Трехмерное моделирование

Территория рекламы

Лекция 5. Трехмерное моделирование

1. Модели и структуры трехмерных пространственных данных

2. Построение поверхностей на основе триангуляционной сети

  1.  Модели и структуры трехмерных пространственных данных

Выбор модели и структуры данных является важной задачей моделирования пространственных данных. Выделяется четыре категории геопространственных объектов: точки, кривые, многоугольники, пространственные наборы.

Точка описывает нульмерный объект. Кривая - образ одномерного объекта. Кривая моделируется набором прямых линий или сплайн-интерполяцией. Многоугольники задают область на плоскости. Пространственные наборы описывают сложные объекты, состоящие из совокупности точек, кривых и многоугольников. Каждый объект имеет набор характеристик. В состав характеристик входят номер объекта, код объекта по классификатору и ряд характеристик, которые задают свойства объекта.

Для применения операций над пространственными объектами они объединяются в слои или пространства. Каждый слой имеет набор своих характеристик.

Простейшее и наиболее общее из всех пространств называется множественно- ориентированным. К числу основных отношений, применяемых в этом пространстве, относятся отношения объединения, пересечения, включения и членства.

Другой вид пространств представляют собой топологические пространства. Топологические пространства допускают над собой гомоморфные и изоморфные преобразования. При изоморфных преобразованиях сохраняется форма объекта, а при гомоморфных - нет.

Обычными пространственными отношениями являются вложение, пересечение, соприкосновение, соседство. Так, точка может находиться внутри, снаружи или на границе плоскости. Кривая может пересекать внутреннюю область поверхности или соприкасаться с поверхностью или не пересекаться с ней.

Топологическая форма представления отличается от обычной векторной модели тем, что объекты в каждом слое обработаны специальной процедурой учета топологии, которая просматривает, как правило, все объекты в слое и создает описание их расположения друг относительно друга. Для хранения описания расположения объектов друг относительно друга процедура построения топологии создает еще одну или несколько специальных таблиц. В этих таблицах хранятся не атрибутивные данные объектов, а список всех объектов слоя со ссылками друг на друга. Для того чтобы описать расположение друг относительно друга линейных объектов, потребуется еще составить список всех точек, которые являются концами для линейных объектов. Естественно, в местах пересечения такие точки будут общими. Эти точки называются узлами. Поэтому при построении линейной топологии учитываются не только сами линейные объекты, но и узлы. Список линейных объектов хранится в одной специальной таблице, а список узлов, в другой. Для каждого линейного объекта в специальную таблицу характеристик вносятся номера двух узлов - начального и конечного. Центроид - это точка, которая лежит внутри полигона. На этот центроид каждый линейный объект, являющийся границей полигона, также имеет ссылку.

Взаимосвязь между объектами в реляционной базе данных может быть реализована при помощи ссылок между объектами. Более сложные модели - иерархическая и сетевая.

Нетопологическими операциями над объектами являются определение расстояния, направления, длины, периметра, площади и т. д. Отношения, связанные с направлением, могут являться абсолютными либо учитывать положение объекта или наблюдателя.

Вышеописанные операции являются статическими. Динамические операции изменяют объекты, над которыми они работают. Основные динамические операции: создание, удаление, обновление. Разновидностями операции «создать» являются воспроизведение, порождение, разделение, соединение. К операциям «обновить» относятся перемещение, поворот, масштабирование, отражение.

Существуют различные формы представления поверхностей и объектов и различные методы преобразования пространственных данных из одного представления в другое.

1. 1. Аналитические модели представления поверхностей

Под аналитической моделью поверхности (АМП) будем понимать ее математическое описание, например в виде функции двух аргументов или в виде уравнения

Для ряда задач удобно использовать параметрическую форму описания поверхности. В этом случае формулы для описания поверхности в декартовой системе координат принимают вид

где - параметры, которые изменяются в определенном диапазоне, а функции определяют форму поверхности.

Преимущество параметрического представления состоит в возможности описания поверхности, которую нельзя представить в виде однозначной функции рельефа, или замкнутой поверхности. Кроме того, при параметрическом способе задания АМП можно выбрать такой вид описания, при котором модель становится инвариантной к геометрическим поворотам.

В качестве примера можно представить аналитическое описание сферической поверхности, которая в декартовой системе координат имеет вид

а в параметрической форме записи:

Одной из наиболее простых разновидностей приближений является применение двумерных многочленов Безье:

,

- опорные точки-ориентиры, 0<< 1; 0 << 1,  и - коэффициенты бинома Ньютона, рассчитываемые по формуле

Для бикубического сплайна Безье, когда т = 3, п = 3, необходимо задание 16 точек-ориентиров . При этом коэффициенты ,равны 1,3,3,1. Здесь можно рассмотреть и другие методы.

1.2. Векторные полигональные модели

При моделировании пространственных объектов в различных приложениях в качестве базовых элементов часто используются графические объекты-примитивы: шины, отрезки прямых, полилинии, полигоны, полигональные поверхности. Элемент «вершина» - основной элемент описания, так как он присутствует при описании всех других объектов-примитивов.

                   Рис. Базовые элементы векторно-полигональной модели

Вершина может моделировать отдельный точечный объект, размер которого не пределен, а также может использоваться в качестве конечных точек для линейных объектов и полигонов.

Двумя вершинами задается отрезок прямой (или вектор). Несколько векторов составляют полилинию. Полилиния может моделировать отдельный линейный объект, толщина которого не учитывается, а также может представлять контур полигона (участок плоскости). Полигон моделирует площадной объект. Один полигон может описывать плоскую грань объемного объекта. Несколько граней составляют объемный объект в виде полигональной поверхности - многогранник или незамкнутую поверхность (полигональная сетка).

Полигональные модели можно считать наиболее распространенными описании поверхностей объектов методами трехмерной компьютерной граф Их используют в системах автоматизированного проектирования, в тренаж в САПР, геоинформационных системах и др.

1.3. Сеточные модели

Эти модели описывают координаты отдельных точек поверхности следующим способом. Каждому узлу сетки с индексами  приписывается значение высоты , а индексам отвечают определенные значения плановых координат  отдельных точек объекта. Расстояние между соседними узлами сетки вдоль оси  равно , а вдоль оси  равно . На рис. представлена равномерная сеточная модель рельефа, для которой шаги  и . имеют постоянные значения независимо от места расположения узлов сетки. Значения и  назовем шагом сетки, а саму модель - шаговой моделью поверхности рельефа (ШМР).

Фактически такая модель представляет собой двумерный массив данных или матрицу, каждый элемент которой соответствует значению высоты.

С помощью ШМР в декартовой системе координат может быть описана только поверхность, для которой каждому значению плановых координат ,  соответствует только одно значение высоты . Следовательно, даже поверхность в декартовой системе координат не может быть описана ШМР. Однако для описания поверхности можно использовать полярные координаты, в этом случае, например, поверхности второго порядка могут быть также описаны ШМР.

 

Рис. Равномерная сеточная модель

1.4. Алгоритмы триангуляции

Существуют различные способы триангуляции. В одном способе производятся все возможные соединения, выбираются кратчайшие и удаляются все соединения, которые пересекаются с кратчайшими. Эта процедура повторяется со следующими кратчайшими соединениями до тех пор, пока ни одно соединение не пересекается. Результатом работы алгоритма является набор соединений с минимальным расстоянием между соседними точками. В другом способе триангуляции выбираются две точки и к ним присоединяется третья, находящаяся вблизи от перпендикуляра, восставленного из середины отрезка, соединяющего первые две исходные точки. Этот способ основан на создании треугольников близких к равносторонним.

Задачей построения триангуляции по заданному набору двумерных точек называется задача соединения заданных точек непересекающимися отрезками таким образом, чтобы в полученной триангуляции между двумя данными точками нельзя было построить новые отрезки без пересечения с уже существующими. Поскольку отрезки замыкают треугольники, мы будем считать их ребрами. Любой набор точек, за исключением тривиальных случаев, допускает несколько способов триангуляции, удовлетворяющих следующим свойствам:

-  для одного  набора точек число образуемых треугольников не зависит от

способа триангуляции;

- для набора из  >3 точек, из которых  являются внутренними точками (т. е. находятся внутри выпуклой оболочки, построенной по внешним точкам), и условия, что неколлинеарных точек не может быть менее трех, число образуемых треугольников в результате триангуляции будет равно  +  + 2. Имеется ряд алгоритмов машинной триангуляции: выпуклое обминание, триангуляция с минимальным краем, «жадная» триангуляция и т. д. В настоящее время в практических приложениях наиболее широко используется триангуляция Делоне.

2. Построение поверхностей на основе триангуляционной сети

Рассмотрим алгоритм построения ЦМР на основе аппроксимации триангуляционной сети высотных точек набором плоскостей, проходящих через узлы триангуляции. Данный метод использует естественное разбиение триангуляционной сети на множество непересекающихся треугольников и тот факт, что три пространственные точки единственным образом определяют плоскость в пространстве.

Для плоскости, проходящей через три точки, можно "записать условие компланарности трех векторов. Таким условием является равенство нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты векторов в ортонормированном базисе.

Раскрывая определитель, получим коэффициенты уравнения плоскости.

Высота в некоторой точке (х, у) плоскости вычисляется:

Используя это уравнение, можно построить ЦМР в пределах заданного треугольника, определяемого точками . На ребрах двух смежных треугольников в триангуляции значения высот вдоль всего ребра будут совпадать, однако данный способ не обеспечивает гладкого перехода ЦМР на ребре между смежными треугольниками, кроме того, ЦМР даже визуально не выглядит гладкой, что во многих случаях неприемлемо.

Для построения гладкой поверхности можно использовать полиномиальную функцию, проходящую через заданные точки. Однако даже для минимальной функции, например описанной уравнением

нужно определить шесть коэффициентов уравнения, для чего необходимо задать не менее шести точек, через которые проходит полиномиальная поверхность. В триангуляции можно использовать тот факт, что количество точек для заданного треугольника и соседних треугольников, прилежащих к его сторонам, равно шести.

В результате составления и решения системы уравнений по шести точкам-вершинам текущего треугольника и смежных с ним треугольников определяются коэффициенты уравнения. АХ=В.

Эта система решается относительно коэффициентов полинома X = В. Данный подход позволяет провести гладкую поверхность через заданный треугольник триангуляционной сети, однако обладает двумя существенными недостатками.

1. Для определения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений, что ведет к значительным вычислительным затратам;

2. Построение гладкой поверхности для заданного треугольника не ведет автоматически к построению гладкой поверхности на сети треугольников, так как отдельные функции совпадают на вершинах треугольников, но плохо сшиваются на границах треугольников. Для обеспечения общей гладкой поверхности необходимо дополнительно уравнивать границы треугольников, в результате генерация ЦМР не может быть осуществлена только локальными функциями и необходимо использовать глобальные для всей ЦМР методы, что не всегда возможно с точки зрения используемых вычислительных ресурсов.

Для построения гладкой поверхности можно использовать метод взвешенной интерполяции по ближайшему соседу, аналогичный методу интерполяции Гаусса (при р = 2 формулы совпадают).

Использование данной формулы интерполяции позволяет построить гладкую поверхность, проходящую через вершины треугольника (для построения поверхности используем только вершины треугольников). Однако по-прежнему на ребрах смежных треугольников не удается обеспечить требуемую гладкость. Для обеспечения гладкости на ребрах треугольника необходимо предпринять дополнительные меры. Для этого построим собственно границы смежных треугольников и будем использовать эти границы как дополнительные точки, обеспечивающие гладкость интерполяции на ребрах смежных треугольников. Построение границы треугольника можно произвести методом билинейной интерполяции по четырем точкам, для того чтобы обеспечить учет поверхности смежного треугольника.

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Скачать

лекция 5.doc

лекция 5.doc
Размер: 276.5 Кб

Бесплатно Скачать

Пожаловаться на материал

Модели и структуры трехмерных пространственных данных. Аналитические модели представления поверхностей. Векторные полигональные модели. Сеточные модели. Алгоритмы триангуляции. Построение поверхностей на основе триангуляционной сети

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Политология. Ответы

Захват заложника

Курсовая работа по уголовному праву. Специальность: - юриспруденция Специализация: судебно-правовая

Письменники рідного краю. Олександр Довженко. Життя та творчість.

Реферат. Довженка називали поетом і водночас політиком кіно. Митця порівнювали з Гомером, Шекспіром, Рабле, Гофманом, Бальзаком, Бетховеном, Брехтом.

Пенообразователи. Воздушно-механическая пена

Пенообразователи. Пена и ее свойства; кратность и стойкость пен, механизм прекращения горения, область применения, технические средства, способы и приемы подачи пены

Нервная ткань. Нервные клетки. Нервные волокна

Нервная ткань – это система взаимосвязанных нервных клеток и нейроглии, обеспечивающих специфические функции восприятия раздражений, возбуждения, выработки импульса и передачи его. Нейроны (нейроциты). Секреторные нейроны – нейросекреторные клетки. Нервные волокна. Нервные окончания. Синапсы. Нейроглия. Синапсы. Эфекторные нервные окончания. Микроглия.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok