Методы принятия управленческих решений. Контрольная работа по МПУР

СОДЕРЖАНИЕ:

ЗАДАНИЕ 1…………………………………………………………………….…3 TOC \o "1-3" \h \z \u

ЗАДАНИЕ 2…………………………………………………………………..….10

Задание 3 PAGEREF _Toc388508832 \h 18

Библиографический список PAGEREF _Toc388508834 \h 26

2

Задание 1

Общая задача оптимального (математического) программирования, основные элементы и понятия. Пример

Ответ

Оптимальное (математическое) программирование - раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении.

Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей, загрузка контейнеров и т.д.).

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение X=x1,x2,…,xn , где xj - его компоненты, которое наилучшим образом (традиционные критерии оптимальности: «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум объема работ (услуг)» и др.) учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта (на выбор управленческого решения (поведения) накладывается ряд условий). Т.е. выбор X осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D; эту область называют также областью определения задачи.

Таким образом, реализовать на практике принцип оптимальности в планировании и управлении - это значит решить экстремальную задачу вида

3

fX→max(min)X∈D

где fX - математическая запись критерия оптимальности - целевая функция задачи (модели) оптимизации.

Общая задача оптимального (математического) программирования, основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности, системности и адекватности имеет вид:

Найти максимум или минимум функции

fx1,x2,…,xn→maxmin

при ограничениях

φix1,x2,…,xn≤,=,≥bi, i=1,mxj≥0, j=1,n

Условие неотрицательности необязательно, но его всегда при необходимости можно добиться. Обозначение {≤,=,≥} говорит о том, что в конкретном ограничении возможен один из знаков ≤, = или ≥.

Вектор X (набор управляющих переменных xj, j=1,n) называется допустимым решением или планом задачи оптимального программирования, если его компоненты xj удовлетворяют системе ограничений. А тот план X (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции fx1,x2,…,xn называется оптимальным планом (оптимальным поведением, или просто решением) задачи оптимального программирования.

Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности, адекватности и оптимальности экономико-математического моделирования и решением задачи оптимального программирования.

Задачи оптимального программирования в наиболее общем виде классифицируют по следующим признакам.

1. По характеру взаимосвязи между переменными:

4

а) линейные;

б) нелинейные.

2. По характеру изменения переменных:

а) непрерывные;

б) дискретные.

3. По учету фактора времени:

а) статические;

б) динамические.

4. По наличию информации о переменных:

а) задачи в условиях полной определенности (детерминированные);

б) задачи в условиях неполной информации;

в) задачи в условиях неопределенности.

5. По числу критериев оценки альтернатив:

а) простые, однокритериальные задачи;

б) сложные, многокритериальные задачи.

Примеры задач оптимального программирования: транспортная задача, задача распределения инвестиций, задача планирования производства.

Рассмотрим конкретный пример.

Условия задачи:

При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице

Ресурсы

Норма затрат ресурсов на товары

Общее количество ресурсов

1-го вида

2-го вида

1

2

3

4

2

1

4

0

2

2

0

4

12

8

16

12

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед.

5

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Решение

Введем обозначения искомых переменных.

Пусть x1 – искомое количество товара 1-го вида, x2 – количество товара 2-го вида.

Составим целевую функцию. Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Целевая функция примет вид:

F(x)=2x1+3x2→max

Составим систему ограничений по ресурсам. Получим следующие неравенства – ограничения:

2x1+2x2≤12 – ограничение по 1-му ресурсу;

x1+2x2≤8 – ограничение по 2-му ресурсу;

4x1≤16 – ограничение по 3-му ресурсу;

4x2≤12 – ограничение по 4-му ресурсу;

Обязательным условием данной задачи является не отрицательность полученных значений:

x1, x2≥0

Экономико-математическая модель, состоящая из целевой функции и системы ограничений, имеет следующий вид:

F(x)=2x1+3x2→max

2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1, x2≥0

Решим задачу линейного программирования геометрическим методом:

6

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.

Построим уравнение 2x1+2x2=12 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1=0. Находим x2=6. Для нахождения второй точки приравниваем x2=0. Находим x1=6. Соединяем точку (0;6) с (6;0) прямой линией.

Построим уравнение x1+2x2=8 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1=0. Находим x2=4. Для нахождения второй точки приравниваем x2=0. Находим x1=8. Соединяем точку (0;4) с (8;0) прямой линией.

Построим уравнение 4x1=16 по двум точкам. Находим x1=4. Положим x2=0 и x2=1. Соединяем точку (4;0) с (4;1) прямой линией.

Построим уравнение 4x2=12 по двум точкам. Находим x2=3. Положим x1=0 и x1=1. Соединяем точку (0;3) с (1;3) прямой линией.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

7

Рассмотрим целевую функцию задачи FX=2x1+3x2→max

Построим прямую, отвечающую значению функции FX=0: 2x1+3x2=0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации FX. Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области.

8

Прямая F1X=const пересекает область в точке пересечения прямых x1+2x2=8 и 4x1=16. Решив систему уравнений, получим: x1=4, x2=2. Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

FX=2x1+3x2=14

Следовательно, решение исходной задачи имеет вид:

x1=4

x2=2

FX=14

9

Задание 2

Предприятие осуществляет выпуск комплектующих изделий А и В, для производства которых используются сталь и цветные металлы. Технологический процесс предполагает обработку изделий на токарных и фрезерных станках. Технологическими нормами производства изделий предусмотрены определенные затраты сырья (кг) и времени (станко-час). Технологические данные производственного процесса представлены в таблице.

В течение месяца предприятие располагает ограниченными ресурсами сырья и времени обработки изделий в производственных цехах. Прибыль от реализации изделия А составляет 60 руб./шт., изделия В — 160 руб./шт.

Продукция/ Ресурсы

Сырье, кг

Обработка, станко-час

Прибыль, руб.

Цветные металлы

Сталь

Токарные работы

Фрезерные работы

Изделие А

10

20

70

150

60

Изделие В

60

50

40

200

160

Ресурсы

6 000

5 700

10 500

30 000

1. Найдите оптимальный план производства (количество изделий А и В), дающий максимальную прибыль.

2. Проведите анализ решения с использованием двойственных оценок.

Решение

Введем обозначения искомых переменных.

Пусть x1 – искомое количество изделий А, x2 – количество изделий В.

Составим целевую функцию. Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Целевая функция примет вид:

F(x)=60x1+160x2→max

10

Составим систему ограничений по ресурсам. Получим следующие неравенства – ограничения:

10x1+60x2≤6000 – ограничение по количеству цветных металлов;

20x1+50x2≤5700 – ограничение по количеству стали;

70x1+40x2≤10500 – ограничение по затратам времени на токарные работы;

150x1+200x2≤30000 – ограничение по затратам времени на фрезерные работы;

Обязательным условием данной задачи является неотрицательность полученных значений:

x1, x2≥0

Экономико математическая модель, состоящая из целевой функции и системы ограничений, имеет следующий вид:

F(x)=60x1+160x2→max

10x1+60x2≤600020x1+50x2≤570070x1+40x2≤10500150x1+200x2≤30000x1, x2≥0

Решим задачу линейного программирования геометрическим методом:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.

Построим уравнение 10x1+60x2=6000 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1=0. Находим x2=100. Для нахождения второй точки приравниваем x2=0. Находим x1=600. Соединяем точку (0;100) с (600;0) прямой линией.

Построим уравнение 20x1+50x2=5700 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1=0. Находим x2=114. Для нахождения второй точки приравниваем x2=0. Находим x1=285.

11

Соединяем точку (0;114) с (285;0) прямой линией.

Построим уравнение 70x1+40x2=10500 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1=0. Находим x2=262,5. Для нахождения второй точки приравниваем x2=0. Находим x1=150. Соединяем точку (0;262,5) с (150;0) прямой линией.

Построим уравнение 150x1+200x2=30000 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1=0. Находим x2=150. Для нахождения второй точки приравниваем x2=0. Находим x1=200. Соединяем точку (0;150) с (200;0) прямой линией.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

12

Рассмотрим целевую функцию задачи FX=60x1+160x2→max

Построим прямую, отвечающую значению функции FX=0: 60x1+160x2=0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации FX. Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (60; 160). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области.

13

Прямая F1X=const пересекает область в точке пересечения прямых 10x1+60x2=6000 и 20x1+50x2=5700. Решив систему уравнений, получим: x1=60, x2=90. Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

FX=60x1+160x2=18000

Следовательно, решение исходной задачи имеет вид:

x1=60

x2=90

FX=18000

14

Решим задачу с использованием надстройки «Поиск решения» в MicrosoftExcel:

Таким образом, оптимальный план выпуска продукции:

x1=60 ед.

x2=90ед.

Максимальная общая прибыль от реализации оптимального плана выпуска продукции 18000ден.ед.

15

2. Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план (двойственные оценки).

Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.

Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.

Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.

Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства-ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной.

Тогда двойственная задача имеет вид:

6000y1+5700y2+10500y3+30000y4→min10y1+20y2+70y3+150y4≤6060y1+50y2+40y3+200y4≤160y1, y2, y3, y4≥0

Решим двойственную задачу с использованием надстройки «Поиск решения» в MicrosoftExcel:

16

Оптимальный план двойственной задачи:

y1=27, y2=267, y3=0, y4=0

Значение целевой функции двойственной задачи равно 18000ден.ед.

Проведем анализ оптимального решения с помощью двойственных оценок.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

17

10*2/7 + 20*26/7 + 70*0 + 150*0 = 60 = 60

60*2/7 + 50*26/7 + 40*0 + 200*0 = 160 = 160

Ограничения двойственной задачи выполняются как равенства. Это означает, что производство продукции А и В экономически выгодно и предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x1,x2>0). Непроизводительных затрат нет.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

10*60 + 60*90 = 6000 = 6000

20*60 + 50*90 = 5700 = 5700

70*60 + 40*90 = 7800 < 10500

150*60 + 200*90 = 27000 < 30000

1-ое и 2-ое ограничения прямой задачи выполняются как равенство. Это означает, что 1-ый и 2-ой вид ресурса полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными и их оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y1,y2>0).

3-е, 4-ое ограничения выполняются как строгое неравенство, т.е. сырье 3-го, 4-ого вида израсходовано не полностью. Значит, этот вид сырья не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y3 = 0, y3 = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 3 составляет 2700 (10500-7800).

Неиспользованный экономический резерв ресурса 4 составляет 3000 (30000-27000).

Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, на станках можно обрабатывать другую продукцию или сдать в аренду).

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурса, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

18

Задание 3

Зафиксирован объем продаж Y(t) (тыс. шт.) одного из продуктов фирмы за одиннадцать месяцев. Временной ряд данного показателя представлен в таблице.

Номер наблюдения (t = 1, 2, …, 11)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3

7

10

11

15

17

21

25

27

27

30

1. Постройте график временного ряда, сделайте вывод о наличии тренда.2. Постройте линейную модель Y(t) = a0 + а1t, оцените ее параметры с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

3. Оцените адекватность построенной модели, используя свойства остаточной компоненты e(t).

4. Оцените точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

5. Осуществите прогноз спроса на следующие два месяца (доверительный интервал прогноза рассчитайте при доверительной вероятности P = 75%).

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представьте графически.

7. Используя MS Excel и VSTAT, подберите для данных своего варианта наилучшую трендовую модель и выполните прогнозирование по лучшей модели на два ближайших периода. Представьте в отчете соответствующие листинги с комментариями.

Решение

19

1. Построим график временного ряда.

Временной тренд имеет линейную тенденцию.

2. Построим линейную модель Y(t) = a0 + а1t, оценим ее параметры с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + а1∑t = ∑y

a0∑t + а1∑t2 = ∑y•t

20

Произведем предварительные расчеты:

t

y

t2

y2

t y

1

3

1

9

3

2

7

4

49

14

3

10

9

100

30

4

11

16

121

44

5

15

25

225

75

6

17

36

289

102

7

21

49

441

147

8

25

64

625

200

9

27

81

729

243

10

27

100

729

270

11

30

121

900

330

Итого

66

193

506

4217

1458

Для наших данных система уравнений имеет вид:

11a0 + 66a1 = 193

66a0 + 506a1 = 1458

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = 2,7273, a1 = 1,1818

Уравнение тренда:

y = 2,7273t + 1,1818

3. Оценим адекватность построенной модели, используя свойства остаточной компоненты e(t).

еt=уt–утеорt– расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется входе проверки соответствующей нулевой гипотезы H0: e=0

С этой целью строится t-статистика: tрасч=enS, где e – среднее арифметическое значение уровней ряда остатков еt;

S – среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки: S=1n-1еt-e2

21

Произведем предварительные расчеты:

t

y

y(t)

y-y(t)

(y-ycp)2

1

3

3,91

0,91

211,57

2

7

6,64

0,36

111,21

3

10

9,36

0,64

56,93

4

11

12,09

1,09

42,84

5

15

14,82

0,18

6,48

6

17

17,55

0,54

0,30

7

21

20,27

0,73

11,93

8

25

23,00

2,00

55,57

9

27

25,73

1,27

89,39

10

27

28,45

1,45

89,39

11

30

31,18

1,18

155,12

Итого

66

193

193,00

10,36

830,73

S=1n-1еt-e2=1,2545

tрасч=enS=0,0012

На уровне значимости гипотеза отклоняется, если tрасч >tтабл(,v), где tтабл(,v) – критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1-) и степенями свободы v=n-1.

t0,1;10=1,8125

На уровне значимости 90% гипотеза равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю отклоняется.

Данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

4. Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

EQ \x\to(A) = \f(∑|yt - yi| : yi;n)100%

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

22

EQ \x\to(A) = \f(0.82;11) 100% = 7.43%

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

5. Осуществите прогноз спроса на следующие два месяца (доверительный интервал прогноза рассчитайте при доверительной вероятности P = 75%).

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

EQ Sy = \r(\f(∑(yi - \x\to(y))2;n - m)) = \r(\f(12.55;11 - 1)) = 1.12

m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.

Uy = yn+L ± K

где

EQ K = taSy \r(1 + \f(1;n) + \f(3(n+2L-1)2;n(n2 - 1)))

L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;α/2) = (9;0.125) = 1,230

Точечный прогноз, t = 12: y(12) = 2.73*12 + 1.18 = 33.91

К=1.64

33.91 – 1.64 = 32,27 ; 33.91 + 1.64 = 35.55

Интервальный прогноз:

t = 12: (33.91;35.55)

Точечный прогноз, t = 13: y(13) = 2.73*13 + 1.18 = 36.64

К=1.70

36.64 – 1.70 = 34.94 ; 36.64 + 1.70 = 36.34

23

Интервальный прогноз:

t = 13: (34.94;36.34)

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представим графически:

7. Используя MS Excel подберем для данных своего варианта наилучшую трендовую модель Линейная линия тренда:

Экспоненциальная линия тренда:

24

Логарифмическая линия тренда:

Полиномиальная линия тренда:

25

Степенная линия тренда:

Наиболее адекватна степенная модель: y = 3,271t0,9431.

С ее помощью выполним прогнозирование на два ближайших периода:

y(12)=34,08

y(13)=36,75

26

Библиографический список

Елисеева, И.И. Статистика. / И.И.Егорова, И.И.Елисеева, О.Н.Никифоров, – Москва: Проспект, 2011. – 448с.

Исследование операций в экономике / под ред. Н. Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2010. – 430 с.

Кошевой, О.С. Основы статистики: Учебное пособие. / О.С.Кошевой, – Пенза: Пенз. гос. ун-т, 2005. – 168 с.

Соколов А. В., Токарев В. В. Т. 1: Общие положения. Математическое программирование. – М.: Физматлит, 2010. – 562 с.

Соловьев В. И. Методы оптимальных решений. – М.: Финансовый университет, 2012. – 364 с.

Таха Хемди А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. – 902 с.

Эддоус М. Методы принятия решений. – М.: Аудит: ЮНИТИ, 1997. – 590 с.

27

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Кафедра Менеджмента и маркетинга

Контрольная работа

по дисциплине «Методы принятия управленческих решений»

Вариант 3

Выполнила:

Студентка факультета маркетинг

Хачатрян Галина Мкртичевна

Курс: 2

Личный номер: 100.13/130142

Преподаватель: Спирина С.Г.

Краснодар 2015

← Предыдущая
Страница 1
Следующая →

Описание к данному материалу отсутствует

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Искать ещё по теме...

Похожие материалы:

История социологии

История русской социологии. Социологические идеи России. Развитие советской социологии. Неопозитивизм. Школы социологии в России. Направление в теоретической социологии.

Повышения эффективности страхового бизнеса и финансовой привлекательности и реализации страховых продуктов

Курсовая работа. Инвестиционная деятельность страховой организации. Правовое регулирование при инвестиционной деятельности страховой организации. Оформление страховых резервов, страховое мошенничество в инвестиционной деятельности страховой организации. Оценка ущерба и страхового возмещения при инвестиционной деятельности страховой организации Оценка состояние инвестиционного рынка. Факторы, определяющие инвестиционную деятельность страховой организации

Основы экологического права. Виды ответственности за экологические правонарушения

Гражданско-правовая ответственность за экологические правонарушения — вид юридической ответственности, применяемой за экологические, гражданско-правовые правонарушения-деликты. Материальная ответственность.  Уголовная ответственность

Расчет и выбор кондиционера отопления для кабины разрезного экскаватора

Кафедра: Энергетика Курсовая работа по дисциплине «Кондиционирование воздуха и холодоснабжение» на тему: «Расчет и выбор кондиционера отопления для кабины разрезного экскаватора »

Заявление о нарушении работодателем трудового законодательства

В Комиссию по трудовым спорам. Заявление о нарушении работодателем трудового законодательства Трудового кодекса Российской Федерации. Образец. Пример. Форма заполнения.

Сохранить?

Пропустить...

Введите код

Ok