Функция нескольких переменных

1

Градиент функции z=fx,y в точке М:

grad z=∂z∂xM∙i+∂z∂yM∙j; grad z=∂z∂xM2+∂z∂yM2

Полный дифференциал:

dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy; dnz=∂∂xdx+∂∂ydynz

Производная функции z=fx,y в точке М по направлению вектора aax;ay

∂z∂a=∂z∂xM∙cosα+∂z∂yM∙cosβ; cosα=axa; cosβ=aya- направляющие косинусы.

Производная неявной функции Fx,y=0:

dydx=-∂F∂x∂F∂y. x2y+y2+lny=0.∂F∂x=2xy∂F∂y=x2+2y+1y dydx=-2xyx2+2y+1y; dydx=-2xy2x2y+2y2+1

Дифференцирование сложных функций:

z=fx,y; y=yx. Тогда dzdx=∂z∂x+∂z∂y∙dydx

z=fx,y; y=yt;x=x(t). Тогда dzdt=∂z∂x∙dxdt+∂z∂y∙dydt

z=fx,y; y=yu,v;x=xu,v. Тогда ∂z∂u=∂z∂x∙∂x∂u+∂z∂y∙∂y∂u; ∂z∂v=∂z∂x∙∂x∂v+∂z∂y∙∂y∂v

Безусловный экстремум z=fx,y:

Находим критические точки - в них первые частные производные обращаются в ноль, т.е. решаем систему:

∂z∂x=0∂z∂y=0

Исследуем каждую критическую точку на экстремум (x0;y0 – координаты точки):

A=∂2z∂x2x0;y0 C=∂2z∂y2x0;y0 B=∂2z∂x∂yx0;y0 ∆=A∙C-B2

если ∆>0; A>0 - то имеем точку min

если ∆>0; A<0 - то имеем точку max

если ∆=0 - то имеем сомнительный случай, нужно дополнительное исследование

если ∆<0 - то в точке экстремума нет.

Условный экстремум z=fx,y и φx,y=0:

Составляем функцию Лагранжа Lx,y,λ=fx,y+λ∙φx,y

Находим критические точки - в них первые частные производные обращаются в ноль, т.е. решаем систему:

∂L∂x=0; ∂L∂y=0; ∂L∂λ=0

Исследуем каждую критическую точку на экстремум (x0;y0;λ – координаты точки):

A=∂2L∂x2x0;y0;λ C=∂2L∂y2x0;y0;λ B=∂2L∂x∂yx0;y0;λ ∆=A∙C-B2

Уравнение касательной плоскости к поверхности Fx,y,z=0 в точке Mx0;y0;z0:

∂F∂xM∙x-x0+∂F∂yM∙y-y0+∂F∂zM∙z-z0=0

Уравнение нормали к поверхности Fx,y,z=0 в точке Mx0;y0;z0:

x-x0∂F∂xM=y-y0∂F∂yM=z-z0∂F∂zM

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Описание к данному материалу отсутствует

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok