Точки перегиба, возрастание/убывание функции, экстремумы и монотонность

Территория рекламы

Работа по дисциплине «Математика»

на тему: «Точки перегиба, возрастание/убывание функции, экстремумы и монотонность».

Выполнила:

студенка 1-го курса

заочной формы обучения

специальность «Менеджмент»

Точки перегиба, выпуклость и вогнутость

Рассмотрим график функции , которая непрерывна на всей числовой прямой:Назовём хордой отрезок, соединяющий две различные точки графика. 

График функции является выпуклым на некотором интервале, если он расположен не ниже любой хорды данного интервала. График является выпуклым на , и, очевидно, что здесь любая часть графика расположена НАД своей хордой.

График функции являются вогнутым на интервале, если он расположен не выше любой хорды этого интервала. В рассматриваемом примере график вогнут на промежутке . Тут любая часть графика расположена ПОД своей хордой.

Точка графика, в которой он меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость, называется точкой перегиба. Здесь она в единственном экземпляре (первый случай), причём, на практике под точкой перегиба можно подразумевать как зелёную точку , принадлежащую самой линии, так и «иксовое» значение .

Второй подход к определению выпуклости/вогнутости в теории даётся через касательные:

Выпуклый на интервале график расположен не выше касательной, проведённой к нему в произвольной точке данного интервала. Вогнутый же на интервале график – не ниже любой касательной на этом интервале.

Гипербола  вогнута на интервале  и выпукла на :При переходе через начало координат вогнутость меняется на выпуклость, однако точку НЕ СЧИТАЮТ точкой перегиба, так как функция  не определена в ней.

Выпуклость/вогнутость графика характеризует вторая производная функции.

Пусть функция  дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда:

– если вторая производная  на интервале, то график функции  является выпуклым на данном интервале;

– если вторая производная  на интервале, то график функции  является вогнутым на данном интервале.

Необходимое условие перегиба

Если в точке  есть перегиб графика функции , то: либо значения  не существует.

Данная фраза подразумевает, что функция  непрерывна в точке  и в случае   – дважды дифференцируема в некоторой её окрестности.

Необходимость условия говорит о том, что обратное справедливо не всегда. То есть из равенства  (либо небытия значения  ) ещё не следует существования перегиба графика функции  в точке . Но и в той, и в другой ситуации  называют критической точкой второй производной.

Достаточное условие перегиба.

Если вторая производная  при переходе через точку  меняет знак, то в данной точке существует перегиб графика функции .  

Точек перегиба может не быть вовсе, и в этом смысле показательны некоторые элементарные образцы. Проанализируем вторую производную функции :

Получена положительная функция-константа,  то есть для любого значения «икс» . Факты, лежащие на поверхности: парабола  вогнута на всей области определения, точки перегиба отсутствуют. Легко заметить, что отрицательный коэффициент при  «переворачивает» параболу и делает её выпуклой (о чём нам сообщит вторая производная – отрицательная функция-константа).

Экспоненциальная функция  также вогнута на : для любого значения «икс».

Точек перегиба у графика , разумеется, нет.

Исследуем на выпуклость/вогнутость график логарифмической функции :

Таким образом, ветка логарифма является выпуклой на интервале . Вторая производная  определена и на промежутке , но рассматривать его НЕЛЬЗЯ, поскольку данный интервал не входит в область определения функции . Требование очевидно – коль скоро там нет графика логарифма, то ни о какой выпуклости/вогнутости/перегибах речи, естественно, не заходит.

Как видите, всё действительно очень напоминает историю с возрастанием, убыванием и экстремумами функции. Похож и сам алгоритм исследования графика функции  на выпуклость, вогнутость и наличие перегибов:

1) На первом шаге находим область определения функции  и точки разрыва.

2) Разыскиваем критические значения. Для этого берём вторую производную  и решаем уравнение . Точки, в которых не существует 2-ой производной, но которые входят в область определения самой функции – тоже считаются критическими!

3) Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки (ни тех, ни других может не оказаться – тогда чертить ничего не надо (как и в слишком простом случае), достаточно ограничиться письменным комментарием). Методом интервалов определяем знаки  на полученных интервалах. Как только что пояснялось, рассматривать следует только те промежутки, которые входят в область определения функции . Делаем выводы о выпуклости/вогнутости и точках перегиба графика функции . Даём ответ.

Попытайтесь устно применить алгоритм для функций . Во втором случае, кстати, пример, когда в критической точке не существует перегиба графика. Впрочем, начнём с ненамного более сложных заданий:

Пример 1

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.

2) Найдём вторую производную. Можно предварительно выполнить возведение в куб, но значительно выгоднее использовать правило дифференцирование сложной функции

Найдём критические точки второй производной: – критическая точка

3) Проверим выполнение достаточного условия перегиба. Определим знаки второй производной на полученных интервалах .

Выберем наиболее выгодную точку  интервала  и вычислим в ней значение второй производной:, следовательно,  в любой точке интервала .

Из интервала  возьмём значение  и проведём аналогичное действие:, а значит,  и на всём интервале .

В результате получены следующие знаки второй производной:Таким образом, график САМОЙ ФУНКЦИИ  является выпуклым на интервале   и вогнутым на . При переходе через  вторая производная меняет знак, поэтому в данной точке существует перегиб графика.

Найдём ординату: 

Ответ: график функции выпукл на интервале   и вогнут на , в точке  существует перегиб графика.

Пример 2

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение: 1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке 2) Найдём критические точки второй производной:Критические точки отсутствуют.3) Определим знаки второй производной на полученных интервалах:Ответ: график функции  является вогнутым на интервале  и выпуклым на , точки перегиба отсутствуют.

Пример 3

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение:  1) Функция определена и непрерывна на .

2) Найдём критические точки второй производной:

Так как , то корни могут появиться только из решения квадратного уравнения:

Дискриминант положителен, и на подходе две критические точки:

Как и в ситуации с экстремумами функции, критические точки рациональнее не нумеровать подстрочными индексами. Ну а то, что они получились с радикалами – обычное дело.

3) Определим знаки второй производной. Можно использовать стандартный метод интервалов, но здесь , и учитывая, что  – парабола, ветви которой направлены вверх, получаем:Таким образом, график функции  является выпуклым на интервале  и вогнутым на . В обеих критических точках существуют перегибы графика (так как 2-ая производная при переходе через них меняет знак).

Найдём ординаты данных точек:(в целях вычислений подставлять, конечно, удобнее приближенные значения)

Ответ: график функции выпуклый на интервале  и вогнутый на . В точках  существуют перегибы графика.

Пример 4

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение: 1) Функция определена и непрерывна на .2) Найдём критические точки второй производной:  – критические точки3) Определим знаки второй производной на полученных интервалах:В точках  существуют перегибы графика.  Ответ: график функции  является вогнутым на интервале  и выпуклым на , точки перегиба: .

Пример 5

Исследовать график функции  на выпуклость, вогнутость и перегибы.

Решение: 1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках , и это обстоятельство крайне важно для решения задачи.

2) Найдём критические точки второй производной.

Воспользуемся методикой упрощения второй производной: числитель и знаменатель сокращаем на , множитель  выносим за скобки.

В результате получена одна критическая точка: .

3) Отметим на числовой прямой две точки разрыва, критическую точку и определим знаки второй производной на полученных интервалах:Важный приём метода интервалов, позволяющий значительно ускорить решение. Вторая производная  получилась весьма громоздкой, поэтому не обязательно рассчитывать её значения, достаточно сделать «прикидку» на каждом интервале. Выберем, например, точку , принадлежащее левому промежутку, и выполним подстановку:

Теперь анализируем множители:Два «минуса» и «плюс» дают «плюс», поэтому , а значит, вторая производная положительна и на всём интервале .

Ответ: график функции  является вогнутым на  и выпуклым на . В начале координат  существует перегиб графика.

При переходе через точки  вторая производная тоже меняет знак, но они не считаются точками перегиба, так как функция  терпит в них бесконечные разрывы.

В разобранном примере первая производная  сообщает нам о росте функции на всей области определения. Кроме того, очевидно наличие трёх асимптот .

График примера 5:

Пример 6

Исследовать график функции  на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба графика, если они существует.

Пример 6: Решение: найдём критические точки второй производной: – критические точки:Определим знаки второй производной на полученных интервалах:Во всех трёх точках существуют перегибы графика.Ответ: график функции выпуклый на  и вогнутый на . В точках  существуют перегибы графика.

Пример 7

Исследовать график функции  на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба, если они существует.

Решение: функция терпит бесконечный разрыв в точке .

Обнаруживаются две критические точки второй производной: 

Определим знаки  на полученных интервалах:В точке  существует перегиб графика, найдём ординату точки:

При переходе через точку  вторая производная не меняет знак, следовательно, в ней НЕТ перегиба графика.

Ответ: интервалы выпуклости: ; интервал вогнутости: ; точка перегиба: .

Пример 8

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика 

Решение: находим область определения:, при этом в точках  функция терпит разрывы.

 – критическая точка.

Определим знаки , при этом рассматриваем интервалы только из области определения функции:В точке  существует перегиб графика, вычислим ординату:

Ответ: график  является выпуклым на  и вогнутым на , в точке  существует перегиб.

Пример 9

То же задание для функции .

Пример 9: Решение: найдём область определения функции. Составим и решим двойное неравенство:Таким образом,  .Найдём критические точки второй производной:  – критическая точка.Учитывая область определения функции, определим знаки :В точке  существует перегиб графика.Ответ: интервал вогнутости графика: , выпуклости: , точка перегиба: .

Возрастание/убывание, экстремумы и монотонность функции

Пример 1.

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой. 2) Второй пункт алгоритма обусловлен необходимым условием экстремума:

Если в точке  есть экстремум, то  либо значения  не существует.

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства  ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример был выше – это кубическая парабола  и её критическая точка .

Необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение :

Получилось обычное квадратное уравнение:

Положительный дискриминант доставляет две критические точки:

Итак,  – критические точки

Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.

3) воспользуемся первым достаточным условием экстремума, которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки . Тогда:

– если при переходе через точку  производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

– если при переходе через точку  производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

Перед нами парабола , ветви которой направлены вниз. Отложим на числовой прямой найденные критические точки: I) Берём какую-нибудь точку интервала  и находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать :, значит, производная отрицательна на всём интервале .

II) Выбираем точку , принадлежащую интервалу , и проводим аналогичное действие:, следовательно,  на всём интервале .

III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке   последнего интервала:, поэтому  в любой точке интервала .

В результате получены следующие знаки производной: 

На интервалах  производная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ  на данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале , значит, функция возрастает на , и её график идёт «снизу вверх».

При переходе через точку  производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума: 

При переходе же через точку  производная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке: 

Ответ: функции возрастает на интервале  и убывает на интервалах . В точке  функция достигает минимума: , а в точке  – максимума: 

На первом этапе мы нашли производную  и критические точки  (в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где   (парабола ниже оси) и  (парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.

Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-ое достаточное условие, однако для исследования функций оно мало информативно и больше используется в экстремальных задачах.

Пример 2

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.2) Найдём критические точки: – критическая точка. 3) Методом интервалов определим знаки производной:Ответ: функция убывает на интервале  и возрастает на интервале . В точке  функция достигает минимума: 

Пример 3

Исследовать функцию с помощью первой производной

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Найдем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:Необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной  и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: . Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .

Итак, САМА ФУНКЦИЯ  возрастает на  и убывает на . В точке  функция достигает максимума: В точке  функция достигает минимума: 

Ответ: функция возрастает на  и убывает на  В точке  достигается максимум функции: , а в точке  – минимум: .

Пример 4

Найти экстремумы функции

Пример 4: Решение:

1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке .2) Найдём критические точки:,  – критические точки. 3) Методом интервалов определим знаки производной:В точке  функция достигает минимума: . В точке  экстремум отсутствует.Ответ: в точке  функция достигает минимума: .

Пример 5

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции

Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки .

2) Найдём критические точки:Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель – критическая точка. 3) Определим знаки производной:Ответ: функция возрастает на  и убывает на . В точке  она достигает максимума: 

Пример 6

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение: область определения  данной функции: ,

В итоге получаются корень  и крайние точки области определения:.

Но производная определена и на интервале . Более того, точка  (не критическая) вошла в этот интервал. Поэтому, определяем знаки производной только на интервалах области определения функции:Функция убывает на интервале  и возрастает на интервале . Точки экстремума отсутствуют. Значение  не учитывается, так как на интервале  попросту нет графика функции .

Ответ: функция убывает на интервале  и возрастает на, экстремумы отсутствуют.

Пример 7

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение:

Область определения: .Найдём критические точки: – критическая точка. Определим знаки производной:Ответ: функция убывает на интервале  и возрастает на интервале  В точке  функция достигает минимума: 

Пример 8

Найти точки экстремума функции

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдём критические точки:

Подробно распишем преобразование знаменателя:, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом,  – критические точки. Значения , обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам, так как сама функция в них определена.

Определим знаки производной на полученных интервалах:Функция возрастает на интервале  и убывает на .

В точке  функция достигает минимума: .В точке  функция достигает максимума: .В точке  нет экстремума.

Ответ:  – точка минимума,  – точка максимума

График данной функции представлен ниже:

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Скачать

Никиточкиной МЕН-(б)-З-1.docx

Никиточкиной МЕН-(б)-З-1.docx
Размер: 391.7 Кб

Бесплатно Скачать

Пожаловаться на материал

Рассмотрим график функции, которая непрерывна на всей числовой прямой:Назовём хордой отрезок, соединяющий две различные точки графика.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Исследование финансовых аспектов развития Российской экономики в условиях повышения страновых рисков

Реферат По бухгалтерскому учёту Оценка состояния экономики России. Воздействие финансов на экономику РФ. Страновый риск. Влияние странового риска на становление рыночных отношений в РФ. Проблемы и перспективы государственного финансового регулирования экономики страновых рисков

Кинематика механического движения

Практическое занятие Цель занятия: отработать навык решения задач по кинематике.

Катав-Ивановский цементный завод

Краткая характеристика предприятия Общая характеристика электрооборудования Организация эксплуатации энергетического хозяйства Цели и задачи электротехнической лаборатории Потребление и оплата электроэнергии. Мероприятия по снижению токов К.З. и компенсации реактивной мощности Ограничение токов короткого замыкания

Общение. Виды. Три стороны общения

Общение между людьми происходит в различных формах, лично-групповое, межличностное, и межгрупповое общение.

Проблемы в законодательстве. Применение права по аналогии

Пробел в праве - это полное или частичное отсутствие правовой нормы. Аналогия закона. Аналогия права. Специальный юридический анализ

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok