Точки перегиба, возрастание/убывание функции, экстремумы и монотонность

Территория рекламы

Работа по дисциплине «Математика»

на тему: «Точки перегиба, возрастание/убывание функции, экстремумы и монотонность».

Выполнила:

студенка 1-го курса

заочной формы обучения

специальность «Менеджмент»

Точки перегиба, выпуклость и вогнутость

Рассмотрим график функции , которая непрерывна на всей числовой прямой:Назовём хордой отрезок, соединяющий две различные точки графика. 

График функции является выпуклым на некотором интервале, если он расположен не ниже любой хорды данного интервала. График является выпуклым на , и, очевидно, что здесь любая часть графика расположена НАД своей хордой.

График функции являются вогнутым на интервале, если он расположен не выше любой хорды этого интервала. В рассматриваемом примере график вогнут на промежутке . Тут любая часть графика расположена ПОД своей хордой.

Точка графика, в которой он меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость, называется точкой перегиба. Здесь она в единственном экземпляре (первый случай), причём, на практике под точкой перегиба можно подразумевать как зелёную точку , принадлежащую самой линии, так и «иксовое» значение .

Второй подход к определению выпуклости/вогнутости в теории даётся через касательные:

Выпуклый на интервале график расположен не выше касательной, проведённой к нему в произвольной точке данного интервала. Вогнутый же на интервале график – не ниже любой касательной на этом интервале.

Гипербола  вогнута на интервале  и выпукла на :При переходе через начало координат вогнутость меняется на выпуклость, однако точку НЕ СЧИТАЮТ точкой перегиба, так как функция  не определена в ней.

Выпуклость/вогнутость графика характеризует вторая производная функции.

Пусть функция  дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда:

– если вторая производная  на интервале, то график функции  является выпуклым на данном интервале;

– если вторая производная  на интервале, то график функции  является вогнутым на данном интервале.

Необходимое условие перегиба

Если в точке  есть перегиб графика функции , то: либо значения  не существует.

Данная фраза подразумевает, что функция  непрерывна в точке  и в случае   – дважды дифференцируема в некоторой её окрестности.

Необходимость условия говорит о том, что обратное справедливо не всегда. То есть из равенства  (либо небытия значения  ) ещё не следует существования перегиба графика функции  в точке . Но и в той, и в другой ситуации  называют критической точкой второй производной.

Достаточное условие перегиба.

Если вторая производная  при переходе через точку  меняет знак, то в данной точке существует перегиб графика функции .  

Точек перегиба может не быть вовсе, и в этом смысле показательны некоторые элементарные образцы. Проанализируем вторую производную функции :

Получена положительная функция-константа,  то есть для любого значения «икс» . Факты, лежащие на поверхности: парабола  вогнута на всей области определения, точки перегиба отсутствуют. Легко заметить, что отрицательный коэффициент при  «переворачивает» параболу и делает её выпуклой (о чём нам сообщит вторая производная – отрицательная функция-константа).

Экспоненциальная функция  также вогнута на : для любого значения «икс».

Точек перегиба у графика , разумеется, нет.

Исследуем на выпуклость/вогнутость график логарифмической функции :

Таким образом, ветка логарифма является выпуклой на интервале . Вторая производная  определена и на промежутке , но рассматривать его НЕЛЬЗЯ, поскольку данный интервал не входит в область определения функции . Требование очевидно – коль скоро там нет графика логарифма, то ни о какой выпуклости/вогнутости/перегибах речи, естественно, не заходит.

Как видите, всё действительно очень напоминает историю с возрастанием, убыванием и экстремумами функции. Похож и сам алгоритм исследования графика функции  на выпуклость, вогнутость и наличие перегибов:

1) На первом шаге находим область определения функции  и точки разрыва.

2) Разыскиваем критические значения. Для этого берём вторую производную  и решаем уравнение . Точки, в которых не существует 2-ой производной, но которые входят в область определения самой функции – тоже считаются критическими!

3) Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки (ни тех, ни других может не оказаться – тогда чертить ничего не надо (как и в слишком простом случае), достаточно ограничиться письменным комментарием). Методом интервалов определяем знаки  на полученных интервалах. Как только что пояснялось, рассматривать следует только те промежутки, которые входят в область определения функции . Делаем выводы о выпуклости/вогнутости и точках перегиба графика функции . Даём ответ.

Попытайтесь устно применить алгоритм для функций . Во втором случае, кстати, пример, когда в критической точке не существует перегиба графика. Впрочем, начнём с ненамного более сложных заданий:

Пример 1

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.

2) Найдём вторую производную. Можно предварительно выполнить возведение в куб, но значительно выгоднее использовать правило дифференцирование сложной функции

Найдём критические точки второй производной: – критическая точка

3) Проверим выполнение достаточного условия перегиба. Определим знаки второй производной на полученных интервалах .

Выберем наиболее выгодную точку  интервала  и вычислим в ней значение второй производной:, следовательно,  в любой точке интервала .

Из интервала  возьмём значение  и проведём аналогичное действие:, а значит,  и на всём интервале .

В результате получены следующие знаки второй производной:Таким образом, график САМОЙ ФУНКЦИИ  является выпуклым на интервале   и вогнутым на . При переходе через  вторая производная меняет знак, поэтому в данной точке существует перегиб графика.

Найдём ординату: 

Ответ: график функции выпукл на интервале   и вогнут на , в точке  существует перегиб графика.

Пример 2

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение: 1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке 2) Найдём критические точки второй производной:Критические точки отсутствуют.3) Определим знаки второй производной на полученных интервалах:Ответ: график функции  является вогнутым на интервале  и выпуклым на , точки перегиба отсутствуют.

Пример 3

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение:  1) Функция определена и непрерывна на .

2) Найдём критические точки второй производной:

Так как , то корни могут появиться только из решения квадратного уравнения:

Дискриминант положителен, и на подходе две критические точки:

Как и в ситуации с экстремумами функции, критические точки рациональнее не нумеровать подстрочными индексами. Ну а то, что они получились с радикалами – обычное дело.

3) Определим знаки второй производной. Можно использовать стандартный метод интервалов, но здесь , и учитывая, что  – парабола, ветви которой направлены вверх, получаем:Таким образом, график функции  является выпуклым на интервале  и вогнутым на . В обеих критических точках существуют перегибы графика (так как 2-ая производная при переходе через них меняет знак).

Найдём ординаты данных точек:(в целях вычислений подставлять, конечно, удобнее приближенные значения)

Ответ: график функции выпуклый на интервале  и вогнутый на . В точках  существуют перегибы графика.

Пример 4

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение: 1) Функция определена и непрерывна на .2) Найдём критические точки второй производной:  – критические точки3) Определим знаки второй производной на полученных интервалах:В точках  существуют перегибы графика.  Ответ: график функции  является вогнутым на интервале  и выпуклым на , точки перегиба: .

Пример 5

Исследовать график функции  на выпуклость, вогнутость и перегибы.

Решение: 1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках , и это обстоятельство крайне важно для решения задачи.

2) Найдём критические точки второй производной.

Воспользуемся методикой упрощения второй производной: числитель и знаменатель сокращаем на , множитель  выносим за скобки.

В результате получена одна критическая точка: .

3) Отметим на числовой прямой две точки разрыва, критическую точку и определим знаки второй производной на полученных интервалах:Важный приём метода интервалов, позволяющий значительно ускорить решение. Вторая производная  получилась весьма громоздкой, поэтому не обязательно рассчитывать её значения, достаточно сделать «прикидку» на каждом интервале. Выберем, например, точку , принадлежащее левому промежутку, и выполним подстановку:

Теперь анализируем множители:Два «минуса» и «плюс» дают «плюс», поэтому , а значит, вторая производная положительна и на всём интервале .

Ответ: график функции  является вогнутым на  и выпуклым на . В начале координат  существует перегиб графика.

При переходе через точки  вторая производная тоже меняет знак, но они не считаются точками перегиба, так как функция  терпит в них бесконечные разрывы.

В разобранном примере первая производная  сообщает нам о росте функции на всей области определения. Кроме того, очевидно наличие трёх асимптот .

График примера 5:

Пример 6

Исследовать график функции  на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба графика, если они существует.

Пример 6: Решение: найдём критические точки второй производной: – критические точки:Определим знаки второй производной на полученных интервалах:Во всех трёх точках существуют перегибы графика.Ответ: график функции выпуклый на  и вогнутый на . В точках  существуют перегибы графика.

Пример 7

Исследовать график функции  на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба, если они существует.

Решение: функция терпит бесконечный разрыв в точке .

Обнаруживаются две критические точки второй производной: 

Определим знаки  на полученных интервалах:В точке  существует перегиб графика, найдём ординату точки:

При переходе через точку  вторая производная не меняет знак, следовательно, в ней НЕТ перегиба графика.

Ответ: интервалы выпуклости: ; интервал вогнутости: ; точка перегиба: .

Пример 8

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика 

Решение: находим область определения:, при этом в точках  функция терпит разрывы.

 – критическая точка.

Определим знаки , при этом рассматриваем интервалы только из области определения функции:В точке  существует перегиб графика, вычислим ординату:

Ответ: график  является выпуклым на  и вогнутым на , в точке  существует перегиб.

Пример 9

То же задание для функции .

Пример 9: Решение: найдём область определения функции. Составим и решим двойное неравенство:Таким образом,  .Найдём критические точки второй производной:  – критическая точка.Учитывая область определения функции, определим знаки :В точке  существует перегиб графика.Ответ: интервал вогнутости графика: , выпуклости: , точка перегиба: .

Возрастание/убывание, экстремумы и монотонность функции

Пример 1.

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой. 2) Второй пункт алгоритма обусловлен необходимым условием экстремума:

Если в точке  есть экстремум, то  либо значения  не существует.

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства  ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример был выше – это кубическая парабола  и её критическая точка .

Необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение :

Получилось обычное квадратное уравнение:

Положительный дискриминант доставляет две критические точки:

Итак,  – критические точки

Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.

3) воспользуемся первым достаточным условием экстремума, которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки . Тогда:

– если при переходе через точку  производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

– если при переходе через точку  производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

Перед нами парабола , ветви которой направлены вниз. Отложим на числовой прямой найденные критические точки: I) Берём какую-нибудь точку интервала  и находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать :, значит, производная отрицательна на всём интервале .

II) Выбираем точку , принадлежащую интервалу , и проводим аналогичное действие:, следовательно,  на всём интервале .

III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке   последнего интервала:, поэтому  в любой точке интервала .

В результате получены следующие знаки производной: 

На интервалах  производная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ  на данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале , значит, функция возрастает на , и её график идёт «снизу вверх».

При переходе через точку  производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума: 

При переходе же через точку  производная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке: 

Ответ: функции возрастает на интервале  и убывает на интервалах . В точке  функция достигает минимума: , а в точке  – максимума: 

На первом этапе мы нашли производную  и критические точки  (в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где   (парабола ниже оси) и  (парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.

Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-ое достаточное условие, однако для исследования функций оно мало информативно и больше используется в экстремальных задачах.

Пример 2

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.2) Найдём критические точки: – критическая точка. 3) Методом интервалов определим знаки производной:Ответ: функция убывает на интервале  и возрастает на интервале . В точке  функция достигает минимума: 

Пример 3

Исследовать функцию с помощью первой производной

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Найдем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:Необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной  и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: . Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .

Итак, САМА ФУНКЦИЯ  возрастает на  и убывает на . В точке  функция достигает максимума: В точке  функция достигает минимума: 

Ответ: функция возрастает на  и убывает на  В точке  достигается максимум функции: , а в точке  – минимум: .

Пример 4

Найти экстремумы функции

Пример 4: Решение:

1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке .2) Найдём критические точки:,  – критические точки. 3) Методом интервалов определим знаки производной:В точке  функция достигает минимума: . В точке  экстремум отсутствует.Ответ: в точке  функция достигает минимума: .

Пример 5

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции

Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки .

2) Найдём критические точки:Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель – критическая точка. 3) Определим знаки производной:Ответ: функция возрастает на  и убывает на . В точке  она достигает максимума: 

Пример 6

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение: область определения  данной функции: ,

В итоге получаются корень  и крайние точки области определения:.

Но производная определена и на интервале . Более того, точка  (не критическая) вошла в этот интервал. Поэтому, определяем знаки производной только на интервалах области определения функции:Функция убывает на интервале  и возрастает на интервале . Точки экстремума отсутствуют. Значение  не учитывается, так как на интервале  попросту нет графика функции .

Ответ: функция убывает на интервале  и возрастает на, экстремумы отсутствуют.

Пример 7

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение:

Область определения: .Найдём критические точки: – критическая точка. Определим знаки производной:Ответ: функция убывает на интервале  и возрастает на интервале  В точке  функция достигает минимума: 

Пример 8

Найти точки экстремума функции

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдём критические точки:

Подробно распишем преобразование знаменателя:, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом,  – критические точки. Значения , обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам, так как сама функция в них определена.

Определим знаки производной на полученных интервалах:Функция возрастает на интервале  и убывает на .

В точке  функция достигает минимума: .В точке  функция достигает максимума: .В точке  нет экстремума.

Ответ:  – точка минимума,  – точка максимума

График данной функции представлен ниже:

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Скачать

Никиточкиной МЕН-(б)-З-1.docx

Никиточкиной МЕН-(б)-З-1.docx
Размер: 391.7 Кб

Бесплатно Скачать

Пожаловаться на материал

Рассмотрим график функции, которая непрерывна на всей числовой прямой:Назовём хордой отрезок, соединяющий две различные точки графика.

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Компьютерные технологии обработки медико-биологической информации

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Биомедицинская техника» Кафедра «Биомедицинские технические системы» Компьютерные технологии обработки медико-биологической информации Лабораторная работа №6

Педагогічне керівництво самостійною рухової діяльністю дітей

Оптимальна рухова активність – необхідна умова всебічного розвитку дітей. Керівництво самостійною руховою діяльністю дітей.

Гражданское право

Ответы Гражданское право ГП на гос. экзамен. Предмет гражданского права. Договор (особенности договора), Гражданское законодательство. ГК гражданский кодекс РФ. Характеристика юридического лица. Имущество с точки зрения ФЗ.

Радиоприемные устройства цифровых систем радиосвязи

Целью данного курсового проекта является: 1) освоение методики расчета шумовых параметров РПМУ в целом; 2) освоение методики расчета избирательности РПМУ в целом, так  и отдельных его каскадов

Бренд, его классификация, торговая марка

Преимущества и недостатки Российского бренда. Понятие позиционирование и разновидности. Классификация бренда. Капитал и воспринимаемая ценность торговой марки.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok