 = 0,09  См;

g21 = g12 = 1/R2 = 1/25 = 0,04  См;

g23 = 1/R3 = 1/30 = 0,033  См.

Подставив в уравнения известные величины, получим

Для решения этой системы используем метод определителей. Главный определитель системы

Частные определители

Находим потенциалы узлов

1 = Δ1/Δ = 4,242/0,01421 = 298,6   В;   

2 = Δ2/Δ = 2,583/0,01421 = 181,8   В.

Определяем токи в ветвях (положительные направления токов в ветвях с ЭДС выбираем по направлению ЭДС, в остальных ветвях произвольно)

I1 = (3 − 1 + E1)/( R1 + R′1) =

= (200 − 298,6 + 150)/(10+15) = 2,056  А.

В числителе этого выражения от потенциала узла 3, из которого вытекает ток I1, вычитается потенциал узла 1, к которому ток притекает. Если ЭДС ветви совпадает (не совпадает) с выбранным направлением тока, то она учитывается со знаком плюс (минус). В знаменателе выражения учитываются сопротивления ветви.

Аналогично определяем другие токи (направления токов указаны на схеме рис. 3)

I6 = (3 − 1)/R6 = (200 − 298,6)/20 = −4,93  А;

I2 = (1 − 2)/ R2 = (298,6 − 181,8)/25 = 4,67  А;

I3 = (3 − 2)/ R3 = (200 − 181,8)/30 = 0,607  А;

I4 = (2 − 4)/ R4 = (181,8 − 0)/35 = 5,194  А.

Для определения тока в ветви с идеальной ЭДС зададимся направлением тока I7. По первому закону Кирхгофа для узла 3 составим уравнение

− I7 + I3 + I1 + I6 =0,

откуда

I7 = I3 + I1 + I6 = 0,607 + 2,056 − 4,98 = −2,317  A.

Пример 4. Определить токи в схеме рис. 5 методом узловых потенциалов при E1 = 32 B, J = 18 A, R1 = 1 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 2 Ом.

Рис. 5. Электрическая цепь

Решение.

1. Находим напряжение между двумя узлами по методу двух узлов

Uab = ab = (E1g1 +J)/(g1 + g2 + g3) =

= ((32∙1 /1) + 18)/(1/1 + 1/6 + 1/2) = 30   B.

При составлении этого уравнения по методу двух узлов в числителе необходимо брать произведение ЭДС на прово-димость своей ветви со знаком плюс, если ЭДС направлена к узлу a, и минус – если направлена от узла a к узлу b.

Аналогичное правило определяет и знаки токов источ-ников тока.

2. Находим токи по закону Ома (по закону Ома для ветви с ЭДС)

I1 = (E1 + ba)/ R 1 = (E1 − Uab)/ R1 = (32 − 30)/1 = 2  А;

I2 = Uab/R2 = 30/6 = 5  А;

I3 = Uab/R3 = 30/2 = 15  А.

Правильность решения проверим по первому закону Кирхгофа

I1 − I2 + I3 + J = 0; 2 − 5 − 15 + 18 = 0.

Пример 5. На рисунке 6 изображена цепь, состоящая из двух источников Е1 = 1 В и Е2 = 2 В, двух амперметров и трех резисторов, имеющих сопротивления соответственно R1 = 10 Ом, R2 = 10 Ом, R 3= 20 Ом. Амперметры и источники тока идеальные. Найти токи через амперметры.

Рис. 6. Электрическая цепь

Решение. Выберем точку а за точку с нулевым потен-циалом : (рис. 7).

Рис. 7. Электрическая цепь с выбранными направлениями токов

При переходе от точки a к точке b через источник тока (от «+» к «–») потенциал уменьшается на величину, равную ЭДС, т. е. на 1 В. Следовательно проводник справа от источника тока имеет потенциал −1 В: т. е. . При переходе от точки b к точке C через источник тока  (от «+» к «–») потенциал уменьшается на величину равную ЭДС , т. е. на 2 В. Следовательно проводник справа от источника тока будет иметь потенциал −3 В: . В оставшейся точке d обозначим потенциал соответственно . Условно выберем направления токов через резисторы, как показано на рис. 6. Запишем уравнение для токов в узле с потенциалом помня, что сумма входящих токов в узел равна сумме выходящих токов:

.

Выражая токи через разности потенциалов и сопротив-ления резисторов получим уравнение:

Подставим численные значения:

Решая это уравнение, найдем потенциал точки d:

.

Через левый амперметр идет ток I1 равный

.

Через правый амперметр идет ток I3 равный 

.

Так как токи получились положительными, то их реальное направление соответствует тому, которое указано на рис. 4.

Интересно, что разность потенциалов между точками b и d оказывается, при данных значениях параметров цепи, равной нулю и ток через резистор R2 вовсе не идет.

3. Задачи для самостоятельного решения в аудитории

Задача 1. Электрическая цепь (рисунок 8) питается двумя источниками тока. Определить напряжение на каждом из источников, если их токи J1 = 20 мА, J2 = 10 мА, R1 = 2 кОм, R2 = 4 кОм, R3 = 6 кОм, R4 = 4 кОм. Для решения задачи использовать метод узловых потенциалов.

Рис. 8. Электрическая цепь

Задача 2. Определить токи в ветвях схемы, приведенной на рисунке 9, методом узловых потенциалов, если известно: E1 = 120 B, E2 = 88 B, J = 10 А, R1 = 2 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = R4 = 12 Ом, R5 = 4 Ом, R6 = 2 Ом.

Рис. 9. Электрическая цепь

Задача 3. Определить токи в ветвях электрической цепи, изображенной на рисунке 10, используя метод узловых потенциалов. Параметры элементов цепи: E1 = 168 B, E2 = 210 B, R1 = R5 = 45 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = R4 = 30 Ом, R6 = 75 Ом, R7 = 27 Ом.

Рис. 10. Электрическая цепь

Задача 4. Рассчитать электрическую цепь методом узловых потенциалов (рисунок 11) при известных параметрах элементов: E = 50 B, J = 20 А, R1 = R2 = R3 = 8 Ом, R4 = 12 Ом.

Рис. 11. Электрическая цепь

Задача 5. Методом узловых потенциалов определить токи в цепи (рисунок 12), если Е1 = Е2 = Е4 = 30 В, Е3 = 20 В, J1 = J4 = 1 A, J2 = 2 A, J3 = 3 A, R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 10 Ом.

Рис. 12. Электрическая цепь

4. Домашнее задание

Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 1 – 8, по заданным в соответствии с вариантом задания в табл. 1 сопротивлениям и э. д. с. выполнить следующее:

1) найти все токи, пользуясь методом узловых потенциалов;

2) составить баланс мощностей для заданной схемы;

Результаты выполнения домашнего задания оформить отчетом, защитить и сдать преподавателю, ведущему практические занятия.

Исходные данные к домашнему заданию

1. Схемы электрических цепей

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8

2. Параметры элементов электрических цепей

Таблица 1

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Скачать

4.docx

4.docx
Размер: 2.6 Мб

Бесплатно Скачать

Пожаловаться на материал

Практическое занятие. Основные теоретические сведения. В методе узловых потенциалов за вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. Метод узлового напряжения.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Мониторинг как средство управления экологической деятельностью предприятия. Структура управления природопользованием на предприятии

Организация систем мониторинга на предприятиях Структура управления природопользованием на предприятии Экологический контроль на предприятии Регулирование природоохранной деятельности на основе экономических стимулов. Планирование природоохранной деятельности с учётом экономическая эффективности Организация систем мониторинга на предприятиях

вопросы и ответы по Истории

Новая философия, или философия Нового времени (Бэкон, Декарт и Гегель)

Новая философия, или философия Нового времени (от Бэкона и Декарта до Гегеля включительно) Свобода, самостоятельность, самоопределение личности. Декартовское сомнение. Метафизика Декарта. Учение о врожденных идеях.

Разработка бизнес-плана

Отрасль, фирма и ее продукты. Рыночные исследования и анализ сбыта. План маркетинга. Намерения и планы развития фирмы при разработке бизнес-плана

Гражданское право

Предмет гражданского права Защита гражданских прав юридическое лицо, права собственности, договорные отношения

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok